Partant de l'expression du symbole de Christoffel
en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique
Γ
i
j
k
=
1
2
g
k
l
(
g
l
j
,
i
+
g
l
i
,
j
−
g
i
j
,
l
)
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)}
symétrie du tenseur métrique
g
l
i
=
g
i
l
{\displaystyle g_{li}=g_{il}}
Γ
i
j
i
=
1
2
(
g
i
l
g
l
j
,
i
+
g
i
l
g
i
l
,
j
−
g
i
l
g
i
j
,
l
)
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}\left(g^{il}g_{lj,i}+g^{il}g_{il,j}-g^{il}g_{ij,l}\right)}
i et l dans le dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient
Γ
i
j
i
=
1
2
g
i
l
g
i
l
,
j
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}g_{il,j}}
D'autre part la différentielle du
déterminant
det
g
{\displaystyle \det {g}}
d
g
i
j
{\displaystyle dg_{ij}}
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
mineur
correspondant à cet élément.
Comme la matrice
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
inverse de la matrice du tenseur métrique
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
(
det
g
)
g
i
j
{\displaystyle \left(\det {g}\right)\;g^{ij}}
d
(
det
g
)
=
(
det
g
)
g
i
j
d
g
i
j
{\displaystyle d\left(\det {g}\right)=\left(\det {g}\right)\;g^{ij}\;dg_{ij}}
g
i
j
∂
k
(
g
i
j
)
=
1
g
∂
k
(
det
g
)
{\displaystyle g^{ij}\partial _{k}\left(g_{ij}\right)={\frac {1}{g}}\partial _{k}\left(\det {g}\right)}
On a finalement
Γ
i
j
i
=
1
2
g
∂
j
(
det
g
)
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}\left(\det {g}\right)}
