Étant donné un système de coordonnées
quelconque
, une variable
permettant de paramétrer les trajectoires,
on considère une fonction L qui ne dépend que des variables
et leur dérivée totale par rapport à
.
On veut trouver une trajectoire
d'extrémités données
et
,
qui minimise l'intégrale

Considérons une trajectoire infiniment voisine
avec
un infiniment petit et
.
Supposant que les solutions sont trouvées et
donné,
la fonction

est minimale pour
:
![{\displaystyle 0=\left[{\frac {dS}{d\epsilon }}\right]\left(0\right)=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left(\xi \left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}+{\dot {\xi }}\left(\tau \right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd138328c34b010ca51daaa92c128f31cb9aa33)
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale
et profitant du fait que
a été supposée nulle aux bornes, on a

Comme la fonction
est quelconque, on doit avoir

- Remarques
- En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
- Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N,
, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N,
est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0,
sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes.
Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4.
Il y a apriori
valeurs possibles du symbole.
Le symbole
vaut 0 parce que l'index t figure deux fois.
Si arbitrairement on choisit le signe + pour
, alors on aura
,
,
,
etc.
4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi,
et par convention
.
En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir
le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.