Manuel de géométrie vectorielle/Translations

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

On a vu, dans le chapitre précédent, qu'un vecteur correspond à un déplacement.

En mathématiques cela correspond à une transformation du plan : la translation.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Définition

La translation de vecteur est la transformation du plan qui transforme le point A en le point B tel que .

On dit que B est l'image de A par la translation de vecteur .


D'après le chapitre précédent, on peut énoncer la propriété suivante :

Propriété

Si une translation transforme A en B et C en D, alors


Vecteurs égaux.png

Image d'un point par une translation[modifier | modifier le wikicode]

On cherche l'image D du point C par la translation de vecteur , c'est-à-dire qu'il faut construire le point D tel que .

Intro vect7.svg

Égalité de vecteurs et parallélogrammes[modifier | modifier le wikicode]

On va maintenant chercher de manière géométrique ce que signifie l'égalité  :

  • Les vecteurs et ont la même direction : ce qui signifie que les droites et sont parallèles.
  • Les vecteurs et ont la même longueur, ce qui signifie que .


Intro vect6.svg


On reconnaît là les propriétés d'un parallélogramme.

On en déduit la propriété qui permet de résumer par une égalité vectorielle le fait qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.

Propriété

  • Si alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
  • Si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, alors .


Attention !

Logo Il faut faire ici très attention à l'ordre des lettres.


Wikiversity-logo.svg Testez vos nouvelles connaissances sur les vecteurs et les translations !

Construction de l'image d'un point par une translation[modifier | modifier le wikicode]

Pour placer l'image D du point C par la translation de vecteur , il faut que .

Mais, en utilisant la propriété précédente, si , alors est un parallélogramme.

Intro vect8.svg


On peut effectuer la construction du parallélogramme à l'aide d'un compas, comme sur la figure ci-dessous.

Intro vect9.svg