Calcul tensoriel/Appendices

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Équations de Lagrange[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un système de coordonnées quelconque , une variable permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables et leur dérivée totale par rapport à . On veut trouver une trajectoire d'extrémités données et , qui minimise l'intégrale

Considérons une trajectoire infiniment voisine avec un infiniment petit et . Supposant que les solutions sont trouvées et donné, la fonction

est minimale pour  :

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que a été supposée nulle aux bornes, on a

Comme la fonction est quelconque, on doit avoir

  • Remarques
    1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
    2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori valeurs possibles du symbole. Le symbole vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour , alors on aura , , , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

Formules de contraction[modifier | modifier le wikicode]