Calcul tensoriel/Appendices
Équations de Lagrange[modifier | modifier le wikicode]
Étant donné un système de coordonnées quelconque , une variable permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables et leur dérivée totale par rapport à . On veut trouver une trajectoire d'extrémités données et , qui minimise l'intégrale
Considérons une trajectoire infiniment voisine avec un infiniment petit et . Supposant que les solutions sont trouvées et donné, la fonction
est minimale pour :
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que a été supposée nulle aux bornes, on a
Comme la fonction est quelconque, on doit avoir
- Remarques
- En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
- Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.
Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori valeurs possibles du symbole. Le symbole vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour , alors on aura , , , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.
Tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.
Formules de contraction[modifier | modifier le wikicode]