Mathc gnuplot/Version imprimable

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Mathc gnuplot

Une version à jour et éditable de ce livre est disponible sur Wikilivres,
une bibliothèque de livres pédagogiques, à l'URL :
https://fr.wikibooks.org/wiki/Mathc_gnuplot

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Introduction

Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Le livre montre les liens que l'on peut créer entre les mathématiques, le langage C et gnuplot. Une approche expérimentale exigerait un passage continu entre un exemple simple et un autre plus complexe. Dans ce livre, on sautera les étapes.


L'étude de ce livre devrait pouvoir commencer après une initiation d’un mois au langage C.


L'étude de ce chapitre peut ce faire à l'aide de cette [Playlist]..


En pratique[modifier | modifier le wikicode]

Télécharger et installer les logiciels compatibles Linux et Windows :


Pour le langage C :

  • Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail.
  • Chaque fichier "*.c" est un exemple à compiler et à exécuter.


Pour gnuplot :

  • Linux :
    • Exécuter un exemple C. Créer une nouvelle fenêtre dans votre terminal. Vous serez automatiquement dans le bon répertoire pour lancer gnuplot.
  • Windows :
    • Pour sélectionner le bon répertoire sous Windows
    • Choisissez l'icône ChDir (change directory)
    • Puis l'icône Open pour sélectionner un fichier de commande de gnuplot.
  • Animation :
    • Tapotez sur l'icône replot de gnuplot.


Fichiers pour gnuplot

Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Quelques fonctions C à connaitre :

f_p=fopen("a.txt","w"); //(write)  Créer un fichier en écriture.
f_p=fopen("a.txt","r"); //(read)   0uvrir un fichier en lecture.
f_p=fopen("a.txt","a"); //(append) 0uvrir un fichier en écriture. 
                        //         Rajouter le texte en fin de fichier.

 printf(    "%d",i);    // Imprimer sur l'écran.
fprintf(f_p,"%d",i);    // Imprimer dans le fichier *f_p
sprintf(  s,"%d",i);    // Imprimer dans la chaine de caractères s.


Éviter les lettres accentuées dans les fichiers sources (*.c,*.h), cela pose des problèmes pour échanger les fichiers entre Windows et Linux ou à l'international.


Premiers fichiers[modifier | modifier le wikicode]

Un fichier list.txt[modifier | modifier le wikicode]

  1. Copiez cet exemple dans votre éditeur.
  2. Sauvez-le sous le nom "c01.c"
  3. Compilez et exécutez-le.
    gcc -lm c01.c -o c01.exe ;./c01.exe
  4. Éditer le fichier "list.txt"
c01.c
Un fichier list.txt
/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp;                   /*Déclarer un pointeur de fichier.   */
double   a;
                              /*Ouvrir le fichier en mode écriture.*/
 fp = fopen("list.txt","w");  /*fp est un pointeur de fichier      */
                              /*qui pointe sur "list.txt"          */
 for(a = -5.0; a <= 5.0; a++)
  fprintf(fp," %6.3f %6.3f\n",/*Imprimer dans le fichier           */
                a,   f(a));
 fclose(fp);                  /*Fermer le fichier                  */

 printf("\n\n Ouvrir le fichier list.txt "
        "\n\n Press return to continue.  ");
 getchar();
 return 0;}

Un fichier de données pour gnuplot[modifier | modifier le wikicode]

Nous ne mettrons pas d'extension pour les fichiers de données avec gnuplot.

  1. Compilez et exécutez-ce fichier.
  2. Éditez le fichier "data"
  3. Dans gnuplot tapez : plot "data"
c02.c
Un fichier de données pour gnuplot
/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp = fopen("data","w");
double a = -5.0;

  for(; a <= 5.0; a+=.2)
     fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",a,f(a));
  fclose(fp);

 printf(" Dans gnuplot -> plot \"data\" \n\n"
        " Press return to continue.     \n\n");
 getchar();

 return 0;
}


Un fichier de commande pour gnuplot[modifier | modifier le wikicode]

L'extension des fichiers de commande de gnuplot est "*.plt" Ici on dessine deux chaines de caractères.

  1. Compilez et exécutez-ce fichier.
  2. Éditez le fichier "a_main.plt"
  3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"
c03.c
Un fichier de commande pour gnuplot
/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
char  heq[] = "sin(x)";
char  geq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
           "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
           "#\n"
           " set zeroaxis\n"
           " plot %s,\\\n"
           " %s \n\n"
           " reset", geq, heq);
 fclose(fp);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
  set zeroaxis
  plot cos(x),\
  sin(x) 
  reset

On peut remarquer que chaque fonction est sur une ligne différente. Important si l'on veut dessiner quatre ou cinq fonctions.


Dessiner une liste et une chaîne de caractères[modifier | modifier le wikicode]

On associe les deux méthodes vues précédemment.

  1. Compilez et exécutez-ce fichier.
  2. Éditez le fichier "a_main.plt"
  3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"
c04.c
Dessiner une liste et une chaîne de caractères
/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
/* ------------------------------ */
char   feq[] =           "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

   fp = fopen("data","w");
   for(; a <= 5.0; a+=.2)
        fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",   a, f(a));
   fclose(fp);

   fp = fopen("a_main.plt","w");
   fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
              "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
              "#\n"
              " set zeroaxis\n"
              " plot \"data\",\\\n"
              " %s\n"
              " reset",feq);
   fclose(fp);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset


Une fonction graphique[modifier | modifier le wikicode]

On met simplement le contenu de la fonction main() dans G_plot().

  1. Compilez et exécutez-ce fichier..
  2. Éditez le fichier "a_main.plt"
  3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"
c05.c
Une fonction graphique
//* ------------------------------ */
/* Save as c05.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
char   feq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int G_plot(void)
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

   fp = fopen("data","w");
   for(; a <= 5.0; a+=.2)
        fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",a,f(a));
  fclose(fp);

  fp = fopen("a_main.plt","w");
   fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
              "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
              "#\n"
              " set zeroaxis\n"
              " plot \"data\",\\\n"
              " %s\n"
              " reset",feq);
  fclose(fp);

return 0;
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 G_plot();

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset


Les ennuis commencent[modifier | modifier le wikicode]

À partir des fichiers précédents, essayer de dessiner la fonction g, sans modifier G_plot() ?

/* ------------------------------ */
double g(double x){return(sin(x));}
char   geq[] = "sin(x)";
/* ------------------------------ */

Une solution va être proposée dans le chapitre suivant : Pointeurs de fonctions.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons dessiné des fonctions sous forme de chaînes de caractères et sous la forme de liste de points.

Un problème est apparu : rendre les fonctions graphiques indépendantes de la fonction utilisée.


Pointeurs de fonctions


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

En langage C, le nom d'une fonction est un pointeur. On peut l'utiliser comme argument dans l'appel d'une fonction. Exemple : G_plot(f); (f() étant une fonction)

Un pointeur de fonction doit avoir le même prototype que la fonction pointée.

  • Pour la fonction f(x) :
  
double f     (double x)            {return( pow(x,2.));}
double (*P_f)(double x)
  • Pour la fonction g(x,y) :
double g     (double x,double y)   {return(x*y;}
double (*P_g)(double x,double y)


Pour appeler la fonction, nous utiliserons cette méthode :

  • Pour la fonction f(x) :
((*P_f)(a)) /* corresponds à un appel de fonction de forme f(a). */
  • Pour la fonction g(x,y) :
((*P_g)(a,b)) /* corresponds à un appel de fonction de forme g(a,b). */

Remarque :

  • f et g sont des pointeurs et f() et g() sont des fonctions.
  • double (*P_f)(double x) c'est une déclaration de pointeur de fonction.
  • P_f c'est le pointeur.
  • ((*P_f)()) c'est un appel à une fonction.


Exemples graphiques (avec gnuplot)[modifier | modifier le wikicode]

Dessiner deux fonctions successivement[modifier | modifier le wikicode]

La fonction Gplt() dessine f(x) et g(x).

c01.c
Dessiner deux fonctions successivement
/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(  pow(x,2.));}
double g(double x){return(2.0*x + 3.0);}
/* ------------------------------ */
void G_plt(
double (*P_f)(double x)
)
{
FILE  *fp = fopen("data","w");
double  a = -5.0;

 for(; a <= 5.0; a += 0.3)
   fprintf(fp," %6.3f  %6.3f\n",a,((*P_f)(a)));
 fclose(fp);
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Type: plot \"data\" ");
    G_plt(f);
 getchar();

 printf(" Type: plot \"data\" ");
    G_plt(g);

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}


Solution pour le chapitre précédent[modifier | modifier le wikicode]

La fonction G_plot() dessine la fonction (data) et la chaîne de caractères.

c02.c
Solution pour le chapitre précédent
/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
char   feq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
double g(double x){return(sin(x));}
char   geq[] = "sin(x)";
/* ------------------------------ */
int G_plot(
double (*P_f)(double x),
char   Feq[])
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

 fp = fopen("data","w");
 for(; a <= 5.0; a+=.2)
   fprintf(fp," %6.3f %6.3f\n",a,((*P_f)(a)));
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_main.plt","w");
 fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n"
            " set zeroaxis\n"
            " plot \"data\",\\\n"
            " %s\n"
            " reset",Feq);
 fclose(fp);

return 0;
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot ");
    G_plot(f,feq);
 getchar();

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot ");
    G_plot(g,geq);

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat après le premier appel de G_plot() :

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset

Résultat après le deuxième appel de G_plot() :

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 set zeroaxis
 plot "data",\
 sin(x)
 reset


Exemple numérique[modifier | modifier le wikicode]

Passer des pointeurs de fonctions à une fonction.


