Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori valeurs possibles du symbole. Le symbole vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour , alors on aura , , , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

Formules de contraction[modifier | modifier le wikicode]