Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

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Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique , et profitant de la symétrie du tenseur métrique , on a . Échangeant les indices i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient .

D'autre part la différentielle du déterminant s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle d'un élément de matrice par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice est l'inverse de la matrice du tenseur métrique , les mineurs cherchés sont . Ainsi et donc

On a finalement , c.q.f.d.