Les fonctions f‘ et f‘‘[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la dérivée première et seconde d'une fonction.

c03.c
Les fonctions f‘ et f‘‘
/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------ Fonction f ------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------ Fonction g ------------ */
double g(double x){return(
 pow(cos(x),2.)+sin(x)+x-3);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "cos(x)**2+sin(x)+x-3";
/* ------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ------------------------------ */
double Dx_1(
double (*P_f)(double x),/* Declaration de pointeur de fonction */
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* -----------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ------------------------------- */
double Dx_2(
double (*P_f)(double x),/* Declaration de pointeur de fonction */
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double x = 2.;
double h = 0.001;

printf("\n\n");

printf("  f(%.3f) = %.3f  \n",x,f(x)       );
printf(" f'(%.3f) = %.3f  \n",x,Dx_1(f,x,h));
printf("f''(%.3f) = %.3f  \n",x,Dx_2(f,x,h));

printf("\n\n");

printf("  g(%.3f) = %.3f \n",x,g(x)       );
printf(" g'(%.3f) = %.3f \n",x,Dx_1(g,x,h));
printf("g''(%.3f) = %.3f \n",x,Dx_2(g,x,h));

    printf("\n\n Press return to continue.");

 getchar();

 return 0;
}


Résultat :

  f(2.000) = 4.000
 f‘(2.000) = 4.000
f‘‘(2.000) = 2.000
.
  g(2.000) = 0.082
 g‘(2.000) = 1.341
g‘‘(2.000) = 0.398
.
Press return to continue.


La fonction FoG[modifier | modifier le wikicode]

Ici on passe les deux fonctions f et g à la fonction FoG().

La même fonction peut calculer gof, fog et fof...

c04.c
La fonction FoG
/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------ Fonction f ------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------ Fonction g ------------ */
double g(double x){return(2.0*x + 3.0);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "2.0*x + 3.0";
/* - Fonction FoG (g suivie de f)-*/
double FoG(
double (*P_F)(double x),/* Pointeur pour la premiere fonction */
double (*P_G)(double x),/* Pointeur pour la deuxieme fonction */
double a
)
{
 return((*P_F)( ((*P_G)(a))) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double a = 2.0;

 printf(" f : x-> %s\n", feq);
 printf(" g : x-> %s\n", geq);
 printf(" \n\n");

   printf(" f(g(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(f,g,a));
   printf(" g(f(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(g,f,a));
   printf(" f(f(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(f,f,a));

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat :

f : x-> x**2
g : x-> 2.0*x + 3.0
.
f(g(2)) = 49.0
g(f(2)) = 11.0
f(f(2)) = 16.0
.
Press return to continue.


Tableau de pointeurs de fonctions


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons des fonctions semblables. Nous voulons les associer pour pouvoir les manipuler dans des boucles. Nous allons créer un tableau de pointeurs de fonctions.

Le tableau de pointeurs de fonctions doit être déclaré avec un prototype de la même forme que celui des fonctions.


Tableau de pointeurs de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Les fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons utiliser les fonctions trigonométriques du C.


Déclaration du tableau[modifier | modifier le wikicode]

double (*TrigF[6])(double x) = {cos,sin,tan,atan,asin,acos};
  • Toutes les fonctions ont la même forme : double fonction(double).
  • Le tableau à la même forme que les fonctions : double tableau(double).
  • Il y a six fonctions : cos, sin, tan, atan, asin, acos.


Exemple d'un appel[modifier | modifier le wikicode]

   cos(.5) == TrigF[0](.5)


Exemple à tester[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Exemple à tester
/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*TrigF[6])(double x) = {cos,sin,tan,atan,asin,acos};

double x= .5;
int    i=  0;

 printf(" Nous avons declare un tableau "
        " de pointeurs de fonctions.\n  "
        " J'ai utilise ici les fonctions predefinie du c.\n");

  
  printf("       cos(%.1f)  = %.3f  \n",  x,     cos(x));
  printf(" TrigF[%d](%.1f)) = %.3f\n\n",i,x,TrigF[i](x));

 printf(" Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}


Application[modifier | modifier le wikicode]

  • Créez un tableau de valeurs des fonctions trigonométriques.
  • Imprimez le résultat dans cette ordre (sin,cos,tan,acos,asin,atan)
  • Pour .1 <= x <+ .5


Avec le résultat dans un fichier[modifier | modifier le wikicode]

c02.c
Avec le résultat dans un fichier
/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp = fopen("list.txt","w");

double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};

int    i= 6; 
double x= .1;

fprintf(fp,"   x || sin    cos    tan    acos   asin   atan \n");

     for(;x<=.5;x+=.1)
        {
         fprintf(fp," %.1f ||",x);
         for(i=6;i;)
            fprintf(fp," %.3f ",TrigF[--i](x));
         fprintf(fp,"\n");
        }

 fclose(fp);

 printf("\n\n Ouvrir le fichier list.txt\n");
 getchar();

 return 0;
}


Le résultat :

  x || sin    cos    tan    acos   asin   atan 
0.1 || 0.100  0.995  0.100  1.471  0.100  0.100 
0.2 || 0.199  0.980  0.203  1.369  0.201  0.197 
0.3 || 0.296  0.955  0.309  1.266  0.305  0.291 
0.4 || 0.389  0.921  0.423  1.159  0.412  0.381 
0.5 || 0.479  0.878  0.546  1.047  0.524  0.464 


Remarques :

  • Attention à l'ordre des fonctions dans la déclaration du tableau.
  • double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};


Au démarrage :

  • La décrémentation se fait dans le tableau. TrigF[--i](x)
  • i=6 entre dans le tableau.
  • 6 est décrémenté -> 5 (avant l'appel de la fonction --i)
  • La sixième fonction est appelée (Sin).
  • La numéro cinq. :)


Au final :

  • Il entre UN dans le tableau.
  • UN est décrémenté -> 0
  • La première fonction est appelée (atan).
  • La numéro zéro. :))


  • i est égal à zéro en rentrant dans la boucle.
  • Le cycle est cassé. :(


Avec le résultat à l'écran[modifier | modifier le wikicode]

c03.c
Avec le résultat à l'écran
/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};

int    i= 6;
double x= .1;

     for(;x<=.5;x+=.1)
       {
         printf("\n");
         for(i=6;i;) printf(" %.3f ",TrigF[--i](x));
       }

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}


Les fonctions f‘ et f‘‘[modifier | modifier le wikicode]

Nous voulons créer la fonction Derivate pour calculer les dérivées première et seconde d'une fonction en utilisant un tableau de pointeurs de fonctions.

Voir listing en fin de page.


Déclaration du tableau[modifier | modifier le wikicode]

double (*Derivate[3])(double (*P_f)(double x),double a,double h) = {fx,Df_x,Df_xx};
  • Toutes les fonctions (fx,Df_x,Df_xx) ont la même forme : double fonction(double (*P_f)(double x) double double).
  • Le tableau a la même forme que les fonctions : double tableau(double (*P_f)(double x) double double).

Il y a trois fonctions. (0,1,2)= {fx, Df_x, Df_xx}. La fonction fx donne f.

  • Supprimez cette fonction et travaillez sur deux fonctions.
  • Réfléchissez.


Exemple d'un appel[modifier | modifier le wikicode]

     f(x) == Derivate[0](f,x,0.)


  • Derivate[0] donne f(x).
  • Voir la fonction fx() la première fonction du tableau.
  • h = 0 dans cet appel parce qu'il n'est pas utilisé (voir code de fx())


Exemple à tester[modifier | modifier le wikicode]

c04.c
Exemple à tester
/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double g(double x){return(
 pow(cos(x),2.)+sin(x)+x-3);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "cos(x)**2+sin(x)+x-3";
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double fx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ((*P_f)(a)) );
}
/* ------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ------------------------------ */
double Df_x(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* -----------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ------------------------------- */
double Df_xx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*Derivate[3])(double (*P_f)(double x),
                      double a,
                      double h) = {fx,Df_x,Df_xx};
double a = 2;
double h = 0.001;

printf("\n\n");

printf("  f(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,      f(a),  Derivate[0](f,a,0));
printf(" f'(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_x (f,a,h),Derivate[1](f,a,h));
printf("f''(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_xx(f,a,h),Derivate[2](f,a,h));

printf("\n\n");

printf("  g(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,      g(a),  Derivate[0](g,a,0));
printf(" g'(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_x (g,a,h),Derivate[1](g,a,h));
printf("g''(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_xx(g,a,h),Derivate[2](g,a,h));

 printf("\n\n Press return to continue.");
 getchar();

 return 0;
}


Fichiers h : Fichiers h partagés


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Vous trouverez dans cette section une suite de fichiers h. Installez ces fichiers dans votre répertoire de travail. Ils seront appelés par le fichier "x_ahfile.h" de chaque exemple.

