Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique
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On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.
Un système de coordonnées xi étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale ![ds = \sqrt{\left[-\right]g_{ij}d x^i dx^j}](http://upload.wikimedia.org/math/9/a/b/9ab0e7b5e038c831de189e48af77b145.png)
. Le signe optionnel ![\left[-\right]](http://upload.wikimedia.org/math/7/3/c/73cd6c1446c7aa9cce3019fe4a1d0bea.png)
est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.
Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable τ, on écrit ![ds = \sqrt{\left[-\right]g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} d\tau](http://upload.wikimedia.org/math/a/b/b/abbc70045fe9146402ae361ed56d8f89.png)
, où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à τ. La longueur de la trajectoire est donc la somme
![\int \sqrt{\left[-\right]g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j} d\tau](http://upload.wikimedia.org/math/6/e/1/6e15a9c117f0dee2fd66d6034370d29f.png)
En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique
avec
![\dot{s} = \sqrt{\left[-\right]g_{ij}\dot{x}^i \dot{x}^j}](http://upload.wikimedia.org/math/d/9/6/d96dbe916467e41569dea41fc6b639cd.png)
