Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

$\ddot{x}^k = g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l} - g_{il,j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j$

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.