Ces fichiers ne sont pas utilisés pour la géométrie de la tortue.

En pratique[modifier | modifier le wikicode]

  • xdef.h
    PI
    Déclaration de pi.
    clrscrn();
    Effacer la fenêtre du terminal Dos.
    Pause();
    Une pause d'une seconde pour les animations.
    NewName();
    Créer une liste de noms de fichiers.
  • xplt.h
    i_WGnuplot();
    Contrôler la fenêtre de gnuplot 2d.
    i_WsGnuplot();
    Contrôler la fenêtre de gnuplot 3d.
    i_VGnuplot();
    Contrôler la vue de la fonction 3d.
  • xspv.h
    i_point2d();
    Initialiser un point en 2d.
    i_point3d();
    Initialiser un point en 3d.
    i_vector2d();
    Initialiser un vecteur en 2d.
    i_vector3d();
    Initialiser un vecteur en 3d.
  • xfx_x.h
Dérivées de f(x);
  • xfxy_x.h
Dérivées partielles de f(x,y);
  • xfxyz_x.h
Dérivées partielles de f(x,y,z);


Fichiers h : xdef


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xdef.h
Définitions générales
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xdef.h                  */
/* ------------------------------------ */
#ifndef PI
#define PI               3.14159265359
#endif
/* ------------------------------------ */
void clrscrn(void)
{
  printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"
         "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"
         "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
}
/* ------------------------------------ */
void Pause(void)
{
int i=300;
int j;

  while(--i){j=600000;while(--j);}
}
/* ------------------------------------ */
/* First file name :                    */
/*                                      */
/* char fname[]= "a_paaa";              */
/* ------------------------------------ */
char *NewName(
char *name
)
{
            if(name[5]<'z')
 
               ++name[5];
 
       else if(name[4]<'z')
              {
                 name[5]='a';
               ++name[4];
              }
       else if(name[3]<'z')
              {
                 name[5]='a';
                 name[4]='a';
               ++name[3];
              }
 
 return(name);
}


Fichiers h : xplt


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xplt.h
Définition d'intervalles pour le tracé
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xplt.h                  */
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double xmini;  double xmaxi;
 double ymini;  double ymaxi;

}W_Ctrl, *PW_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
W_Ctrl i_WGnuplot(
 double xmini,  double xmaxi,
 double ymini,  double ymaxi
)
{
W_Ctrl w = {xmini,xmaxi,ymini,ymaxi};

return (w);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double xmini;  double xmaxi;
 double ymini;  double ymaxi;
 double zmini;  double zmaxi;

}Ws_Ctrl, *PWs_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
Ws_Ctrl i_WsGnuplot(
 double xmini,  double xmaxi,
 double ymini,  double ymaxi,
 double zmini,  double zmaxi
)
{
Ws_Ctrl w = {xmini,xmaxi,ymini,ymaxi,zmini,zmaxi};

return (w);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double rot_x;  double rot_z;
 double scale;  double scale_z;

}View_Ctrl, *PView_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
View_Ctrl i_VGnuplot(
 double rot_x,  double rot_z,
 double scale,  double scale_z
)
{
View_Ctrl V = {rot_x,rot_z,scale_z,scale_z};

return (V);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double mini;  double maxi;
 double step;

}t_Ctrl, *Pt_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
t_Ctrl i_time(
 double mini,  double maxi,
 double step
)
{
t_Ctrl t = {mini,maxi,step};

return (t);}


Fichiers h : xspv


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xspv.h
Définition des types de points et de vecteurs
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xspv.h                  */
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double x;  double y;

}point2d, *Ppoint2d;
/* ------------------------------------ */
point2d i_point2d(
 double x,  double y
)
{
point2d p = {x,y};

return (p);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double x;  double y;  double z;

}point3d, *Ppoint3d;
/* ------------------------------------ */
point3d i_point3d(
double x,  double y,  double z
)
{
point3d p = {x,y,z};

return (p);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double i;  double j;

}vector2d, *Pvector2d;
/* ------------------------------------ */
vector2d i_vector2d(
 double i,  double j
)
{
vector2d v = {i,j};

return (v);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double i;  double j;  double k;

}vector3d, *Pvector3d;
/* ------------------------------------ */
vector3d i_vector3d(
 double i,  double j,  double k
)
{
vector3d v = {i,j,k};

return (v);}


Fichiers h : xfx x


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xfx_x.h
Dérivation de fonctions df(x)/dx
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfx_x.h                 */
/* ------------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ----------------------------------  */
double fx_x(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* ------------------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ----------------------------------  */
double fx_xx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}


Fichiers h : xfxy x


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xfxy_x.h
Dérivation de fonction df(x,y)/dx
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfxy_x.h                */
/* ------------------------------------ */
double fxy_x(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;

 tplsh = ((*P_f)(p.x+h,p.y));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h,p.y));

 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_y(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;

 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y-h));

 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_xx(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double t;
double tplsh;
double tmnsh;

 t     = ((*P_f)(p.x  , p.y));
 tplsh = ((*P_f)(p.x+h, p.y));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h, p.y));

 return( (tplsh-2*t+tmnsh)/(h*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_yy(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double t;
double tplsh;
double tmnsh;

 t     = ((*P_f)(p.x, p.y  ));
 tplsh = ((*P_f)(p.x, p.y+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x, p.y-h));

 return( (tplsh-2*t+tmnsh)/(h*h) );
}


Fichiers h : xfxyz x


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

xfxyz_x.h
Dérivation de fonction df(x,y,z)/dx
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfxyz_x.h               */
/* ------------------------------------ */
double fxyz_x(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x+h,p.y,p.z));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h,p.y,p.z));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxyz_y(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y+h,p.z));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y-h,p.z));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxyz_z(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y,p.z+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y,p.z-h));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}


Application : Fonction Heaviside


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La fonction Heaviside dans Wikipedia.

La fonction Heaviside[modifier | modifier le wikicode]


Présentation[modifier | modifier le wikicode]

Voici une possibilité pour la déclaration de la fonction Heaviside.

/* ------------------------------------ */
double H(
double x)
{
       if(x>0.)return(1.);
       else    return(0.);
}
/* ------------------------------------ */


N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

c01.c
La fonction
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" H : if(x>0) 1 else 0 \n");

      G_plot(i_WGnuplot(-2.,20.,-1.,2.),
             i_time(-2.,20.,0.001),
             H);

 printf("\n  load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n  Press return to continue         ");
 getchar();

 return 0;
}


Une application[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons simplement appeler la fonction Heaviside dans une boucle for.

Pour obtenir une somme : Sum((-1)^n*H(x-n),n=0..20)


c02.c
Une application
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
double v(
double x)
{
double n=0, r=0;

 for(;n<20;++n) r += pow(-1,n)*H(x-n);

 return(r);
}
char veq[] = "Sum((-1)^n*H(x-n),n=0..20)";
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" H : if(x>0) 1 else 0 \n\n"
        " v : x-> %s           \n\n",veq);

      G_plot(i_WGnuplot(-2.,20.,-1.,2.),
             i_time(-2.,20.,0.001),
             v);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue         ");
 getchar();

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Heaviside02


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include "xdef.h"
#include "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "fh.h"
#include  "g_f.h"


fh.h
La fonction Heaviside
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  fh.h                     */
/* ------------------------------------ */
double H(
double x)
{
       if(x>0.)return(1.);
       else    return(0.);
}
/* ------------------------------------ */


g_f.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   g_f.h                   */
/* ------------------------------------ */
void G_plot(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double (*P_f1)(double x)
)
{
FILE  *fp;
double  t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"data\" with line lt 3\n"
           " reset",
             W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("data","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",t,(*P_f1)(t));
 fclose(fp);
}


Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Certains résultats sont vraiment surprenants en associant la fonction heaviside et la fonction sinus.

Heaviside03


Application : Tangente


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = 2;

 printf("  f : x-> %s\n\n",   feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :",c);
 printf("\n\n    y = f'(c) (x-c) + f(c) =");
 eq_Tan(c,f,Df);

 G_Tan(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),
       c,
       feq,
       f,
       Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot.\n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)
 f': x->  (-sin(x)) 
.
With c = 2.000, the equation of the tangent is :
.
   y = f'(c) (x-c) + f(c) = -0.909*x +1.402
.
load "a_main.plt" with gnuplot.


