Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique/Démonstration

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Explicitant $\dot{s}$ dans l'équation géodésique $\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^l} - \frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^l}\right) = 0$ , on a

$\frac{1}{2 \dot{s}} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j -\frac{d}{d\tau} \left( \frac{1}{\dot{s}} g_{li}\dot{x}^i \right) = 0$

Paramétrisons la trajectoire par sa longueur s, c'est à dire posons $τ = s$ . Avec ce choix, on a $\dot{s} = 1$ et l'équation géodésique devient

$\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j -\frac{d}{ds} \left( g_{li}\dot{x}^i \right) = 0$

Comme le tenseur métrique dépend de $x i$ mais pas explicitement de $\dot{x}^i$ , on a $\frac{d g_{li}}{d s} = g_{li,j} \frac{d x^j}{ds}$ et l'équation géodésique prend la forme

$\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j - g_{li,j}\dot{x}^i \dot{x}^j - g_{li}\ddot{x}^i = 0$

Multipliant par $g k l$ , on obtient

$g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l} \dot{x}^i \dot{x}^j - g_{li,j}\dot{x}^i \dot{x}^j\right) - \ddot{x}^k = 0$

et donc

$\ddot{x}^k = g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l} - g_{li,j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j$

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