Manuel de géométrie vectorielle/Somme et différence de vecteurs

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Somme de vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Somme de vecteurs bout à bout[modifier | modifier le wikicode]

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Si A, B et C sont trois points quelconques, effectuer une translation de vecteur suivie d'une translation de vecteur revient à effectuer une seule translation de vecteur .

Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles.

Relation de Chasles

Somme vecteurs boutabout.png

Somme de vecteurs de même origine[modifier | modifier le wikicode]

De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs.

Propriété

Si ABDC est un parallélogramme, alors


Somme et parallélogramme.png


Logo Encore une fois, attention à l'ordre des lettres !



Opposé d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Observons les deux vecteurs et sur le dessin suivant.

Opposé vecteur1.svg

Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs et ont deux caractéristiques sur trois en commun :

  • Les côtés opposés du parallélogramme étant parallèles, les vecteurs et ont la même direction.
  • Les côtés opposés du parallélogramme étant de même longueur, les vecteurs et ont la même longueur.

Par contre les vecteurs et diffèrent par leur sens.

On dit que les vecteurs et sont opposés.

L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note l'opposé du vecteur .


Le vecteur est l'opposé du vecteur .

Définition

  • On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur, mais sont de sens opposés.
  • On note l'opposé du vecteur


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L'opposé du vecteur est le vecteur  :

Différence de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence de deux vecteurs et  ?

Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.

Appliquons le même principe aux vecteurs et , ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.

À partir d'un point A:

  • On construit par translation de vecteur un point B tel que ,
  • puis on construit par translation de vecteur un point C tel que .


Différence vecteur1.svg


Le vecteur ainsi construit est égal à .


Différence vecteur2.svg


En effet d'après la relation de Chasles :

Et d'après la construction effectuée :

Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :

Vecteurs particuliers[modifier | modifier le wikicode]

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  • Le vecteur nul est le vecteur qui ne change rien quand on l'additionne à un autre vecteur.
  • Quand on additionne un vecteur et son opposé, on trouve le vecteur nul.
Opposé d'un vecteur.png