Résultat dans gnuplot
Tangente01


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


k_tan.h
Equation de la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan(
W_Ctrl w,
double c,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f lw 3\n"
           " reset",
            w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
            (*PDf)(c),
            (-(*PDf)(c)* c + (*P_f)(c)));

 fclose(fp);
}


Exemple avec la sortie dans le fichier "a_out.txt"[modifier | modifier le wikicode]

c01f.c
Sortie dans un fichier
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01f.c                  */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp = fopen("a_out.txt","w");
double c = 0;

fprintf(fp,"  f : x-> %s\n\n",   feq);
fprintf(fp,"  f': x-> %s\n\n\n",Dfeq);

fprintf(fp," With c = %0.3f, the equation of the tangent is :",c);
fprintf(fp,"\n\n    y = f'(c) (x-c) + f(c) =");
eq_Tanf(fp,c,f,Df);

G_Tan(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),c,feq,f,Df);

fprintf(fp," load \"a_main.plt\" with gnuplot.");
 fclose(fp);

 printf(" Read \"a_out.txt\".\n"
        " Press return to continue");

  getchar();

 return 0;
}


Le résultat dans le fichiers "a_out.txt"

 f : x->  cos(x)
 f': x->  (-sin(x)) 
 .
With c = 0.000, the equation of the tangent is :
.
   y = f'(c) (x-c) + f(c) = -0.000*x +1.000
.
load "a_main.plt" with gnuplot.


Résultat dans gnuplot
Tangente02


Application : Champ de tangentes


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner un champ de tangentes 1[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f1.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_TanA(i_WGnuplot(-10,10,-400,300),
         i_time(-24.,24.,1),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Tangente01


Dessiner un champ de tangentes 2[modifier | modifier le wikicode]

c02.c
Dessiner la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c02.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_TanA(i_WGnuplot(-2*PI, 2*PI,-4,8),
         i_time(-2.,2.,.1),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Tangente01


Dessiner un champ de normales 3[modifier | modifier le wikicode]

c03.c
Dessiner un champ de normales 3
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c03.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f3.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_NorA(i_WGnuplot(-2,2,-1,2.4),
         i_time(-2,2,.05),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Tangente01


Dessiner un champ de normales 4[modifier | modifier le wikicode]

c04.c
Dessiner un champ de normales 4
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c04.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f1.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_NorA(i_WGnuplot(-2, 2,-1.7,1.7),
         i_time(-2.,2.,.05),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Tangente01

Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
#include     "xdef.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"


f1.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f1.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       3*x*x-2*x-5);
}
char  feq[] = " 3*x**2-2*x-5";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(        6*x-2 );
}
char Dfeq[] = " 6*x-2 ";


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


f3.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f3.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(        x*x);
}
char  feq[] = " x**2";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(        2*x );
}
char Dfeq[] = " 2*x ";


kg_tan.h
Les fonctions graphiques
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p = Pic.mini;

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\"\n"
           " set zeroaxis\n"
           " unset key\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ);

for(;p<Pic.maxi;p+=Pic.step)
    fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f, \\\n",
           (*PDf)(p), (-(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

     fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f\n",
           (*PDf)(p), (-(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

fprintf(fp," reset");
 fclose(fp);
}
/* ------------------------------------ */
void G_NorA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p = Pic.mini;

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\"\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set zeroaxis\n\n"
           " unset key\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ);

for(;p<Pic.maxi;p+=Pic.step)
    fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f, \\\n",
           (-1/(*PDf)(p)), (1/(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

     fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f\n",
           (-1/(*PDf)(p)), (1/(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

fprintf(fp," reset");
 fclose(fp);
}


Application : Tangente et axes x-y


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner les points d'intersection de la tangente avec les axes x/y
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = 1;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf(" Df : x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of"
           " the tangent is :\n\n"
           "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find at c = %0.3f\n\n"
        " the intersection points of the"
        " tangent with the x-y axis.\n\n",c);

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)     P(c, f(c))\n",
        c,f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)     A(c-f(c)/Df(c), 0)\n",
        c-(f(c))/(Df(c)));

 printf(" B(    0, %5.3f)     B(0, f(c)-c Df(c))\n",
        f(c)-((Df(c))*c));

 G_Tan_xy(i_WGnuplot(-7,7,-2,2),
          c,
          feq,
          f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
Df : x->  (-sin(x)) 
.
With c = 1.000, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.841*x +1.382
.
.
Find at c = 1.000
.
the intersection points of the tangent with the x-y axis.
.
P(1.000, 0.540)     P(c, f(c))
A(1.642, 0.000)     A(c-f(c)/Df(c), 0)
B(    0, 1.382)     B(0, f(c)-c Df(c))
.
load "a_main.plt" with gnuplot.
Résultat dans gnuplot
Tangente03


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


k_tan.h
Equation de la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]

   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan_xy(
W_Ctrl w,
double c,
  char fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] "
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_p.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"a_a.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"a_b.plt\" lt 1\n"
           " reset",
            w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
  ((*PDf)(c)),  (-((*PDf)(c))*c+((*P_f)(c))) );
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_p.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f",
             c, ((*P_f)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_a.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   0.",
c-((*P_f)(c))/((*PDf)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_b.plt","w");
fprintf(fp," 0.   %0.6f",
((*P_f)(c))-(((*PDf)(c))*c));
 fclose(fp);
}


Un exemple avec la fonction sin.


Résultat dans gnuplot
Tangente04


Application : Tangente de P à l'axes des x


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer la longeur de P(c,f(c) à l'axe de x.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.\n\n");

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)           P(c, f(c))       \n",
        c,f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)           A(c-f(c)/Df(c), 0)\n\n\n",
          c-(f(c)/Df(c)));

 printf(" PA =  sqrt(f(c)**2*(1 +(1/Df(c)**2))) = %6.3f\n\n\n",
        sqrt(pow(f(c),2)*(1+(1/pow(Df(c),2)))));

 G_TanPx      (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
 Df: x->  (-sin(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.479*x +1.117
.
Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.
.
P(0.500, 0.878)           P(c, f(c))       
A(2.330, 0.000)           A(c-f(c)/Df(c), 0)
.
PA =  sqrt(f(c)**2*(1 +(1/Df(c)**2))) =  2.030
.
load "a_main.plt" with gnuplot.
Résultat dans gnuplot
Tangente05


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


k_tan.h
Equation de la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanPx(
W_Ctrl w,
double c,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");   
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_xaxe.plt\" with linesp lt 3 \n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
       (*PDf)(c),-(*PDf)(c)*c+(*P_f)(c) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_xaxe.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f\n",c,(*P_f)(c) );
fprintf(fp," %0.6f   0.   \n",
c-((*P_f)(c)/(*PDf)(c)));
 fclose(fp);
}


Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot
Tangente06


Application : Tangente de P à l'axes des y


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer la longeur de P(c,f(c) à l'axe de y.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.\n\n");

 printf(" P(%5.3f,  %5.3f)    P(c, f(c))          \n", 
        c, f(c));

 printf(" B(0.000,  %5.3f)    B(0, f(c)-c*Df(c))\n\n", 
        f(c)-c*Df(c));

 printf(" PB = sqrt(c**2*(1+Df(c)**2)) = %6.3f \n\n", 
 sqrt(c*c*(1+pow(Df(c),2))));

 G_TanPy      (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
 Df: x->  (-sin(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.479*x +1.117
.
Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.
.
P(0.500,  0.878)    P(c, f(c))          
B(0.000,  1.117)    B(0, f(c)-c*Df(c))
.
PB = sqrt(c**2*(1+Df(c)**2)) =  0.554 
.
load "a_main.plt" with gnuplot.
Résultat dans gnuplot
Tangente07


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


k_tan.h
Equation de la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]

   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanPy(
W_Ctrl w,
double c,
  char fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f, \\\n"
           " \"a_yaxe.plt\" with linesp lt 3\n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
             fEQ, 
    ((*PDf)(c)) ,(-((*PDf)(c))* c + ((*P_f)(c))));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_yaxe.plt","w");
fprintf(fp," %0.5f   %0.5f\n",c,((*P_f)(c)));
fprintf(fp," 0.000   %0.5f", 
((*P_f)(c))-(((*PDf)(c))*c));
 fclose(fp);
}


Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot
Tangente08


Application : Sous tangente


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer la longeur de la sous tangente.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find AM, the length of the under tangent.\n\n");

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)         P(c, f(c))    \n", 
        c, f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)         A(c-f(c)/Df(c), 0)\n", 
        c-(f(c)/Df(c)));
 printf(" M(%5.3f, 0.000)         M( c, 0)\n\n\n", c);

 printf(" AM = sqrt((f(c)**2)/(Df(c)**2)) = %6.3f\n\n\n", 
         sqrt(f(c)*f(c)*(1/(Df(c)*Df(c)))));

