Manuel de géométrie vectorielle/Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Le vecteur comme déplacement d'un point à un autre[modifier | modifier le wikicode]

Quel lien existe-t-il entre tous ces points ?

Intro vect1.svg

Pour aller de A à B :

  • On part de A,
  • puis on avance de 4 cm en direction du nord-est.

Ce trajet peut-être représenté par une flèche comme sur le dessin suivant.

Intro vect2.svg

Pour aller de C vers D :

  • On part de C,
  • puis on avance de 4 cm en direction du nord-est.

On peut répéter l'opération pour aller de E vers F ou de G vers H.

Intro vect3.svg

Écrivons :

  • le déplacement de A vers B.
  • le déplacement de C vers D.
  • le déplacement de E vers F.
  • le déplacement de G vers H.

On dit que , , et sont des vecteurs.

Intro vect4.svg

Plusieurs notations pour désigner le même objet[modifier | modifier le wikicode]

Tous ces déplacements sont identiques. À chaque fois, on peut décrire le déplacement comme avancer de 4 cm en direction du nord-est. Seul le point de départ change.

En mathématiques, quand deux objets sont égaux on utilise le signe =.

Dans le cas de nos vecteurs, on peut donc écrire

Ces quatre vecteurs étant égaux, on va les désigner par une lettre unique, surmontée d'une flèche pour indiquer qu'il s'agit d'un déplacement : .

Ainsi on peut écrire :

Ce vecteur se représente sur le dessin indépendamment de tous points, comme le déplacement qui permet d'aller de A vers B, de C vers D…

Intro vect5.svg

Définition d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

En langage courant, le vecteur peut se décrire comme avancer de 4 cm en direction du nord-est.

Dans cette phrase on peut distinguer trois éléments qui permettent de reproduire à coup sûr le déplacement :

  • une direction, ici l'axe sud-ouest - nord-est;
  • un sens, du sud-ouest vers le nord-est;
  • une longueur, 4 cm.

C'est la définition d'un vecteur :

Définition

Un vecteur du plan est défini par :

  • une direction;
  • un sens;
  • une longueur.

Ainsi désigne le vecteur :

  • dont la direction est celle de la droite (AB),
  • dont le sens est celui de A vers B,
  • et dont la longueur est celle du segment [AB].

On dit alors que A est l'origine du vecteur et B son extrémité.

Égalité de vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Un vecteur étant défini par sa direction, son sens et sa longueur, on a :

Propriété

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.


Vecteur nul[modifier | modifier le wikicode]

Il est un vecteur particulier, le vecteur nul. C'est le seul vecteur dont la longueur est nulle. Il est alors inutile de parler de sa direction et de son sens : si on avance ou recule de rien du tout, peu importe la direction choisie, on restera sur place.

Définition

On appelle vecteur nul le vecteur dont la longueur est nulle, on le note .

Quel que soit le point A,