Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique/Démonstration

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Explicitant dans l'équation géodésique , on a

Paramétrisons la trajectoire par sa longueur s, c'est à dire posons . Avec ce choix, on a et l'équation géodésique devient

Comme le tenseur métrique dépend de mais pas explicitement de , on a et l'équation géodésique prend la forme

Multipliant par , on obtient

et donc