  G_TanxM    (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  sin(x)  
 Df: x->  (cos(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  0.878*x +0.041
.
Find AM, the length of the under tangent.
.
P(0.500, 0.479)         P(c, f(c))    
A(-0.046, 0.000)         A(c-f(c)/Df(c), 0)
M(0.500, 0.000)         M( c, 0)
.
AM = sqrt((f(c)**2)/(Df(c)**2)) =  0.546
.
load "a_main.plt" with gnuplot.
Résultat dans gnuplot
Tangente09


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";


k_tan.h
Equation de la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanxM(
W_Ctrl w,
double c,
  char   fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");  
fprintf(fp," set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_px.plt\" with linesp lt 3,\\\n"
           " \"a_am.plt\" with linesp lt 4 \n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,fEQ,
        ((*PDf)(c)),(-(*PDf)(c)*c+(*P_f)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_px.plt",  "w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f\n", c,((*P_f)(c)));
fprintf(fp," %0.6f   0.",
 c-(((*P_f)(c))/((*PDf)(c))) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_am.plt",  "w"); 
fprintf(fp," %0.6f   0.\n",
c-(((*P_f)(c))/((*PDf)(c))));
fprintf(fp," %0.6f   0.", c);
 fclose(fp);
}


Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot
Tangente10


Application : Cercle de courbure


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Le cercle de courbure dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner un cercle de courbure pour une fonction f(x).
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fb.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double x = 0.;
double e = .001;
char   Name[FILENAME_MAX] = "a_circle.plt";

   circle(Name,
          1./K_y_2d(f,x,e),
          h_y_2d(f,x,e),
          k_y_2d(f,x,e));

   G_C_2d(i_WGnuplot(-4.,4.,-2.,2.),
          f,x,e,
          feq);

 clrscrn();

 printf(" If a smooth curve C is the graph of y = f(x),\n"
        " then the curvature K at P(x,y) is\n\n\n"
        " K = |y''| / [1 + y'^2]^(3/2)     \n\n\n"

        " If P(x,y) is a point on the graph "
        "of y = f(x)  \n"
        " at which K != 0. The point M(h,k)"
        " is the center\n"
        " of the cuvature for P if   \n\n\n"
        " h = x - y'[1 + y'^2] / y''     \n"
        " k = y +   [1 + y'^2] / y'' \n\n\n"

        " The radius is r = 1/K \n\n\n"

        " Open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Tangente20
Résultat dans gnuplot
Tangente21
Résultat dans gnuplot
Tangente22


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "kradius.h"
#include     "kg_c.h"
#include  "kcircle.h"


kradius.h
Coordonnées du cercle
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kradius.h               */
/* ------------------------------------ */
double K_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return(fabs(fx_xx((*P_f),x,e))
                   /
             pow(1+a*a,3./2.));
}
/* ------------------------------------ */
double h_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return(x - ( ( a*(1+a*a) )
              /
        fx_xx((*P_f),x,e)));
}
/* ------------------------------------ */
double k_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return((*P_f)(x) + (    (1+a*a)
                  /
           fx_xx((*P_f),x,e)));
}


fb.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fb.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
        return( cos(x));
}
char  feq[] =  "cos(x)";


kg_c.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_c.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_C_2d(
W_Ctrl W,
double (*P_f)(double x),
double x,
double e,
char   feq[]
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with linespoints,\\\n"
           " \"a_circle.plt\" with line,\\\n"
           " %s with line\n",
    W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,feq);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",h_y_2d((*P_f),x,e),
                              k_y_2d((*P_f),x,e));
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",x,(*P_f)(x));
 fclose(fp);

 Pause();
}


kcircle.h
Le cercle
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kcircle.h               */
/* ------------------------------------ */
void circle(
char   Name[FILENAME_MAX],
double r,
double x,
double y
)
{
FILE   *fp = fopen(Name,"w");
double   t = 0.;

for(;t<2.01*PI;t+=.1)
fprintf(fp," %6.5f %6.5f\n",r*cos(t)+x,r*sin(t)+y);
 fclose(fp);
}


Application : Méthode de Newton


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Méthode de Newton dansWikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer le point d'intersection entre g et h.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
int         n = 5;
double FirstA = 0.5;

 clrscrn();
 printf(" Use Newton's method to approximate"
        " the intersection point of :\n\n");
 printf(" g : x-> %s\n\n", geq);
 printf(" and\n\n");
 printf(" h : x-> %s\n\n", heq);

 G_gh(i_WGnuplot(-4,4,-4,4), geq,heq);

 printf(" To see the graphs of g and h, open the"
        " file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n"
        " You can see that, the intersection"
        " point is between 0.0 and 1.0.\n\n"
        " Choose x = %.1f as a first approximation.\n\n",FirstA);
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" In fact we want find sin(x) = cos(x)"
        " or sin(x) - cos(x) = 0.\n\n"
        " We want find a root of\n\n"
        " f : x-> %s\n\n", feq);
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" As a first approximation x = %.1f \n\n"
        " The Newton's method give :        \n\n",FirstA);

     G_gh_x_0(i_WGnuplot(-4,4,-4,4),
               geq,
               heq,
                 g,
               Newton_s_Method(FirstA,n,f,Df));

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot. "
        "\n\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Use Newton's method to approximate the intersection point of :
g : x-> sin(x)
and
h : x-> cos(x)
.
To see the graphs of g and h, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.
.
You can see that, the intersection point is between 0.0 and 1.0.
Choose x = 0.5 as a first approximation.
In fact we want find sin(x) = cos(x) or sin(x) - cos(x) = 0.
We want find a root of
.
f : x-> sin(x) - cos(x)
.
As a first approximation x = 0.5 
.
The Newton's method give :        
.
x[1] = 0.500000000000000
x[2] = 0.793407993026023
x[3] = 0.785397992096516
x[4] = 0.785398163397448
x[5] = 0.785398163397448
.
load "a_main.plt" with gnuplot.


Résultat dans gnuplot
Tangente11

Un autre exemple avec :

As a first approximation x = -2.5 
.
The Newton's method give :        
.
x[1] = -2.500000000000000
x[2] = -2.355194920430497
x[3] = -2.356194490525248
x[4] = -2.356194490192345
x[5] = -2.356194490192345


Résultat dans gnuplot
Tangente12


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "knewton.h"
#include    "kg_gh.h"


f2.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------------------------------ */
double g(
double x)
{
        return(sin(x));
}
char  geq [] = "sin(x)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double x)
{
          return(cos(x));
}
char  Dgeq [] = "cos(x)";
/* ------------------------------------ */
/* ------------------------------------ */
double h(
double x)
{
        return(cos(x));
}
char  heq [] = "cos(x)";
/* ------------------------------------ */
double Dh(
double x)
{
          return(- sin(x));
}
char  Dheq [] = "- sin(x)";
/* ------------------------------------ */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
         return(sin(x) - cos(x));
}
char  feq [] = "sin(x) - cos(x)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double x)
{
          return(cos(x) + sin(x));
}
char  Dfeq [] = "cos(x) + sin(x)";


knewton.h
Méthode de Newton
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   knewton.h               */
/* ------------------------------------
   x_n+1 = x_n -  f(x_n)
                 ------
                 f'(x_n)
  ------------------------------------ */
double Newton_s_Method(
double x,
   int imax,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
int i=1;

   for(;i<=imax;i++)
      {
       printf(" x[%d] = %.15f\n",i,x);
       x -= ((*P_f)(x))/((*PDf)(x));
      }
return(x);
}


kg_gh.h
Fonctions graphiques
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_gh.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_gh(
W_Ctrl w,
  char geq[],
  char heq[]
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %s  \n"
           " reset",
           w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
           geq,heq);

 fclose(fp);
}
/* ------------------------------------ */
void G_gh_x_0(
W_Ctrl  w,
  char  geq[],
  char  heq[],
double (*P_g)(double x),
double  x_0
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");
FILE   *fq = fopen( "a_x_0.plt","w");

fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %s, \\\n"
           " \"a_x_0.plt\" pt 7 ps 3 \n"
           " reset",
           w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
           geq,heq);
 fclose(fp);

fprintf(fq," %0.6f   %0.6f", x_0,(*P_g)(x_0));
 fclose(fq);
}


Application : Tangente d'une courbe


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente d'une courbe[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner la tangente d'une courbe
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

     G_Tan( i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
            i_time(0,2.*PI,.05),
            2.,
            f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Tangente14


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"


fe.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE   *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"data.plt\" with linesp lt 3 pt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f\n"
           " reset",
             W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
             (*PDgDf)(c),
             (-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

             fp = fopen("data.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f   %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
      fclose(fp);
}


Application : Tangente et axes x-y d'une courbe


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner les points d'intersection de la tangente avec les axes x/y
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/2.+.2;

 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" Find at c = %0.3f\n\n"
        " the intersection points of "
        "the tangent with the x-y axis.\n\n\n",c);

 printf(" P(%6.3f, %6.3f) P(c, f(c))\n\n",
        c, f(c));

 printf(" A(%6.3f, 0)     A(f(c)-g(c)/DgDf(c), 0)\n\n",
        f(c)-g(c)/DgDf(c));

 printf(" B( 0, %6.3f)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))\n\n\n",
        g(c)-f(c)*DgDf(c));

     G_Tanxy(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
With
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
Find at c = 1.771
the intersection points of the tangent with the x-y axis.
.
P( 1.771, -1.651)     P(c, f(c))
A(-2.337, 0)          A(f(c)-g(c)/DgDf(c), 0)
B( 0, -2.029)         B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.
Press return to continue
Résultat dans gnuplot
Tangente17


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"


fe.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tanxy(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"data.plt\" with line lt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f, \\\n"
           " \"p.plt\" lt 1, \\\n"
           " \"px.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"py.plt\" lt 1   \n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("data.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f   %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t)  );
             fclose(fp);

        fp = fopen("p.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f   %0.6f", (*P_f)(c), (*P_g)(c)  );
             fclose(fp);

        fp = fopen("px.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f  0.",
             ((*P_f)(c))-((*P_g)(c))/((*PDgDf)(c))      );
             fclose(fp);

        fp = fopen("py.plt","w");
     fprintf(fp," 0.   %0.6f",
             ((*P_g)(c))- (((*PDgDf)(c))*((*P_f)(c)))   );
             fclose(fp);
}


Application : Tangente de P à l'axes des x d'une courbe


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer la longeur de P(f(c),g(c) à l'axe de x.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/4;

 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        " y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) = ",c);
 eq_Tan(f,g,DgDf,c);

 printf("\n\n\n");

 printf(" Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.\n\n");

 printf(" P(%6.3f, %6.3f)    P(f(c), g(c))                 \n",
        f(c),g(c));

 printf(" A(%6.3f,  0.000)    A(f(c)-g(c)/(DgDf)(c), 0)\n\n\n",
          f(c)-g(c)/(DgDf)(c));

 printf(" PA =  sqrt(g(c)**2*(1+(DgDf(c)**2))/(DgDf(c)**2))\n"
        "    = %6.3f\n\n",
       sqrt(pow(g(c),2)*(1/pow(DgDf(c),2)+1)) );

     G_TanLx(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
.
With
.
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
With c = 0.785, the equation of the tangent is :
y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) =  0.500*x +1.414
.
Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.
P( 1.414,  2.121)    P(f(c), g(c))                 
A(-2.828,  0.000)    A(f(c)-g(c)/(DgDf)(c), 0)
.
PA =  sqrt(g(c)**2*(1+(DgDf(c)**2))/(DgDf(c)**2))
   =  4.743
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.


Résultat dans gnuplot
Tangente18


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"


fe.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t),
double c
)
{
  printf(" %0.3f*x %+0.3f",
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
}
/* ------------------------------------ */
void G_TanLx(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_pts.plt\" with line lt 1,   \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,                 \\\n"
           " \"axp.plt\" with linesp lt 3      \n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
 fclose(fp);

        fp = fopen("axp.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f %0.6f\n",(*P_f)(c),(*P_g)(c));
     fprintf(fp," %0.6f  0.  \n",
                 (*P_f)(c)-(*P_g)(c)/(*PDgDf)(c));
     fclose(fp);
}


Application : Tangente de P à l'axes des y d'une courbe


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Calculer la longeur de P(f(c),g(c) à l'axe de y.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/4.;

printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        " y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) = ",c);
 eq_Tan(f,g,DgDf,c);

 printf("\n\n\n");

 printf(" Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.\n\n");

 printf(" P(%6.3f, %6.3f)    P(f(c), g(c))                 \n",
        f(c),g(c));

 printf(" B(+0.000, %6.3f)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))\n\n\n",
           g(c)-DgDf(c)*f(c));

 printf(" PB =  sqrt(f(c)**2*(1+DgDf(c)**2))\n"
        "    = %6.3f\n\n",
       sqrt(pow(f(c),2)*(1+pow(DgDf(c),2))));

     G_TanLy(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
.
With
.
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
With c = 0.785, the equation of the tangent 
y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) =  0.500*x +1.414
.
Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.
.
P( 1.414,  2.121)    P(f(c), g(c))                 
B(+0.000,  1.414)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))
.
PB =  sqrt(f(c)**2*(1+DgDf(c)**2))
   =  1.581
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.


Résultat dans gnuplot
Tangente18


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"


fe.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}


kg_tan.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t),
double c
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f",
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
}
/* ------------------------------------ */
void G_TanLy(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts.plt\" with line lt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"ayp.plt\" with linesp lt 3\n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
             fclose(fp);

        fp = fopen("ayp.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f %0.6f\n",(*P_f)(c),(*P_g)(c));
     fprintf(fp,"    0. %0.6f \n",
     (*P_g)(c)- (*PDgDf)(c)*(*P_f)(c));
             fclose(fp);
}


Application : Cercle de courbure d'une courbe


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner un cercle de courbure pour une fonction (f(t),g(t))
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fb.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double t = PI;
double e = .001;
char   Name[FILENAME_MAX] = "a_circle.plt";

     circle(Name,
               1./fabs(Kt_2d(f,g,t,e)),
                  cx_2d(f,g,t,e),
                  cy_2d(f,g,t,e));

     G_C_2d(i_WGnuplot(-4,8,-2,4),
            i_time(0.,2*PI,.03),
             f,g,t,
             e);

 printf(" The curvature K of a smooth parametric"
        " curve C is :\n\n\n"

        " K = |f' g'' - g' f''| / "
        "[ (f')^2 - (g')^2 ]^(3/2)\n\n"

        " If P(f(t),g(t)) is a point on the curve  \n"
        " at which K != 0. The point M(h,k)"
        " is the center\n"
        " of the cuvature for P if   \n\n\n"
        " h = f - g'[f'^2 + g'^2] / [f'g''-f''g']\n"
        " k = g + f'[f'^2 + g'^2] / [f'g''-f''g']\n\n\n"

        " The radius is r = 1/|K| \n\n\n"

        " Open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Tangente23
Résultat dans gnuplot
Tangente24
Résultat dans gnuplot
Tangente25


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "kradius.h"
#include     "kg_c.h"
#include  "kcircle.h"


kradius.h
Coordonnées du cercle
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kradius.h               */
/* ------------------------------------ */
double Kt_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double K;
double a;
double b;

a = fx_x((*P_f),t,e);
b = fx_x((*P_g),t,e);

K = fabs(a*fx_xx((*P_g),t,e)-b*fx_xx((*P_f),t,e))
                /
     pow(a*a+b*b,3./2.);

 return(K);
}
/* ------------------------------------ */
double cx_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double Num,Den;

 Num =( pow(fx_x((*P_f),t,e),2)
       +pow(fx_x((*P_g),t,e),2)
      )
      *fx_x((*P_g),t,e);

 Den = fx_x((*P_f),t,e)*fx_xx((*P_g),t,e)-
       fx_x((*P_g),t,e)*fx_xx((*P_f),t,e);

 return((*P_f)(t)-Num/Den);
}
/* ------------------------------------ */
double cy_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double Num,Den;

 Num =( pow(fx_x((*P_f),t,e),2)
       +pow(fx_x((*P_g),t,e),2)
      )
      *fx_x((*P_f),t,e);

 Den = fx_x((*P_f),t,e)*fx_xx((*P_g),t,e)-
       fx_x((*P_g),t,e)*fx_xx((*P_f),t,e);

 return((*P_g)(t)+Num/Den);
}


fb.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fb.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
        return( 4+sin(2*t) );
}
char  feq[] =  "4+sin(2*t)";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
        return( 1-2*cos(3*t) );
}
char  geq[] =  "1-2*cos(3*t)";


kg_c.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_c.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_C_2d(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double (*P_f)(double x),
double (*P_g)(double x),
double x,
double e
)
{
FILE *fp;
double i;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with linespoints,\\\n"
           " \"a_curve.plt\" with line,\\\n"
           " \"a_circle.plt\" with line\n",
           W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_curve.plt","w");
for(i=T.mini; i<=T.maxi; i+=T.step)
fprintf(fp," %6.3f  %6.3f\n",(*P_f)(i),(*P_g)(i));
fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",cx_2d((*P_f),(*P_g),x,e),
                              cy_2d((*P_f),(*P_g),x,e));
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",(*P_f)(x),(*P_g)(x));
             fclose(fp);

 Pause();
}


kcircle.h
Le cercle
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kcircle.h               */
/* ------------------------------------ */
void circle(
char   Name[FILENAME_MAX],
double r,
double x,
double y
)
{
FILE   *fp = fopen(Name,"w");
double   t = 0.;

for(;t<2.01*PI;t+=.1)
fprintf(fp," %6.5f %6.5f\n",r*cos(t)+x,r*sin(t)+y);
 fclose(fp);
}


Application : Courbe de Bézier


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Les courbes de Béziers dans Wikipedia.

Courbe de Béziers[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

c01.c
Exemple à tester
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-10,90,-10,50),
             i_point2d(20.,10.),
             i_point2d(40.,40.),
             i_point2d(60.,10.) );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Bezier curve a1


Une application[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons essayé de recouvrir un quart de cercle avec une courbe de Béziers. Nous savons que c'est impossible (voir théorie)


c02.c
Exemple à tester
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-0,2,-0,1),
             i_point2d(0.,1.),
             i_point2d(1.,1.),
             i_point2d(1.,0.)  );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Bezier curve a2


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kpoly.h"
#include  "kbezier.h"


Cette partie ne peut être vue que dans wikiversité.


kpoly.h
Les équations de la courbe
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    kpoly.h                */
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_x_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
return(
    P0.x * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.x * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
    P2.x * pow((1-t),0) * pow(t,2)
);
}
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_y_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2)
{
return(
    P0.y * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.y * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
    P2.y * pow((1-t),0) * pow(t,2)
);
}
/* ------------------------------------ */


kbezier.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  kbezier.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_quadratic_Bezier_lp_2d(
W_Ctrl   w,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
FILE   *fp;

double  mini = 0.;
double  maxi = 1.;
double  step =  .01;
double     t = mini;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid \n\n"
           " set size ratio -1\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts\" with linesp lt 3 pt 1, \\\n"
           " \"a_ctrlpt\" with linesp lt 4 pt 4 \\\n\n"
           " reset",w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi);
 fclose(fp);

             fp = fopen("a_pts","w");
 for(t=mini; t<=maxi; t+=step)
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",quadratic_Bezier_x_2d(t,P0,P1,P2),
                                   quadratic_Bezier_y_2d(t,P0,P1,P2));
      fclose(fp);

             fp = fopen("a_ctrlpt","w");
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P0.x,P0.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P1.x,P1.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P2.x,P2.y);
      fclose(fp);

 Pause();
}


Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons utilisé dans les exemples trois points de contrôles. Ici un exemple avec trois courbes et cinq points de contrôles.

Résultat dans gnuplot
Bezier curve a3


Application : Courbe de Bézier rationnelle


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Les courbes de Béziers dans Wikipedia.

Courbes de Béziers rationelles (cubiques)[modifier | modifier le wikicode]

La seule chose qui change avec le chapitre précédent, c'est le fichier "kpoly.h".

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

c01.c
Exemple à tester
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-10,90,-10,50),
             i_point2d(20.,10.),
             i_point2d(40.,40.),
             i_point2d(60.,10.)
             );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Bezier curve b1


Courbe du chapitre précédent
Bezier curve b1


Une application[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons essayé de recouvrir un quart de cercle avec une courbe de Béziers. En théorie cela est possible avec les courbes de Béziers rationelles (cubiques).


c02.c
Exemple à tester
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-0,2,-0,1),
             i_point2d(0.,1.),
             i_point2d(1.,1.),
             i_point2d(1.,0.)
             );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}


Résultat dans gnuplot
Bezier curve b2


Courbe du chapitre précédent
Bezier curve b2


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kpoly.h"
#include  "kbezier.h"


Cette partie ne peut être vue que dans wikiversité.


kpoly.h
Les équations de la courbe
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    kpoly.h                */
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_x_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
return(
     
(
    P0.x * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.x * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 * P2.x * pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
/
(
     pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 *  pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 *  pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
 
);
}
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_y_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2)
{
return( 
    
(
    P0.y * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.y * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 * P2.y * pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
/
(
     pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 *  pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 *  pow((1-t),0) * pow(t,2)
) 

);
}
/* ------------------------------------ */


kbezier.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  kbezier.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_quadratic_Bezier_lp_2d(
W_Ctrl   w,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
FILE   *fp;

double  mini = 0.;
double  maxi = 1.;
double  step =  .01;
double     t = mini;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid \n\n"
           " set size ratio -1\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts\" with linesp lt 3 pt 1, \\\n"
           " \"a_ctrlpt\" with linesp lt 4 pt 4 \\\n\n"
           " reset",w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts","w");
 for(t=mini; t<=maxi; t+=step)
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",quadratic_Bezier_x_2d(t,P0,P1,P2),
                                   quadratic_Bezier_y_2d(t,P0,P1,P2));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_ctrlpt","w");
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P0.x,P0.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P1.x,P1.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P2.x,P2.y);
 fclose(fp);

 Pause();
}


Application : Fonction vectorielle 3D


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner un vecteur tangent et normales unitaire.
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double t     =  4.;

 printf(" r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k \n\n");
 printf(" With \n\n");
 printf(" f : t-> %s  \n", feq);
 printf(" g : t-> %s  \n", geq);
 printf(" h : t-> %s\n\n", heq);
 printf(" t = %+.2f \n\n",   t);

     G_Curve_3d(i_time(0.,6.*PI,.01),
                f,g,h,
                Tf,Tg,Th,
                t);

 printf(" Draw the velocity and accelerator vectors"
        " at the point P(f(t),g(t)),                \n\n"
        " open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Curve06
Résultat dans gnuplot
Curve07


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "knfx_x.h"
#include "kg_ctan1.h"


knfx_x.h
Normalisé
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   knfx_x.h                 */
/* ------------------------------------ */
double fx_x_Normalize(
double (*P_f)(double x),
double (*P_g)(double x),
double (*P_h)(double x),
double t,
double e
)
{
double Df=fx_x((*P_f),t,e);
double Dg=fx_x((*P_g),t,e);
double Dh=fx_x((*P_h),t,e);

 return(Df/sqrt(Df*Df+Dg*Dg+Dh*Dh));
}


fa.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
        return( cos(t));
}
char  feq[] =  "cos(t)";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
        return( sin(t));
}
char  geq[] =  "sin(t)";
/* ------------------------------------ */
double h(
double t)
{
        return( t);
}
char  heq[] =  "t";
/* ------------------------------------ */
double Tf(
double t)
{
        return(
        -(sin(t)/sqrt(2))
        );
}
/* ------------------------------------ */
double Tg(
double t)
{
        return(
        cos(t)/sqrt(2)
        );
}
/* ------------------------------------ */
double Th(
double t)
{
        return(
        1/sqrt(2)
        );
}


kg_ctan1.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_ctan1.h              */
/* ------------------------------------ */
void G_Curve_3d(
t_Ctrl T,
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double (*P_h)(double t),
double (*P_Tf)(double t),
double (*P_Tg)(double t),
double (*P_Th)(double t),
double t
)
{
FILE *fp;
double i;
double e = .001;

fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n\n"
           " splot \\\n"
           " \"a_curve.plt\" with line lt 3,\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with line lt 2,\\\n"
           " \"atangent.plt\" with line lt 4,\\\n"
           " \"anormal.plt\" with line lt 1 ");
fclose(fp);

        fp = fopen("a_curve.plt","w");
for(i=T.mini; i<=T.maxi; i+=T.step)
fprintf(fp," %6.3f  %6.3f  %6.3f\n",
       (*P_f)(i),
       (*P_g)(i),
       (*P_h)(i));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp,"  0  0  0   \n %6.5f  %6.5f  %6.5f  \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t));
 fclose(fp);

        fp = fopen("atangent.plt","w");
fprintf(fp,"  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n"
           "  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t),
       (*P_f)(t)+fx_x_Normalize((*P_f),(*P_g),(*P_h),t,e),
       (*P_g)(t)+fx_x_Normalize((*P_g),(*P_f),(*P_h),t,e),
       (*P_h)(t)+fx_x_Normalize((*P_h),(*P_f),(*P_g),t,e) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("anormal.plt","w");
fprintf(fp,"  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n"
           "  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t),
       (*P_f)(t)+fx_x_Normalize((*P_Tf),(*P_Tg),(*P_Th),t,e),
       (*P_g)(t)+fx_x_Normalize((*P_Tg),(*P_Tf),(*P_Th),t,e),
       (*P_h)(t)+fx_x_Normalize((*P_Th),(*P_Tf),(*P_Tg),t,e));
 fclose(fp);

 Pause();
}

Algorithme[modifier | modifier le wikicode]

r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
T(t) = r'(t) / ||r'(t)||
N(t) = T'(t) / ||T'(t)||


Application : Tangente de f(x,y)


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

La tangente dans Wikipedia.


Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente[modifier | modifier le wikicode]

  • La méthode consiste à poser :
    • x = i (ici i=1).
    • D'utiliser la dérivée partielle par rapport à y.
    • Puis écrire l'équation de la tangente d'une fonction en y.


c01.c
Dessiner la tangente
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
point2d p = i_point2d(1,2);
double  h = .001;

 printf(" Draw the equation of the tangent\n\n");
 printf(" at the point P(%.0f,%.0f),\n\n",p.x,p.y);
 printf(" on the plan x = %.0f for f(x,y).\n\n\n",p.x);
 printf(" f : (x,y)-> %s\n\n\n", feq);

 printf(" Cartesian form :\n\n"
        " z = %f y %+f\n\n",
        fxy_y(f,h,p),
        f(p.x,p.y)-fxy_y(f,h,p)*p.y);

       G_3d_p(i_WGnuplot(-10.,10.,-10.,10.),
              i_VGnuplot( 55.,57.,  1., 1.),
              feq,f,
              p);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n");

 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.


Résultat dans gnuplot
Tangente28


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include   "xfxy_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kg_3d.h"


fa.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return( (9-x*x-y*y) );
}
char  feq[] = "9-x**2-y**2";


kg_3d.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_p(
W_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f)(double x, double y),
point2d p
)
{
FILE   *fp;
double a,b;
double    h = .001;
double step = 0.2;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"set isosamples 50\n"
           "set hidden3d\n"
           "set xlabel \"X axis\"\n"
           "set ylabel \"Y axis\"\n"
           "set zlabel \"Z axis\" offset 1, 0\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "\"a_tan.plt\" with linesp lt 1 pt 3,\\\n"
           "\"a_p.plt\" pt 20,\\\n"
           "%s \n\n",
        V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi, feq);
 fclose(fp);

         fp = fopen("a_p.plt","w");
 fprintf(fp," %6.3f %6.3f %6.3f\n",
          p.x,p.y, (*P_f)(p.x,p.y));
  fclose(fp);

  a=fxy_y((*P_f),h,p);
  b=((*P_f)(p.x,p.y)-fxy_y((*P_f),h,p)*p.y);

  fp = fopen("a_tan.plt","w");
    for(p.y=W.ymini; p.y<W.ymaxi;p.y+=step)
      fprintf(fp," %6.3f %6.3f %6.3f\n",
              p.x,p.y, a*p.y+b);
 fclose(fp);

  Pause();
}


Application : Gradient


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Le gradient dans Wikipedia.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

Dessiner la courbe de niveau C de f qui contient P et dessiner le gradient au point P.

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le gradient au point P[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner le gradient au point P
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double   h  = .0001;
 point2d p  = i_point2d(2,1);
vector2d u  = grad_fxy(g,h,p);

 clrscrn();
 printf(" Sketch both the level curve C of f "
        "that contains P and grad(P)   \n\n");
 printf(" f : (x,y)-> %s\n\n", feq);
 printf(" with p(%+.3f,%+.3f) \n\n",p.x,p.y);

  printf(" In first sketch the graph of f(x,y) = 0\n\n");

     G_3d_eq(i_WsGnuplot(-10,10,-10,10,-100,100),
             i_VGnuplot( 55.,57.,1.,1.),
             feq);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n");
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" The level curves have the form f(x,y) = k \n");
 printf(" with p(%+.3f,%+.3f) k = %+.3f \n\n",
          p.x,p.y,f(p.x,p.y));

 printf(" The new function is :\n");
 printf(" g : (x,y)-> %s\n\n", geq);

  printf(" grad(g)]p = %+.3fi  %+.3fj\n",u.i,u.j);
  printf(" is a vector normal to the function\n");
  printf(" g : (x,y)-> %s\n", geq);
  printf(" at the point p(%+.3f,%+.3f)\n\n", p.x,p.y);

  G_3d_levelcurvegradfxy(i_WsGnuplot(-6,6,-6,6,
                                    g(p.x,p.y),
                                    g(p.x,p.y)+.1),
                         g,geq,
                         p);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");

 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.


Sketch both the level curve C of f  that contains P and grad(P)    
.
f : (x,y)->  y**2-x**2
.
with p(+2.000,+1.000) 
.
In first sketch the graph of f(x,y) = 0
.
Open the file "a_main.plt" with gnuplot.
Résultat dans gnuplot
Tangente30
The level curves have the form f(x,y) = k 
with p(+2.000,+1.000) k = -3.000 
.
The new function is :
g : (x,y)->  y**2-x**2+3
.
grad(g)]p = -4.000i  +2.000j
is a vector normal to the function
g : (x,y)->  y**2-x**2+3
at the point p(+2.000,+1.000)
.
Open the file "a_main.plt" with gnuplot.
Press return to continue.
Résultat dans gnuplot
Tangente31


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include   "xfxy_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kgrad.h"
#include    "kg_3d.h"
#include  "kg_grad.h"


fa.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                   */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return( ( y*y-x*x) );
}
char  feq[] = " y**2-x**2";
/* ------------------------------------ */
double g(
double x,
double y)
{
 return( ( y*y-x*x+3) );
}
char  geq[] = " y**2-x**2+3";
/* ------------------------------------ */


kgrad.h
Le gradient
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kgrad.h                 */
/* ------------------------------------ */
vector2d grad_fxy(
double (*P_f)(double x,double y),
double   h,
point2d  p
)
{
vector2d   u;

       u.i = fxy_x((*P_f),h,p);
       u.j = fxy_y((*P_f),h,p);

 return(u);
}


kg_3d.h
La fonction graphique (1)
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                 */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_eq(
   Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
char      feq[]
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "%s",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);
}


kg_grad.h
Dessiner la courbe de niveau qui contient P et le gradient au point P
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_grad.h               */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_levelcurvegradfxy(
Ws_Ctrl W,
double (*P_f)(double x, double y),
char    feq[],
point2d   p
)
{
FILE   *fp;
double   h  = .0001;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 400\n"
           "set isosamples 400\n"
           "set view 1.000, 1.000, 1.000, 1.000 \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "%s,\\\n"
           "\"a_vect\" with linesp lt 3\n",
           W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
           feq);
 fclose(fp);

         fp = fopen("a_vect","w");
 fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
             p.x, p.y, ((*P_f)(p.x,p.y)) );
 fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
             p.x+fxy_x((*P_f),h,p),
             p.y+fxy_y((*P_f),h,p),
             (*P_f)(p.x,p.y) );
  fclose(fp);
}


Application : Vecteur normal


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le vecteur normale au point P[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner le vecteur normale au point P
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
   printf(" Draw the normal vector at the point P.\n\n"
          " f : (x,y)-> %s\n\n", feq);

     G_3d_v(i_WsGnuplot(-3,3,-3,3,-.5,2),
            i_VGnuplot( 94.,22.,1.,1.),
            feq,f,f_z,
            i_point2d(1,0.));

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Tangente32

Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
#include  "xfxyz_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_3dv.h"


fa.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  fa.h                     */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return(      (2*exp(-x) * cos(y)) );
}
char  feq[] = "2*exp(-x) * cos(y)";
/* ------------------------------------ */
double f_z(
double x,
double y,
double z)
{
 return(      (2*exp(-x) * cos(y) - z) );
}
char  f_zeq[] = "2*exp(-x) * cos(y) - z";


kg_3dv.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3dv.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_v(
  Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f) (double x, double y),
double (*P_fz)(double x, double y, double z),
point2d p
)
{
FILE   *fp;
point3d p3d = i_point3d(p.x,p.y,(*P_f)(p.x,p.y));

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "\"a_ka.plt\" with linespoints,\\\n"
           "%s ",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_ka.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x, p.y, ((*P_f)(p.x,p.y)) );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-fxyz_x((*P_fz),0.0001,p3d),
              p.y-fxyz_y((*P_fz),0.0001,p3d),
((*P_f)(p.x,p.y))-fxyz_z((*P_fz),0.0001,p3d));
 fclose(fp);

Pause();
}


Application : Plan tangent


Préambule[modifier | modifier le wikicode]

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le plan tangent au point P[modifier | modifier le wikicode]

c01.c
Dessiner le plan tangent au point P
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Draw the Tangent plane.\n\n"
        " f : (x,y)-> %s\n\n", feq);

     G_3d_v( i_WsGnuplot(-4,4,-4,4,-1,2),
             i_VGnuplot( 80.,38.,1.,1.),
             feq,f,f_z,
             i_point2d(2,0.));

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot
Tangente35


Les fichiers h de ce chapitre[modifier | modifier le wikicode]

x_ahfile.h
Appel des fichiers
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include  "xfxy_x.h"
#include  "xfxyz_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kg_3d.h"


fa.h
La fonction à dessiner
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return(       cos(x)+cos(y) );
}
char  feq[] = "cos(x)+cos(y)";
/* ------------------------------------ */
double f_z(
double x,
double y,
double z)
{
 return(         cos(x)+cos(y)-z );
}
char  f_zeq[] = "cos(x)+cos(y)-z";


fa.h
La fonction graphique
/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                 */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_v(
  Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f) (double x, double y),
double (*P_fz)(double x, double y, double z),
point2d p
)
{
FILE      *fp;
point3d   P3D = i_point3d(p.x,p.y,(*P_f)(p.x,p.y));
double radius = .5;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set size ratio -1\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_ka.plt\" with linesp lt 1 lw 4,\\\n"
           " \"a_kb.plt\" with linesp lt 1 lw 4 ps 2,\\\n"
           "%s lt 3",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_ka.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x, p.y, (*P_f)(p.x,p.y) );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-fxyz_x((*P_fz),0.0001,P3D),
              p.y-fxyz_y((*P_fz),0.0001,P3D),
((*P_f)(p.x,p.y))-fxyz_z((*P_fz),0.0001,P3D));
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_kb.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius