Mathc gnuplot/Version imprimable

Mathc gnuplot

Une version à jour et éditable de ce livre est disponible sur Wikilivres,
une bibliothèque de livres pédagogiques, à l'URL :
https://fr.wikibooks.org/wiki/Mathc_gnuplot

Vous avez la permission de copier, distribuer et/ou modifier ce document selon les termes de la Licence de documentation libre GNU, version 1.2 ou plus récente publiée par la Free Software Foundation ; sans sections inaltérables, sans texte de première page de couverture et sans Texte de dernière page de couverture. Une copie de cette licence est incluse dans l'annexe nommée « Licence de documentation libre GNU ».

Introduction

Préambule

Le livre montre les liens que l'on peut créer entre les mathématiques, le langage C et gnuplot. Une approche expérimentale exigerait un passage continu entre un exemple simple et un autre plus complexe. Dans ce livre, on sautera les étapes.

L'étude de ce livre devrait pouvoir commencer après une initiation d’un mois au langage C.

L'étude de ce chapitre peut ce faire à l'aide de cette [Playlist]..

En pratique

Télécharger et installer les logiciels compatibles Linux ou Windows :

1. gnuplot : https://sourceforge.net/projects/gnuplot/files/.
2. Code::Blocks, environnement de développement intégré pour le langage C : http://www.codeblocks.org/downloads.

Pour le langage C :

• Certains exemples sont fournis sous la forme de fichiers "*.c" et "*.h".
• Sauvez tous les fichiers "*.h" dans votre répertoire de travail.
• Chaque fichier "*.c" est un exemple.
• Compilez-le directement.

Pour gnuplot :

• Linux :
  • Pour sélectionner le bon répertoire sous Linux tapez :
  • cd '/home/bernard/Documents/c'
  • En choisissant les noms de vos répertoires personnels
  • Avant de lancer gnuplot.
• Windows :
  • Pour sélectionner le bon répertoire sous Windows
  • Choisissez l'icône ChDir (change directory)
  • Puis l'icône Open pour sélectionner un fichier de commande de gnuplot.
• Animation :
  • Tapotez sur l'icône replot de gnuplot. (Windows)
  • .
  • Sous Ubuntu 22.04.1 LTS, il semble que l'icône "replot" ne fonctionne pas. On perd donc la fonction animation.
  • Dans la fenêtre graphique de gnuplot, il faut aller dans l'icône "open configuration dialog" (la pince), et cocher "Redraw continuously as plot is resized".
  • Pour créer l'animation il suffit de modifier en permanence la taille de la fenêtre avec la souris. On peut aussi changer l'angle de vue en 3d avec cette méthode.
• Mémoire :
  • Gnuplot a de la mémoire.
  • Cela pose des problèmes de compatibilité entre les graphiques.
  • Taper la commande reset pour effacer les commandes en mémoire.

Fichiers pour gnuplot

Préambule

Quelques fonctions C à connaitre :

f_p=fopen("a.txt","w"); //(write)  Créer un fichier en écriture.
f_p=fopen("a.txt","r"); //(read)   0uvrir un fichier en lecture.
f_p=fopen("a.txt","a"); //(append) 0uvrir un fichier en écriture. 
                        //         Rajouter le texte en fin de fichier.

 printf(    "%d",i);    // Imprimer sur l'écran.
fprintf(f_p,"%d",i);    // Imprimer dans le fichier *f_p
sprintf(  s,"%d",i);    // Imprimer dans la chaine de caractères s.

Éviter les lettres accentuées dans les fichiers sources (*.c,*.h), cela pose des problèmes pour échanger les fichiers entre Windows et Linux ou à l'international.

Premiers fichiers

Un fichier list.txt

1. Copiez cet exemple dans votre éditeur.
2. Sauvez-le sous le nom "c01.c"
3. Compilez et exécutez-le.

   gcc -lm c01.c -o c01.exe ;./c01.exe

4. Éditer le fichier "list.txt"

	c01.c Un fichier list.txt

/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp;                   /*Déclarer un pointeur de fichier.   */
double   a;
                              /*Ouvrir le fichier en mode écriture.*/
 fp = fopen("list.txt","w");  /*fp est un pointeur de fichier      */
                              /*qui pointe sur "list.txt"          */
 for(a = -5.0; a <= 5.0; a++)
  fprintf(fp," %6.3f %6.3f\n",/*Imprimer dans le fichier           */
                a,   f(a));
 fclose(fp);                  /*Fermer le fichier                  */

 printf("\n\n Ouvrir le fichier list.txt "
        "\n\n Press return to continue.  ");
 getchar();
 return 0;}

Un fichier de données pour gnuplot

Nous ne mettrons pas d'extension pour les fichiers de données avec gnuplot.

1. Compilez et exécutez-ce fichier.
2. Éditez le fichier "data"
3. Dans gnuplot tapez : plot "data"

	c02.c Un fichier de données pour gnuplot

/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp = fopen("data","w");
double a = -5.0;

  for(; a <= 5.0; a+=.2)
     fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",a,f(a));
  fclose(fp);

 printf(" Dans gnuplot -> plot \"data\" \n\n"
        " Press return to continue.     \n\n");
 getchar();

 return 0;
}

Un fichier de commande pour gnuplot

L'extension des fichiers de commande de gnuplot est "*.plt" Ici on dessine deux chaines de caractères.

1. Compilez et exécutez-ce fichier.
2. Éditez le fichier "a_main.plt"
3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"

	c03.c Un fichier de commande pour gnuplot

/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
char  heq[] = "sin(x)";
char  geq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
           "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
           "#\n"
           " set zeroaxis\n"
           " plot %s,\\\n"
           " %s \n\n"
           " reset", geq, heq);
 fclose(fp);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
  set zeroaxis
  plot cos(x),\
  sin(x) 
  reset

On peut remarquer que chaque fonction est sur une ligne différente. Important si l'on veut dessiner quatre ou cinq fonctions.

Dessiner une liste et une chaîne de caractères

On associe les deux méthodes vues précédemment.

1. Compilez et exécutez-ce fichier.
2. Éditez le fichier "a_main.plt"
3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"

	c04.c Dessiner une liste et une chaîne de caractères

/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
/* ------------------------------ */
char   feq[] =           "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

   fp = fopen("data","w");
   for(; a <= 5.0; a+=.2)
        fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",   a, f(a));
   fclose(fp);

   fp = fopen("a_main.plt","w");
   fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
              "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
              "#\n"
              " set zeroaxis\n"
              " plot \"data\",\\\n"
              " %s\n"
              " reset",feq);
   fclose(fp);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset

Une fonction graphique

On met simplement le contenu de la fonction main() dans G_plot().

1. Compilez et exécutez-ce fichier..
2. Éditez le fichier "a_main.plt"
3. Dans gnuplot tapez : load "a_main.plt"

	c05.c Une fonction graphique

//* ------------------------------ */
/* Save as c05.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
char   feq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
int G_plot(void)
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

   fp = fopen("data","w");
   for(; a <= 5.0; a+=.2)
        fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",a,f(a));
  fclose(fp);

  fp = fopen("a_main.plt","w");
   fprintf(fp,"# Fichier de commande pour gnuplot          \n"
              "# En ligne de commande : load \"a_main.plt\"\n"
              "#\n"
              " set zeroaxis\n"
              " plot \"data\",\\\n"
              " %s\n"
              " reset",feq);
  fclose(fp);

return 0;
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 G_plot();

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue.        ");
 getchar();

 return 0;
}

Cela donne dans le fichier "a_main.plt" :

 # Fichier de commande pour gnuplot          
 # En ligne de commande : load "a_main.plt"
 #
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset

Les ennuis commencent

À partir des fichiers précédents, essayer de dessiner la fonction g, sans modifier G_plot() ?

/* ------------------------------ */
double g(double x){return(sin(x));}
char   geq[] = "sin(x)";
/* ------------------------------ */

Une solution va être proposée dans le chapitre suivant : Pointeurs de fonctions.

Conclusion

Nous avons dessiné des fonctions sous forme de chaînes de caractères et sous la forme de liste de points.

Un problème est apparu : rendre les fonctions graphiques indépendantes de la fonction utilisée.

Pointeurs de fonctions

Préambule

En langage C, le nom d'une fonction est un pointeur. On peut l'utiliser comme argument dans l'appel d'une fonction. Exemple : G_plot(f); (f() étant une fonction)

Un pointeur de fonction doit avoir le même prototype que la fonction pointée.

• Pour la fonction f(x) :

  
double f     (double x)            {return( pow(x,2.));}
double (*P_f)(double x)

• Pour la fonction g(x,y) :

double g     (double x,double y)   {return(x*y;}
double (*P_g)(double x,double y)

Pour appeler la fonction, nous utiliserons cette méthode :

• Pour la fonction f(x) :

((*P_f)(a)) /* corresponds à un appel de fonction de forme f(a). */

• Pour la fonction g(x,y) :

((*P_g)(a,b)) /* corresponds à un appel de fonction de forme g(a,b). */

Remarque :

• f et g sont des pointeurs et f() et g() sont des fonctions.

• double (*P_f)(double x) c'est une déclaration de pointeur de fonction.
• P_f c'est le pointeur.
• ((*P_f)()) c'est un appel à une fonction.

Exemples graphiques (avec gnuplot)

Dessiner deux fonctions successivement

La fonction Gplt() dessine f(x) et g(x).

	c01.c Dessiner deux fonctions successivement

/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(  pow(x,2.));}
double g(double x){return(2.0*x + 3.0);}
/* ------------------------------ */
void G_plt(
double (*P_f)(double x)
)
{
FILE  *fp = fopen("data","w");
double  a = -5.0;

 for(; a <= 5.0; a += 0.3)
   fprintf(fp," %6.3f  %6.3f\n",a,((*P_f)(a)));
 fclose(fp);
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Type: plot \"data\" ");
    G_plt(f);
 getchar();

 printf(" Type: plot \"data\" ");
    G_plt(g);

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Solution pour le chapitre précédent

La fonction G_plot() dessine la fonction (data) et la chaîne de caractères.

	c02.c Solution pour le chapitre précédent

/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
double f(double x){return(cos(x));}
char   feq[] = "cos(x)";
/* ------------------------------ */
double g(double x){return(sin(x));}
char   geq[] = "sin(x)";
/* ------------------------------ */
int G_plot(
double (*P_f)(double x),
char   Feq[])
{
FILE *fp;
double a = -5.0;

 fp = fopen("data","w");
 for(; a <= 5.0; a+=.2)
   fprintf(fp," %6.3f %6.3f\n",a,((*P_f)(a)));
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_main.plt","w");
 fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n"
            " set zeroaxis\n"
            " plot \"data\",\\\n"
            " %s\n"
            " reset",Feq);
 fclose(fp);

return 0;
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot ");
    G_plot(f,feq);
 getchar();

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot ");
    G_plot(g,geq);

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat après le premier appel de G_plot() :

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 set zeroaxis
 plot "data",\
 cos(x)
 reset

Résultat après le deuxième appel de G_plot() :

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 set zeroaxis
 plot "data",\
 sin(x)
 reset

Exemple numérique

Passer des pointeurs de fonctions à une fonction.

Les fonctions f‘ et f‘‘

Calculer la dérivée première et seconde d'une fonction.

	c03.c Les fonctions f‘ et f‘‘

/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------ Fonction f ------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------ Fonction g ------------ */
double g(double x){return(
 pow(cos(x),2.)+sin(x)+x-3);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "cos(x)**2+sin(x)+x-3";
/* ------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ------------------------------ */
double Dx_1(
double (*P_f)(double x),/* Declaration de pointeur de fonction */
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* -----------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ------------------------------- */
double Dx_2(
double (*P_f)(double x),/* Declaration de pointeur de fonction */
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double x = 2.;
double h = 0.001;

printf("\n\n");

printf("  f(%.3f) = %.3f  \n",x,f(x)       );
printf(" f'(%.3f) = %.3f  \n",x,Dx_1(f,x,h));
printf("f''(%.3f) = %.3f  \n",x,Dx_2(f,x,h));

printf("\n\n");

printf("  g(%.3f) = %.3f \n",x,g(x)       );
printf(" g'(%.3f) = %.3f \n",x,Dx_1(g,x,h));
printf("g''(%.3f) = %.3f \n",x,Dx_2(g,x,h));

    printf("\n\n Press return to continue.");

 getchar();

 return 0;
}

Résultat :

  f(2.000) = 4.000
 f‘(2.000) = 4.000
f‘‘(2.000) = 2.000
.
  g(2.000) = 0.082
 g‘(2.000) = 1.341
g‘‘(2.000) = 0.398
.
Press return to continue.

La fonction FoG

Ici on passe les deux fonctions f et g à la fonction FoG().

La même fonction peut calculer gof, fog et fof...

	c04.c La fonction FoG

/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------ Fonction f ------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------ Fonction g ------------ */
double g(double x){return(2.0*x + 3.0);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "2.0*x + 3.0";
/* - Fonction FoG (g suivie de f)-*/
double FoG(
double (*P_F)(double x),/* Pointeur pour la premiere fonction */
double (*P_G)(double x),/* Pointeur pour la deuxieme fonction */
double a
)
{
 return((*P_F)( ((*P_G)(a))) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double a = 2.0;

 printf(" f : x-> %s\n", feq);
 printf(" g : x-> %s\n", geq);
 printf(" \n\n");

   printf(" f(g(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(f,g,a));
   printf(" g(f(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(g,f,a));
   printf(" f(f(%.0f)) = %6.1f\n", a, FoG(f,f,a));

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat :

f : x-> x**2
g : x-> 2.0*x + 3.0
.
f(g(2)) = 49.0
g(f(2)) = 11.0
f(f(2)) = 16.0
.
Press return to continue.

Tableau de pointeurs de fonctions

Préambule

Nous avons des fonctions semblables. Nous voulons les associer pour pouvoir les manipuler dans des boucles. Nous allons créer un tableau de pointeurs de fonctions.

Le tableau de pointeurs de fonctions doit être déclaré avec un prototype de la même forme que celui des fonctions.

Tableau de pointeurs de fonctions

Les fonctions trigonométriques

Nous allons utiliser les fonctions trigonométriques du C.

Déclaration du tableau

double (*TrigF[6])(double x) = {cos,sin,tan,atan,asin,acos};

• Toutes les fonctions ont la même forme : double fonction(double).
• Le tableau à la même forme que les fonctions : double tableau(double).
• Il y a six fonctions : cos, sin, tan, atan, asin, acos.

Exemple d'un appel

   cos(.5) == TrigF[0](.5)

Exemple à tester

	c01.c Exemple à tester

/* ------------------------------ */
/* Save as c01.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*TrigF[6])(double x) = {cos,sin,tan,atan,asin,acos};

double x= .5;
int    i=  0;

 printf(" Nous avons declare un tableau "
        " de pointeurs de fonctions.\n  "
        " J'ai utilise ici les fonctions predefinie du c.\n");

  
  printf("       cos(%.1f)  = %.3f  \n",  x,     cos(x));
  printf(" TrigF[%d](%.1f)) = %.3f\n\n",i,x,TrigF[i](x));

 printf(" Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Application

• Créez un tableau de valeurs des fonctions trigonométriques.
• Imprimez le résultat dans cette ordre (sin,cos,tan,acos,asin,atan)
• Pour .1 <= x <+ .5

Avec le résultat dans un fichier

	c02.c Avec le résultat dans un fichier

/* ------------------------------ */
/* Save as c02.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
FILE   *fp = fopen("list.txt","w");

double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};

int    i= 6; 
double x= .1;

fprintf(fp,"   x || sin    cos    tan    acos   asin   atan \n");

     for(;x<=.5;x+=.1)
        {
         fprintf(fp," %.1f ||",x);
         for(i=6;i;)
            fprintf(fp," %.3f ",TrigF[--i](x));
         fprintf(fp,"\n");
        }

 fclose(fp);

 printf("\n\n Ouvrir le fichier list.txt\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat :

  x || sin    cos    tan    acos   asin   atan 
0.1 || 0.100  0.995  0.100  1.471  0.100  0.100 
0.2 || 0.199  0.980  0.203  1.369  0.201  0.197 
0.3 || 0.296  0.955  0.309  1.266  0.305  0.291 
0.4 || 0.389  0.921  0.423  1.159  0.412  0.381 
0.5 || 0.479  0.878  0.546  1.047  0.524  0.464 

Remarques :

• Attention à l'ordre des fonctions dans la déclaration du tableau.
• double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};

Au démarrage :

• La décrémentation se fait dans le tableau. TrigF[--i](x)
• i=6 entre dans le tableau.
• 6 est décrémenté -> 5 (avant l'appel de la fonction --i)
• La sixième fonction est appelée (Sin).
• La numéro cinq. :)

Au final :

• Il entre UN dans le tableau.
• UN est décrémenté -> 0
• La première fonction est appelée (atan).
• La numéro zéro. :))

• i est égal à zéro en rentrant dans la boucle.
• Le cycle est cassé. :(

Avec le résultat à l'écran

	c03.c Avec le résultat à l'écran

/* ------------------------------ */
/* Save as c03.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*TrigF[6])(double x) = {atan,asin,acos,tan,cos,sin};

int    i= 6;
double x= .1;

     for(;x<=.5;x+=.1)
       {
         printf("\n");
         for(i=6;i;) printf(" %.3f ",TrigF[--i](x));
       }

 printf("\n\n Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Les fonctions f‘ et f‘‘

Nous voulons créer la fonction Derivate pour calculer les dérivées première et seconde d'une fonction en utilisant un tableau de pointeurs de fonctions.

Voir listing en fin de page.

Déclaration du tableau

double (*Derivate[3])(double (*P_f)(double x),double a,double h) = {fx,Df_x,Df_xx};

• Toutes les fonctions (fx,Df_x,Df_xx) ont la même forme : double fonction(double (*P_f)(double x) double double).
• Le tableau a la même forme que les fonctions : double tableau(double (*P_f)(double x) double double).

Il y a trois fonctions. (0,1,2)= {fx, Df_x, Df_xx}. La fonction fx donne f.

• Supprimez cette fonction et travaillez sur deux fonctions.
• Réfléchissez.

Exemple d'un appel

     f(x) == Derivate[0](f,x,0.)

• Derivate[0] donne f(x).
• Voir la fonction fx() la première fonction du tableau.
• h = 0 dans cet appel parce qu'il n'est pas utilisé (voir code de fx())

Exemple à tester

	c04.c Exemple à tester

/* ------------------------------ */
/* Save as c04.c                  */
/* ------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include     <math.h>
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double f(double x){return( pow(x,2.));}
/* ------------------------------ */
char  feq[] = "x**2";
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double g(double x){return(
 pow(cos(x),2.)+sin(x)+x-3);}
/* ------------------------------ */
char  geq[] = "cos(x)**2+sin(x)+x-3";
/* ------------------------------ */
/* ------------------------------ */
double fx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ((*P_f)(a)) );
}
/* ------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ------------------------------ */
double Df_x(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* -----------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ------------------------------- */
double Df_xx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}
/* ------------------------------ */
int main(void)
{
double (*Derivate[3])(double (*P_f)(double x),
                      double a,
                      double h) = {fx,Df_x,Df_xx};
double a = 2;
double h = 0.001;

printf("\n\n");

printf("  f(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,      f(a),  Derivate[0](f,a,0));
printf(" f'(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_x (f,a,h),Derivate[1](f,a,h));
printf("f''(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_xx(f,a,h),Derivate[2](f,a,h));

printf("\n\n");

printf("  g(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,      g(a),  Derivate[0](g,a,0));
printf(" g'(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_x (g,a,h),Derivate[1](g,a,h));
printf("g''(%.3f) = %.3f = %.3f \n",a,Df_xx(g,a,h),Derivate[2](g,a,h));

 printf("\n\n Press return to continue.");
 getchar();

 return 0;
}

Fichiers h : Fichiers h partagés

Préambule

Vous trouverez dans cette section une suite de fichiers h. Installez ces fichiers dans votre répertoire de travail. Ils seront appelés par le fichier "x_ahfile.h" de chaque exemple.

Ces fichiers ne sont pas utilisés pour la géométrie de la tortue.

En pratique

• xdef.h

  PI

  Déclaration de pi.

  clrscrn();

  Effacer la fenêtre du terminal Dos.

  Pause();

  Une pause d'une seconde pour les animations.

  NewName();

  Créer une liste de noms de fichiers.

• xplt.h

  i_WGnuplot();

  Contrôler la fenêtre de gnuplot 2d.

  i_WsGnuplot();

  Contrôler la fenêtre de gnuplot 3d.

  i_VGnuplot();

  Contrôler la vue de la fonction 3d.

• xspv.h

  i_point2d();

  Initialiser un point en 2d.

  i_point3d();

  Initialiser un point en 3d.

  i_vector2d();

  Initialiser un vecteur en 2d.

  i_vector3d();

  Initialiser un vecteur en 3d.

• xfx_x.h

Dérivées de f(x);

• xfxy_x.h

Dérivées partielles de f(x,y);

• xfxyz_x.h

Dérivées partielles de f(x,y,z);

Fichiers h : xdef

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xdef.h Définitions générales

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xdef.h                  */
/* ------------------------------------ */
#ifndef PI
#define PI               3.14159265359
#endif
/* ------------------------------------ */
void clrscrn(void)
{
  printf("\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"
         "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n"
         "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n");
}
/* ------------------------------------ */
void Pause(void)
{
int i=300;
int j;

  while(--i){j=600000;while(--j);}
}
/* ------------------------------------ */
/* First file name :                    */
/*                                      */
/* char fname[]= "a_paaa";              */
/* ------------------------------------ */
char *NewName(
char *name
)
{
            if(name[5]<'z')
 
               ++name[5];
 
       else if(name[4]<'z')
              {
                 name[5]='a';
               ++name[4];
              }
       else if(name[3]<'z')
              {
                 name[5]='a';
                 name[4]='a';
               ++name[3];
              }
 
 return(name);
}

Fichiers h : xplt

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xplt.h Définition d'intervalles pour le tracé

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xplt.h                  */
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double xmini;  double xmaxi;
 double ymini;  double ymaxi;

}W_Ctrl, *PW_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
W_Ctrl i_WGnuplot(
 double xmini,  double xmaxi,
 double ymini,  double ymaxi
)
{
W_Ctrl w = {xmini,xmaxi,ymini,ymaxi};

return (w);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double xmini;  double xmaxi;
 double ymini;  double ymaxi;
 double zmini;  double zmaxi;

}Ws_Ctrl, *PWs_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
Ws_Ctrl i_WsGnuplot(
 double xmini,  double xmaxi,
 double ymini,  double ymaxi,
 double zmini,  double zmaxi
)
{
Ws_Ctrl w = {xmini,xmaxi,ymini,ymaxi,zmini,zmaxi};

return (w);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double rot_x;  double rot_z;
 double scale;  double scale_z;

}View_Ctrl, *PView_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
View_Ctrl i_VGnuplot(
 double rot_x,  double rot_z,
 double scale,  double scale_z
)
{
View_Ctrl V = {rot_x,rot_z,scale_z,scale_z};

return (V);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double mini;  double maxi;
 double step;

}t_Ctrl, *Pt_Ctrl;
/* ------------------------------------ */
t_Ctrl i_time(
 double mini,  double maxi,
 double step
)
{
t_Ctrl t = {mini,maxi,step};

return (t);}

Fichiers h : xspv

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xspv.h Définition des types de points et de vecteurs

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xspv.h                  */
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double x;  double y;

}point2d, *Ppoint2d;
/* ------------------------------------ */
point2d i_point2d(
 double x,  double y
)
{
point2d p = {x,y};

return (p);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double x;  double y;  double z;

}point3d, *Ppoint3d;
/* ------------------------------------ */
point3d i_point3d(
double x,  double y,  double z
)
{
point3d p = {x,y,z};

return (p);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double i;  double j;

}vector2d, *Pvector2d;
/* ------------------------------------ */
vector2d i_vector2d(
 double i,  double j
)
{
vector2d v = {i,j};

return (v);}
/* ------------------------------------ */
typedef struct
{
 double i;  double j;  double k;

}vector3d, *Pvector3d;
/* ------------------------------------ */
vector3d i_vector3d(
 double i,  double j,  double k
)
{
vector3d v = {i,j,k};

return (v);}

Fichiers h : xfx x

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xfx_x.h Dérivation de fonctions df(x)/dx

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfx_x.h                 */
/* ------------------------------------
 f'(a) = f(a+h) - f(a-h)
          -------------
              2h
   ----------------------------------  */
double fx_x(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( ( ((*P_f)(a+h))-((*P_f)(a-h)) ) / (2.*h) );
}
/* ------------------------------------
 f''(a) = f(a+h) - 2 f(a) + f(a-h)
           ----------------------
                     h**2
   ----------------------------------  */
double fx_xx(
double (*P_f)(double x),
double a,
double h
)
{
 return( (((*P_f)(a+h))-2*((*P_f)(a))+((*P_f)(a-h))) / (h*h) );
}

Fichiers h : xfxy x

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xfxy_x.h Dérivation de fonction df(x,y)/dx

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfxy_x.h                */
/* ------------------------------------ */
double fxy_x(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;

 tplsh = ((*P_f)(p.x+h,p.y));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h,p.y));

 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_y(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;

 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y-h));

 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_xx(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double t;
double tplsh;
double tmnsh;

 t     = ((*P_f)(p.x  , p.y));
 tplsh = ((*P_f)(p.x+h, p.y));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h, p.y));

 return( (tplsh-2*t+tmnsh)/(h*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxy_yy(
double (*P_f)(double x, double y),
double   h,
point2d  p
)
{
double t;
double tplsh;
double tmnsh;

 t     = ((*P_f)(p.x, p.y  ));
 tplsh = ((*P_f)(p.x, p.y+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x, p.y-h));

 return( (tplsh-2*t+tmnsh)/(h*h) );
}

Fichiers h : xfxyz x

Préambule

Installez ce fichier dans votre répertoire de travail.

	xfxyz_x.h Dérivation de fonction df(x,y,z)/dx

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xfxyz_x.h               */
/* ------------------------------------ */
double fxyz_x(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x+h,p.y,p.z));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x-h,p.y,p.z));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxyz_y(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y+h,p.z));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y-h,p.z));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}
/* ------------------------------------ */
double fxyz_z(
double (*P_f)(double x, double y, double z),
double   h,
point3d  p
)
{
double tplsh;
double tmnsh;
 
 tplsh = ((*P_f)(p.x,p.y,p.z+h));
 tmnsh = ((*P_f)(p.x,p.y,p.z-h));
 
 return(( tplsh-tmnsh)/(2.*h) );
}

Application : Fonction Heaviside

Préambule

La fonction Heaviside dans Wikipedia.

La fonction Heaviside

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ H(x)=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {si} &x>0\\&\mathrm {sinon} &0\end{matrix}}\right.$

Présentation

Voici une possibilité pour la déclaration de la fonction Heaviside.

/* ------------------------------------ */
double H(
double x)
{
       if(x>0.)return(1.);
       else    return(0.);
}
/* ------------------------------------ */

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

	c01.c La fonction

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" H : if(x>0) 1 else 0 \n");

      G_plot(i_WGnuplot(-2.,20.,-1.,2.),
             i_time(-2.,20.,0.001),
             H);

 printf("\n  load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n  Press return to continue         ");
 getchar();

 return 0;
}

Une application

Nous allons simplement appeler la fonction Heaviside dans une boucle for.

Pour obtenir une somme : Sum((-1)^n*H(x-n),n=0..20)

	c02.c Une application

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
double v(
double x)
{
double n=0, r=0;

 for(;n<20;++n) r += pow(-1,n)*H(x-n);

 return(r);
}
char veq[] = "Sum((-1)^n*H(x-n),n=0..20)";
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" H : if(x>0) 1 else 0 \n\n"
        " v : x-> %s           \n\n",veq);

      G_plot(i_WGnuplot(-2.,20.,-1.,2.),
             i_time(-2.,20.,0.001),
             v);

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue         ");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include "xdef.h"
#include "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "fh.h"
#include  "g_f.h"

	fh.h La fonction Heaviside

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  fh.h                     */
/* ------------------------------------ */
double H(
double x)
{
       if(x>0.)return(1.);
       else    return(0.);
}
/* ------------------------------------ */

	g_f.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   g_f.h                   */
/* ------------------------------------ */
void G_plot(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double (*P_f1)(double x)
)
{
FILE  *fp;
double  t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"data\" with line lt 3\n"
           " reset",
             W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("data","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.3f   %6.3f\n",t,(*P_f1)(t));
 fclose(fp);
}

Conclusion

Certains résultats sont vraiment surprenants en associant la fonction heaviside et la fonction sinus.

Application : Tangente

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente

	c01.c Dessiner la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = 2;

 printf("  f : x-> %s\n\n",   feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :",c);
 printf("\n\n    y = f'(c) (x-c) + f(c) =");
 eq_Tan(c,f,Df);

 G_Tan(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),
       c,
       feq,
       f,
       Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot.\n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)
 f': x->  (-sin(x)) 
.
With c = 2.000, the equation of the tangent is :
.
   y = f'(c) (x-c) + f(c) = -0.909*x +1.402
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	k_tan.h Equation de la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan(
W_Ctrl w,
double c,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f lw 3\n"
           " reset",
            w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
            (*PDf)(c),
            (-(*PDf)(c)* c + (*P_f)(c)));

 fclose(fp);
}

Exemple avec la sortie dans le fichier "a_out.txt"

	c01f.c Sortie dans un fichier

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01f.c                  */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
FILE *fp = fopen("a_out.txt","w");
double c = 0;

fprintf(fp,"  f : x-> %s\n\n",   feq);
fprintf(fp,"  f': x-> %s\n\n\n",Dfeq);

fprintf(fp," With c = %0.3f, the equation of the tangent is :",c);
fprintf(fp,"\n\n    y = f'(c) (x-c) + f(c) =");
eq_Tanf(fp,c,f,Df);

G_Tan(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),c,feq,f,Df);

fprintf(fp," load \"a_main.plt\" with gnuplot.");
 fclose(fp);

 printf(" Read \"a_out.txt\".\n"
        " Press return to continue");

  getchar();

 return 0;
}

Le résultat dans le fichiers "a_out.txt"

 f : x->  cos(x)
 f': x->  (-sin(x)) 
 .
With c = 0.000, the equation of the tangent is :
.
   y = f'(c) (x-c) + f(c) = -0.000*x +1.000
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Application : Champ de tangentes

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner un champ de tangentes 1

	c01.c Dessiner la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f1.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_TanA(i_WGnuplot(-10,10,-400,300),
         i_time(-24.,24.,1),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Dessiner un champ de tangentes 2

	c02.c Dessiner la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c02.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_TanA(i_WGnuplot(-2*PI, 2*PI,-4,8),
         i_time(-2.,2.,.1),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Dessiner un champ de normales 3

	c03.c Dessiner un champ de normales 3

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c03.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f3.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_NorA(i_WGnuplot(-2,2,-1,2.4),
         i_time(-2,2,.05),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Dessiner un champ de normales 4

	c04.c Dessiner un champ de normales 4

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c04.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f1.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_NorA(i_WGnuplot(-2, 2,-1.7,1.7),
         i_time(-2.,2.,.05),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
#include     "xdef.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	f1.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f1.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       3*x*x-2*x-5);
}
char  feq[] = " 3*x**2-2*x-5";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(        6*x-2 );
}
char Dfeq[] = " 6*x-2 ";

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	f3.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f3.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(        x*x);
}
char  feq[] = " x**2";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(        2*x );
}
char Dfeq[] = " 2*x ";

	kg_tan.h Les fonctions graphiques

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p = Pic.mini;

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\"\n"
           " set zeroaxis\n"
           " unset key\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ);

for(;p<Pic.maxi;p+=Pic.step)
    fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f, \\\n",
           (*PDf)(p), (-(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

     fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f\n",
           (*PDf)(p), (-(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

fprintf(fp," reset");
 fclose(fp);
}
/* ------------------------------------ */
void G_NorA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p = Pic.mini;

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\"\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set zeroaxis\n\n"
           " unset key\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ);

for(;p<Pic.maxi;p+=Pic.step)
    fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f, \\\n",
           (-1/(*PDf)(p)), (1/(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

     fprintf(fp," %0.6f*x %+0.6f\n",
           (-1/(*PDf)(p)), (1/(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

fprintf(fp," reset");
 fclose(fp);
}

Application : Tangente et axes x-y

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Dessiner les points d'intersection de la tangente avec les axes x/y

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = 1;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf(" Df : x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of"
           " the tangent is :\n\n"
           "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find at c = %0.3f\n\n"
        " the intersection points of the"
        " tangent with the x-y axis.\n\n",c);

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)     P(c, f(c))\n",
        c,f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)     A(c-f(c)/Df(c), 0)\n",
        c-(f(c))/(Df(c)));

 printf(" B(    0, %5.3f)     B(0, f(c)-c Df(c))\n",
        f(c)-((Df(c))*c));

 G_Tan_xy(i_WGnuplot(-7,7,-2,2),
          c,
          feq,
          f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
Df : x->  (-sin(x)) 
.
With c = 1.000, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.841*x +1.382
.
.
Find at c = 1.000
.
the intersection points of the tangent with the x-y axis.
.
P(1.000, 0.540)     P(c, f(c))
A(1.642, 0.000)     A(c-f(c)/Df(c), 0)
B(    0, 1.382)     B(0, f(c)-c Df(c))
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	k_tan.h Equation de la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]

   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan_xy(
W_Ctrl w,
double c,
  char fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] "
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_p.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"a_a.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"a_b.plt\" lt 1\n"
           " reset",
            w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
  ((*PDf)(c)),  (-((*PDf)(c))*c+((*P_f)(c))) );
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_p.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f",
             c, ((*P_f)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_a.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   0.",
c-((*P_f)(c))/((*PDf)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen(   "a_b.plt","w");
fprintf(fp," 0.   %0.6f",
((*P_f)(c))-(((*PDf)(c))*c));
 fclose(fp);
}

Un exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot

Application : Tangente de P à l'axes des x

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer la longeur de P(c,f(c) à l'axe de x.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.\n\n");

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)           P(c, f(c))       \n",
        c,f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)           A(c-f(c)/Df(c), 0)\n\n\n",
          c-(f(c)/Df(c)));

 printf(" PA =  sqrt(f(c)**2*(1 +(1/Df(c)**2))) = %6.3f\n\n\n",
        sqrt(pow(f(c),2)*(1+(1/pow(Df(c),2)))));

 G_TanPx      (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
 Df: x->  (-sin(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.479*x +1.117
.
Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.
.
P(0.500, 0.878)           P(c, f(c))       
A(2.330, 0.000)           A(c-f(c)/Df(c), 0)
.
PA =  sqrt(f(c)**2*(1 +(1/Df(c)**2))) =  2.030
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	k_tan.h Equation de la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanPx(
W_Ctrl w,
double c,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");   
fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
           " set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_xaxe.plt\" with linesp lt 3 \n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
            fEQ,
       (*PDf)(c),-(*PDf)(c)*c+(*P_f)(c) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_xaxe.plt","w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f\n",c,(*P_f)(c) );
fprintf(fp," %0.6f   0.   \n",
c-((*P_f)(c)/(*PDf)(c)));
 fclose(fp);
}

Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot

Application : Tangente de P à l'axes des y

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer la longeur de P(c,f(c) à l'axe de y.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.\n\n");

 printf(" P(%5.3f,  %5.3f)    P(c, f(c))          \n", 
        c, f(c));

 printf(" B(0.000,  %5.3f)    B(0, f(c)-c*Df(c))\n\n", 
        f(c)-c*Df(c));

 printf(" PB = sqrt(c**2*(1+Df(c)**2)) = %6.3f \n\n", 
 sqrt(c*c*(1+pow(Df(c),2))));

 G_TanPy      (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  cos(x)  
 Df: x->  (-sin(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  -0.479*x +1.117
.
Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.
.
P(0.500,  0.878)    P(c, f(c))          
B(0.000,  1.117)    B(0, f(c)-c*Df(c))
.
PB = sqrt(c**2*(1+Df(c)**2)) =  0.554 
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	k_tan.h Equation de la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]

   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanPy(
W_Ctrl w,
double c,
  char fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f, \\\n"
           " \"a_yaxe.plt\" with linesp lt 3\n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
             fEQ, 
    ((*PDf)(c)) ,(-((*PDf)(c))* c + ((*P_f)(c))));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_yaxe.plt","w");
fprintf(fp," %0.5f   %0.5f\n",c,((*P_f)(c)));
fprintf(fp," 0.000   %0.5f", 
((*P_f)(c))-(((*PDf)(c))*c));
 fclose(fp);
}

Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot

Application : Sous tangente

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer la longeur de la sous tangente.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = .5;

 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  Df: x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        "      y =  Df(c) (x-c) + f(c) = ",c);
 eq_Tan(c,f,Df);

 printf(" Find AM, the length of the under tangent.\n\n");

 printf(" P(%5.3f, %5.3f)         P(c, f(c))    \n", 
        c, f(c));

 printf(" A(%5.3f, 0.000)         A(c-f(c)/Df(c), 0)\n", 
        c-(f(c)/Df(c)));
 printf(" M(%5.3f, 0.000)         M( c, 0)\n\n\n", c);

 printf(" AM = sqrt((f(c)**2)/(Df(c)**2)) = %6.3f\n\n\n", 
         sqrt(f(c)*f(c)*(1/(Df(c)*Df(c)))));

  G_TanxM    (i_WGnuplot(-2,4,-1,2),
                 c,
               feq,f,Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 f : x->  sin(x)  
 Df: x->  (cos(x)) 
.
With c = 0.500, the equation of the tangent is :
.
     y =  Df(c) (x-c) + f(c) =  0.878*x +0.041
.
Find AM, the length of the under tangent.
.
P(0.500, 0.479)         P(c, f(c))    
A(-0.046, 0.000)         A(c-f(c)/Df(c), 0)
M(0.500, 0.000)         M( c, 0)
.
AM = sqrt((f(c)**2)/(Df(c)**2)) =  0.546
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"
#include    "k_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------ f --------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' ------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	k_tan.h Equation de la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    k_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]


   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=c
   a = f'(c)
   b = f(c) - f'(c)c
   ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}
/* ------------------------------------ */
void eq_Tanf(
FILE *fp,
double    c,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
fprintf(fp," %0.3f*x %+0.3f\n\n\n", 
 (*PDf)(c), (*P_f)(c) - (*PDf)(c)*c );
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanxM(
W_Ctrl w,
double c,
  char   fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");  
fprintf(fp," set zeroaxis \n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " %s,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"a_px.plt\" with linesp lt 3,\\\n"
           " \"a_am.plt\" with linesp lt 4 \n"
           " reset",
             w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,fEQ,
        ((*PDf)(c)),(-(*PDf)(c)*c+(*P_f)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_px.plt",  "w");
fprintf(fp," %0.6f   %0.6f\n", c,((*P_f)(c)));
fprintf(fp," %0.6f   0.",
 c-(((*P_f)(c))/((*PDf)(c))) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_am.plt",  "w"); 
fprintf(fp," %0.6f   0.\n",
c-(((*P_f)(c))/((*PDf)(c))));
fprintf(fp," %0.6f   0.", c);
 fclose(fp);
}

Même exemple avec la fonction sin.

Résultat dans gnuplot

Application : Cercle de courbure

Préambule

Le cercle de courbure dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Dessiner un cercle de courbure pour une fonction f(x).

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fb.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double x = 0.;
double e = .001;
char   Name[FILENAME_MAX] = "a_circle.plt";

   circle(Name,
          1./K_y_2d(f,x,e),
          h_y_2d(f,x,e),
          k_y_2d(f,x,e));

   G_C_2d(i_WGnuplot(-4.,4.,-2.,2.),
          f,x,e,
          feq);

 clrscrn();

 printf(" If a smooth curve C is the graph of y = f(x),\n"
        " then the curvature K at P(x,y) is\n\n\n"
        " K = |y''| / [1 + y'^2]^(3/2)     \n\n\n"

        " If P(x,y) is a point on the graph "
        "of y = f(x)  \n"
        " at which K != 0. The point M(h,k)"
        " is the center\n"
        " of the cuvature for P if   \n\n\n"
        " h = x - y'[1 + y'^2] / y''     \n"
        " k = y +   [1 + y'^2] / y'' \n\n\n"

        " The radius is r = 1/K \n\n\n"

        " Open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Résultat dans gnuplot

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "kradius.h"
#include     "kg_c.h"
#include  "kcircle.h"

	kradius.h Coordonnées du cercle

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kradius.h               */
/* ------------------------------------ */
double K_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return(fabs(fx_xx((*P_f),x,e))
                   /
             pow(1+a*a,3./2.));
}
/* ------------------------------------ */
double h_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return(x - ( ( a*(1+a*a) )
              /
        fx_xx((*P_f),x,e)));
}
/* ------------------------------------ */
double k_y_2d(
double (*P_f)(double x),
double x,
double e
)
{
double a = fx_x((*P_f),x,e);

 return((*P_f)(x) + (    (1+a*a)
                  /
           fx_xx((*P_f),x,e)));
}

	fb.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fb.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
        return( cos(x));
}
char  feq[] =  "cos(x)";

	kg_c.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_c.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_C_2d(
W_Ctrl W,
double (*P_f)(double x),
double x,
double e,
char   feq[]
)
{
FILE   *fp;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with linespoints,\\\n"
           " \"a_circle.plt\" with line,\\\n"
           " %s with line\n",
    W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,feq);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",h_y_2d((*P_f),x,e),
                              k_y_2d((*P_f),x,e));
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",x,(*P_f)(x));
 fclose(fp);

 Pause();
}

	kcircle.h Le cercle

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kcircle.h               */
/* ------------------------------------ */
void circle(
char   Name[FILENAME_MAX],
double r,
double x,
double y
)
{
FILE   *fp = fopen(Name,"w");
double   t = 0.;

for(;t<2.01*PI;t+=.1)
fprintf(fp," %6.5f %6.5f\n",r*cos(t)+x,r*sin(t)+y);
 fclose(fp);
}

Application : Méthode de Newton

Préambule

Méthode de Newton dansWikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer le point d'intersection entre g et h.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
int         n = 5;
double FirstA = 0.5;

 clrscrn();
 printf(" Use Newton's method to approximate"
        " the intersection point of :\n\n");
 printf(" g : x-> %s\n\n", geq);
 printf(" and\n\n");
 printf(" h : x-> %s\n\n", heq);

 G_gh(i_WGnuplot(-4,4,-4,4), geq,heq);

 printf(" To see the graphs of g and h, open the"
        " file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n"
        " You can see that, the intersection"
        " point is between 0.0 and 1.0.\n\n"
        " Choose x = %.1f as a first approximation.\n\n",FirstA);
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" In fact we want find sin(x) = cos(x)"
        " or sin(x) - cos(x) = 0.\n\n"
        " We want find a root of\n\n"
        " f : x-> %s\n\n", feq);
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" As a first approximation x = %.1f \n\n"
        " The Newton's method give :        \n\n",FirstA);

     G_gh_x_0(i_WGnuplot(-4,4,-4,4),
               geq,
               heq,
                 g,
               Newton_s_Method(FirstA,n,f,Df));

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot. "
        "\n\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Use Newton's method to approximate the intersection point of :
g : x-> sin(x)
and
h : x-> cos(x)
.
To see the graphs of g and h, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.
.
You can see that, the intersection point is between 0.0 and 1.0.
Choose x = 0.5 as a first approximation.
In fact we want find sin(x) = cos(x) or sin(x) - cos(x) = 0.
We want find a root of
.
f : x-> sin(x) - cos(x)
.
As a first approximation x = 0.5 
.
The Newton's method give :        
.
x[1] = 0.500000000000000
x[2] = 0.793407993026023
x[3] = 0.785397992096516
x[4] = 0.785398163397448
x[5] = 0.785398163397448
.
load "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Un autre exemple avec :

As a first approximation x = -2.5 
.
The Newton's method give :        
.
x[1] = -2.500000000000000
x[2] = -2.355194920430497
x[3] = -2.356194490525248
x[4] = -2.356194490192345
x[5] = -2.356194490192345

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "knewton.h"
#include    "kg_gh.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ------------------------------------ */
double g(
double x)
{
        return(sin(x));
}
char  geq [] = "sin(x)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double x)
{
          return(cos(x));
}
char  Dgeq [] = "cos(x)";
/* ------------------------------------ */
/* ------------------------------------ */
double h(
double x)
{
        return(cos(x));
}
char  heq [] = "cos(x)";
/* ------------------------------------ */
double Dh(
double x)
{
          return(- sin(x));
}
char  Dheq [] = "- sin(x)";
/* ------------------------------------ */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
         return(sin(x) - cos(x));
}
char  feq [] = "sin(x) - cos(x)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double x)
{
          return(cos(x) + sin(x));
}
char  Dfeq [] = "cos(x) + sin(x)";

	knewton.h Méthode de Newton

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   knewton.h               */
/* ------------------------------------
   x_n+1 = x_n -  f(x_n)
                 ------
                 f'(x_n)
  ------------------------------------ */
double Newton_s_Method(
double x,
   int imax,
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
int i=1;

   for(;i<=imax;i++)
      {
       printf(" x[%d] = %.15f\n",i,x);
       x -= ((*P_f)(x))/((*PDf)(x));
      }
return(x);
}

	kg_gh.h Fonctions graphiques

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_gh.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_gh(
W_Ctrl w,
  char geq[],
  char heq[]
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");

fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %s  \n"
           " reset",
           w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
           geq,heq);

 fclose(fp);
}
/* ------------------------------------ */
void G_gh_x_0(
W_Ctrl  w,
  char  geq[],
  char  heq[],
double (*P_g)(double x),
double  x_0
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");
FILE   *fq = fopen( "a_x_0.plt","w");

fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " %s, \\\n"
           " %s, \\\n"
           " \"a_x_0.plt\" pt 7 ps 3 \n"
           " reset",
           w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
           geq,heq);
 fclose(fp);

fprintf(fq," %0.6f   %0.6f", x_0,(*P_g)(x_0));
 fclose(fq);
}

Application : Tangente d'une courbe

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente d'une courbe

	c01.c Dessiner la tangente d'une courbe

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

     G_Tan( i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
            i_time(0,2.*PI,.05),
            2.,
            f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	fe.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tan(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE   *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"data.plt\" with linesp lt 3 pt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f\n"
           " reset",
             W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
             (*PDgDf)(c),
             (-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

             fp = fopen("data.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f   %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
      fclose(fp);
}

Application : Tangente et axes x-y d'une courbe

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Dessiner les points d'intersection de la tangente avec les axes x/y

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/2.+.2;

 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" Find at c = %0.3f\n\n"
        " the intersection points of "
        "the tangent with the x-y axis.\n\n\n",c);

 printf(" P(%6.3f, %6.3f) P(c, f(c))\n\n",
        c, f(c));

 printf(" A(%6.3f, 0)     A(f(c)-g(c)/DgDf(c), 0)\n\n",
        f(c)-g(c)/DgDf(c));

 printf(" B( 0, %6.3f)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))\n\n\n",
        g(c)-f(c)*DgDf(c));

     G_Tanxy(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
With
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
Find at c = 1.771
the intersection points of the tangent with the x-y axis.
.
P( 1.771, -1.651)     P(c, f(c))
A(-2.337, 0)          A(f(c)-g(c)/DgDf(c), 0)
B( 0, -2.029)         B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.
Press return to continue

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	fe.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_Tanxy(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"data.plt\" with line lt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f, \\\n"
           " \"p.plt\" lt 1, \\\n"
           " \"px.plt\" lt 1,\\\n"
           " \"py.plt\" lt 1   \n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("data.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f   %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t)  );
             fclose(fp);

        fp = fopen("p.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f   %0.6f", (*P_f)(c), (*P_g)(c)  );
             fclose(fp);

        fp = fopen("px.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f  0.",
             ((*P_f)(c))-((*P_g)(c))/((*PDgDf)(c))      );
             fclose(fp);

        fp = fopen("py.plt","w");
     fprintf(fp," 0.   %0.6f",
             ((*P_g)(c))- (((*PDgDf)(c))*((*P_f)(c)))   );
             fclose(fp);
}

Application : Tangente de P à l'axes des x d'une courbe

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer la longeur de P(f(c),g(c) à l'axe de x.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/4;

 printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        " y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) = ",c);
 eq_Tan(f,g,DgDf,c);

 printf("\n\n\n");

 printf(" Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.\n\n");

 printf(" P(%6.3f, %6.3f)    P(f(c), g(c))                 \n",
        f(c),g(c));

 printf(" A(%6.3f,  0.000)    A(f(c)-g(c)/(DgDf)(c), 0)\n\n\n",
          f(c)-g(c)/(DgDf)(c));

 printf(" PA =  sqrt(g(c)**2*(1+(DgDf(c)**2))/(DgDf(c)**2))\n"
        "    = %6.3f\n\n",
       sqrt(pow(g(c),2)*(1/pow(DgDf(c),2)+1)) );

     G_TanLx(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
.
With
.
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
With c = 0.785, the equation of the tangent is :
y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) =  0.500*x +1.414
.
Find PA, the length of the tangent from P to the x axis.
P( 1.414,  2.121)    P(f(c), g(c))                 
A(-2.828,  0.000)    A(f(c)-g(c)/(DgDf)(c), 0)
.
PA =  sqrt(g(c)**2*(1+(DgDf(c)**2))/(DgDf(c)**2))
   =  4.743
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	fe.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t),
double c
)
{
  printf(" %0.3f*x %+0.3f",
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
}
/* ------------------------------------ */
void G_TanLx(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_pts.plt\" with line lt 1,   \\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,                 \\\n"
           " \"axp.plt\" with linesp lt 3      \n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
 fclose(fp);

        fp = fopen("axp.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f %0.6f\n",(*P_f)(c),(*P_g)(c));
     fprintf(fp," %0.6f  0.  \n",
                 (*P_f)(c)-(*P_g)(c)/(*PDgDf)(c));
     fclose(fp);
}

Application : Tangente de P à l'axes des y d'une courbe

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Calculer la longeur de P(f(c),g(c) à l'axe de y.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fe.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double c = PI/4.;

printf(" Let C be the curve consisting of all"
        " ordered pairs (f(t),g(t)).\n\n"
        " With\n\n"
        " f : t-> %s\n\n"
        " g : t-> %s\n\n", feq, geq);

 printf(" With c = %0.3f, the equation of the tangent is :\n\n"
        " y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) = ",c);
 eq_Tan(f,g,DgDf,c);

 printf("\n\n\n");

 printf(" Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.\n\n");

 printf(" P(%6.3f, %6.3f)    P(f(c), g(c))                 \n",
        f(c),g(c));

 printf(" B(+0.000, %6.3f)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))\n\n\n",
           g(c)-DgDf(c)*f(c));

 printf(" PB =  sqrt(f(c)**2*(1+DgDf(c)**2))\n"
        "    = %6.3f\n\n",
       sqrt(pow(f(c),2)*(1+pow(DgDf(c),2))));

     G_TanLy(i_WGnuplot(-10.,10.,-5.,5.),
             i_time(0,2.*PI,.05),
             c,
             f,g,DgDf);

 printf(" To see the curve C, open the file \"a_main.plt\""
        " with Gnuplot.\n\n"
        "\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Let C be the curve consisting of all ordered pairs (f(t),g(t)).
.
With
.
f : t-> a*sin(k1*t)
g : t-> b*cos(k2*t)
.
With c = 0.785, the equation of the tangent 
y =  ((Dg/Dy)(c))(x-f(c))+g(c) =  0.500*x +1.414
.
Find PB, the length of the tangent from P to the y axis.
.
P( 1.414,  2.121)    P(f(c), g(c))                 
B(+0.000,  1.414)    B(0, g(c)-f(c)*DgDf(c))
.
PB =  sqrt(f(c)**2*(1+DgDf(c)**2))
   =  1.581
.
To see the curve C, open the file "a_main.plt" with Gnuplot.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	fe.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fe.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*sin(k1*t) );
}
char  feq[] =  "a*sin(k1*t)";
/* ------------------------------------ */
double Df(
double t)
{
double a=2;
double k1=3;

        return( a*cos(k1*t)*k1);
}
char  Dfeq[] =  "a*cos(k1*t)*k1";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return( b*cos(k2*t) );
}
char  geq[] =  "b*cos(k2*t)";
/* ------------------------------------ */
double Dg(
double t)
{
double b =3;
double k2=1;
        return(  -b*sin(k2*t)*k2 );
}
char  Dgeq[] =  "-b*sin(k2*t)*k2";
/* ------------------------------------ */
double DgDf(
double t)
{
        return(Dg(t)/Df(t));
}

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------ */
void eq_Tan(
double (*P_f)  (double t),
double (*P_g)  (double t),
double (*PDgDf)(double t),
double c
)
{
 printf(" %0.3f*x %+0.3f",
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
}
/* ------------------------------------ */
void G_TanLy(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double c,
double (*P_f) (double t),
double (*P_g) (double t),
double (*PDgDf)(double t)
)
{
FILE *fp;
double t;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts.plt\" with line lt 1,\\\n"
           " %0.6f*x %+0.6f,\\\n"
           " \"ayp.plt\" with linesp lt 3\n"
           " reset",
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,
(*PDgDf)(c),(-(*PDgDf)(c)*(*P_f)(c)+(*P_g)(c)));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts.plt","w");
 for(t=T.mini; t<=T.maxi; t+=T.step)
     fprintf(fp," %6.6f %6.6f\n",(*P_f)(t),(*P_g)(t));
             fclose(fp);

        fp = fopen("ayp.plt","w");
     fprintf(fp," %0.6f %0.6f\n",(*P_f)(c),(*P_g)(c));
     fprintf(fp,"    0. %0.6f \n",
     (*P_g)(c)- (*PDgDf)(c)*(*P_f)(c));
             fclose(fp);
}

Application : Cercle de courbure d'une courbe

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Dessiner un cercle de courbure pour une fonction (f(t),g(t))

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fb.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double t = PI;
double e = .001;
char   Name[FILENAME_MAX] = "a_circle.plt";

     circle(Name,
               1./fabs(Kt_2d(f,g,t,e)),
                  cx_2d(f,g,t,e),
                  cy_2d(f,g,t,e));

     G_C_2d(i_WGnuplot(-4,8,-2,4),
            i_time(0.,2*PI,.03),
             f,g,t,
             e);

 printf(" The curvature K of a smooth parametric"
        " curve C is :\n\n\n"

        " K = |f' g'' - g' f''| / "
        "[ (f')^2 - (g')^2 ]^(3/2)\n\n"

        " If P(f(t),g(t)) is a point on the curve  \n"
        " at which K != 0. The point M(h,k)"
        " is the center\n"
        " of the cuvature for P if   \n\n\n"
        " h = f - g'[f'^2 + g'^2] / [f'g''-f''g']\n"
        " k = g + f'[f'^2 + g'^2] / [f'g''-f''g']\n\n\n"

        " The radius is r = 1/|K| \n\n\n"

        " Open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Résultat dans gnuplot

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include  "kradius.h"
#include     "kg_c.h"
#include  "kcircle.h"

	kradius.h Coordonnées du cercle

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kradius.h               */
/* ------------------------------------ */
double Kt_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double K;
double a;
double b;

a = fx_x((*P_f),t,e);
b = fx_x((*P_g),t,e);

K = fabs(a*fx_xx((*P_g),t,e)-b*fx_xx((*P_f),t,e))
                /
     pow(a*a+b*b,3./2.);

 return(K);
}
/* ------------------------------------ */
double cx_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double Num,Den;

 Num =( pow(fx_x((*P_f),t,e),2)
       +pow(fx_x((*P_g),t,e),2)
      )
      *fx_x((*P_g),t,e);

 Den = fx_x((*P_f),t,e)*fx_xx((*P_g),t,e)-
       fx_x((*P_g),t,e)*fx_xx((*P_f),t,e);

 return((*P_f)(t)-Num/Den);
}
/* ------------------------------------ */
double cy_2d(
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double t,
double e
)
{
double Num,Den;

 Num =( pow(fx_x((*P_f),t,e),2)
       +pow(fx_x((*P_g),t,e),2)
      )
      *fx_x((*P_f),t,e);

 Den = fx_x((*P_f),t,e)*fx_xx((*P_g),t,e)-
       fx_x((*P_g),t,e)*fx_xx((*P_f),t,e);

 return((*P_g)(t)+Num/Den);
}

	fb.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fb.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
        return( 4+sin(2*t) );
}
char  feq[] =  "4+sin(2*t)";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
        return( 1-2*cos(3*t) );
}
char  geq[] =  "1-2*cos(3*t)";

	kg_c.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_c.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_C_2d(
W_Ctrl W,
t_Ctrl T,
double (*P_f)(double x),
double (*P_g)(double x),
double x,
double e
)
{
FILE *fp;
double i;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set size ratio -1\n"
           " set grid\n\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with linespoints,\\\n"
           " \"a_curve.plt\" with line,\\\n"
           " \"a_circle.plt\" with line\n",
           W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_curve.plt","w");
for(i=T.mini; i<=T.maxi; i+=T.step)
fprintf(fp," %6.3f  %6.3f\n",(*P_f)(i),(*P_g)(i));
fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",cx_2d((*P_f),(*P_g),x,e),
                              cy_2d((*P_f),(*P_g),x,e));
fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",(*P_f)(x),(*P_g)(x));
             fclose(fp);

 Pause();
}

	kcircle.h Le cercle

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kcircle.h               */
/* ------------------------------------ */
void circle(
char   Name[FILENAME_MAX],
double r,
double x,
double y
)
{
FILE   *fp = fopen(Name,"w");
double   t = 0.;

for(;t<2.01*PI;t+=.1)
fprintf(fp," %6.5f %6.5f\n",r*cos(t)+x,r*sin(t)+y);
 fclose(fp);
}

Application : Courbe de Bézier

Préambule

Les courbes de Béziers dans Wikipedia.

Courbe de Béziers

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

	c01.c Exemple à tester

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-10,90,-10,50),
             i_point2d(20.,10.),
             i_point2d(40.,40.),
             i_point2d(60.,10.) );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Une application

Nous avons essayé de recouvrir un quart de cercle avec une courbe de Béziers. Nous savons que c'est impossible (voir théorie)

	c02.c Exemple à tester

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-0,2,-0,1),
             i_point2d(0.,1.),
             i_point2d(1.,1.),
             i_point2d(1.,0.)  );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kpoly.h"
#include  "kbezier.h"

Cette partie ne peut être vue que dans wikiversité.

	kpoly.h Les équations de la courbe

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    kpoly.h                */
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_x_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
return(
    P0.x * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.x * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
    P2.x * pow((1-t),0) * pow(t,2)
);
}
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_y_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2)
{
return(
    P0.y * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.y * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
    P2.y * pow((1-t),0) * pow(t,2)
);
}
/* ------------------------------------ */

	kbezier.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  kbezier.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_quadratic_Bezier_lp_2d(
W_Ctrl   w,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
FILE   *fp;

double  mini = 0.;
double  maxi = 1.;
double  step =  .01;
double     t = mini;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid \n\n"
           " set size ratio -1\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts\" with linesp lt 3 pt 1, \\\n"
           " \"a_ctrlpt\" with linesp lt 4 pt 4 \\\n\n"
           " reset",w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi);
 fclose(fp);

             fp = fopen("a_pts","w");
 for(t=mini; t<=maxi; t+=step)
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",quadratic_Bezier_x_2d(t,P0,P1,P2),
                                   quadratic_Bezier_y_2d(t,P0,P1,P2));
      fclose(fp);

             fp = fopen("a_ctrlpt","w");
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P0.x,P0.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P1.x,P1.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P2.x,P2.y);
      fclose(fp);

 Pause();
}

Conclusion

Nous avons utilisé dans les exemples trois points de contrôles. Ici un exemple avec trois courbes et cinq points de contrôles.

Résultat dans gnuplot

Application : Courbe de Bézier rationnelle

Préambule

Les courbes de Béziers dans Wikipedia.

Courbes de Béziers rationelles (cubiques)

La seule chose qui change avec le chapitre précédent, c'est le fichier "kpoly.h".

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

	c01.c Exemple à tester

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c01.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-10,90,-10,50),
             i_point2d(20.,10.),
             i_point2d(40.,40.),
             i_point2d(60.,10.)
             );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Courbe du chapitre précédent

Une application

Nous avons essayé de recouvrir un quart de cercle avec une courbe de Béziers. En théorie cela est possible avec les courbes de Béziers rationelles (cubiques).

	c02.c Exemple à tester

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  c02.c                    */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Une courbe de Bezier.\n\n");

    G_quadratic_Bezier_lp_2d(
             i_WGnuplot(-0,2,-0,1),
             i_point2d(0.,1.),
             i_point2d(1.,1.),
             i_point2d(1.,0.)
             );

 printf("\n\n load \"a_main.plt\" with gnuplot."
        "\n\n Press return to continue");

 return 0;
}

Résultat dans gnuplot

Courbe du chapitre précédent

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  x_ahfile.h               */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kpoly.h"
#include  "kbezier.h"

Cette partie ne peut être vue que dans wikiversité.

	kpoly.h Les équations de la courbe

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :    kpoly.h                */
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_x_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
return(
     
(
    P0.x * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.x * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 * P2.x * pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
/
(
     pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 *  pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 *  pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
 
);
}
/* ------------------------------------ */
double quadratic_Bezier_y_2d(
double   t,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2)
{
return( 
    
(
    P0.y * pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 * P1.y * pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 * P2.y * pow((1-t),0) * pow(t,2)
)
/
(
     pow((1-t),2) * pow(t,0) +
2 *  pow((1-t),1) * pow(t,1) +
2 *  pow((1-t),0) * pow(t,2)
) 

);
}
/* ------------------------------------ */

	kbezier.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  kbezier.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_quadratic_Bezier_lp_2d(
W_Ctrl   w,
point2d P0,
point2d P1,
point2d P2
)
{
FILE   *fp;

double  mini = 0.;
double  maxi = 1.;
double  step =  .01;
double     t = mini;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid \n\n"
           " set size ratio -1\n"
           " plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] \\\n"
           " \"a_pts\" with linesp lt 3 pt 1, \\\n"
           " \"a_ctrlpt\" with linesp lt 4 pt 4 \\\n\n"
           " reset",w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi);
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_pts","w");
 for(t=mini; t<=maxi; t+=step)
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",quadratic_Bezier_x_2d(t,P0,P1,P2),
                                   quadratic_Bezier_y_2d(t,P0,P1,P2));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_ctrlpt","w");
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P0.x,P0.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P1.x,P1.y);
     fprintf(fp," %6.5f   %6.5f\n",P2.x,P2.y);
 fclose(fp);

 Pause();
}

Application : Fonction vectorielle 3D

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner

	c01.c Dessiner un vecteur tangent et normales unitaire.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double t     =  4.;

 printf(" r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k \n\n");
 printf(" With \n\n");
 printf(" f : t-> %s  \n", feq);
 printf(" g : t-> %s  \n", geq);
 printf(" h : t-> %s\n\n", heq);
 printf(" t = %+.2f \n\n",   t);

     G_Curve_3d(i_time(0.,6.*PI,.01),
                f,g,h,
                Tf,Tg,Th,
                t);

 printf(" Draw the velocity and accelerator vectors"
        " at the point P(f(t),g(t)),                \n\n"
        " open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n");

 printf("\n Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include    "xfx_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "knfx_x.h"
#include "kg_ctan1.h"

	knfx_x.h Normalisé

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   knfx_x.h                 */
/* ------------------------------------ */
double fx_x_Normalize(
double (*P_f)(double x),
double (*P_g)(double x),
double (*P_h)(double x),
double t,
double e
)
{
double Df=fx_x((*P_f),t,e);
double Dg=fx_x((*P_g),t,e);
double Dh=fx_x((*P_h),t,e);

 return(Df/sqrt(Df*Df+Dg*Dg+Dh*Dh));
}

	fa.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double t)
{
        return( cos(t));
}
char  feq[] =  "cos(t)";
/* ------------------------------------ */
double g(
double t)
{
        return( sin(t));
}
char  geq[] =  "sin(t)";
/* ------------------------------------ */
double h(
double t)
{
        return( t);
}
char  heq[] =  "t";
/* ------------------------------------ */
double Tf(
double t)
{
        return(
        -(sin(t)/sqrt(2))
        );
}
/* ------------------------------------ */
double Tg(
double t)
{
        return(
        cos(t)/sqrt(2)
        );
}
/* ------------------------------------ */
double Th(
double t)
{
        return(
        1/sqrt(2)
        );
}

	kg_ctan1.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_ctan1.h              */
/* ------------------------------------ */
void G_Curve_3d(
t_Ctrl T,
double (*P_f)(double t),
double (*P_g)(double t),
double (*P_h)(double t),
double (*P_Tf)(double t),
double (*P_Tg)(double t),
double (*P_Th)(double t),
double t
)
{
FILE *fp;
double i;
double e = .001;

fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp," reset\n"
           " set zeroaxis lt 8\n"
           " set grid\n\n"
           " splot \\\n"
           " \"a_curve.plt\" with line lt 3,\\\n"
           " \"a_radius.plt\" with line lt 2,\\\n"
           " \"atangent.plt\" with line lt 4,\\\n"
           " \"anormal.plt\" with line lt 1 ");
fclose(fp);

        fp = fopen("a_curve.plt","w");
for(i=T.mini; i<=T.maxi; i+=T.step)
fprintf(fp," %6.3f  %6.3f  %6.3f\n",
       (*P_f)(i),
       (*P_g)(i),
       (*P_h)(i));
 fclose(fp);

        fp = fopen("a_radius.plt","w");
fprintf(fp,"  0  0  0   \n %6.5f  %6.5f  %6.5f  \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t));
 fclose(fp);

        fp = fopen("atangent.plt","w");
fprintf(fp,"  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n"
           "  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t),
       (*P_f)(t)+fx_x_Normalize((*P_f),(*P_g),(*P_h),t,e),
       (*P_g)(t)+fx_x_Normalize((*P_g),(*P_f),(*P_h),t,e),
       (*P_h)(t)+fx_x_Normalize((*P_h),(*P_f),(*P_g),t,e) );
 fclose(fp);

        fp = fopen("anormal.plt","w");
fprintf(fp,"  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n"
           "  %6.5f  %6.5f  %6.5f \n",
       (*P_f)(t),
       (*P_g)(t),
       (*P_h)(t),
       (*P_f)(t)+fx_x_Normalize((*P_Tf),(*P_Tg),(*P_Th),t,e),
       (*P_g)(t)+fx_x_Normalize((*P_Tg),(*P_Tf),(*P_Th),t,e),
       (*P_h)(t)+fx_x_Normalize((*P_Th),(*P_Tf),(*P_Tg),t,e));
 fclose(fp);

 Pause();
}

Algorithme

r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k
T(t) = r'(t) / ||r'(t)||
N(t) = T'(t) / ||T'(t)||

Application : Tangente de f(x,y)

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner la tangente

• La méthode consiste à poser :
  • x = i (ici i=1).
  • D'utiliser la dérivée partielle par rapport à y.
  • Puis écrire l'équation de la tangente d'une fonction en y.

	c01.c Dessiner la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
point2d p = i_point2d(1,2);
double  h = .001;

 printf(" Draw the equation of the tangent\n\n");
 printf(" at the point P(%.0f,%.0f),\n\n",p.x,p.y);
 printf(" on the plan x = %.0f for f(x,y).\n\n\n",p.x);
 printf(" f : (x,y)-> %s\n\n\n", feq);

 printf(" Cartesian form :\n\n"
        " z = %f y %+f\n\n",
        fxy_y(f,h,p),
        f(p.x,p.y)-fxy_y(f,h,p)*p.y);

       G_3d_p(i_WGnuplot(-10.,10.,-10.,10.),
              i_VGnuplot( 55.,57.,  1., 1.),
              feq,f,
              p);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n");

 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include   "xfxy_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kg_3d.h"

	fa.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return( (9-x*x-y*y) );
}
char  feq[] = "9-x**2-y**2";

	kg_3d.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_p(
W_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f)(double x, double y),
point2d p
)
{
FILE   *fp;
double a,b;
double    h = .001;
double step = 0.2;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"set isosamples 50\n"
           "set hidden3d\n"
           "set xlabel \"X axis\"\n"
           "set ylabel \"Y axis\"\n"
           "set zlabel \"Z axis\" offset 1, 0\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "\"a_tan.plt\" with linesp lt 1 pt 3,\\\n"
           "\"a_p.plt\" pt 20,\\\n"
           "%s \n\n",
        V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
        W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi, feq);
 fclose(fp);

         fp = fopen("a_p.plt","w");
 fprintf(fp," %6.3f %6.3f %6.3f\n",
          p.x,p.y, (*P_f)(p.x,p.y));
  fclose(fp);

  a=fxy_y((*P_f),h,p);
  b=((*P_f)(p.x,p.y)-fxy_y((*P_f),h,p)*p.y);

  fp = fopen("a_tan.plt","w");
    for(p.y=W.ymini; p.y<W.ymaxi;p.y+=step)
      fprintf(fp," %6.3f %6.3f %6.3f\n",
              p.x,p.y, a*p.y+b);
 fclose(fp);

  Pause();
}

Application : Gradient

Préambule

Le gradient dans Wikipedia.

Présentation

Dessiner la courbe de niveau C de f qui contient P et dessiner le gradient au point P.

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le gradient au point P

	c01.c Dessiner le gradient au point P

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double   h  = .0001;
 point2d p  = i_point2d(2,1);
vector2d u  = grad_fxy(g,h,p);

 clrscrn();
 printf(" Sketch both the level curve C of f "
        "that contains P and grad(P)   \n\n");
 printf(" f : (x,y)-> %s\n\n", feq);
 printf(" with p(%+.3f,%+.3f) \n\n",p.x,p.y);

  printf(" In first sketch the graph of f(x,y) = 0\n\n");

     G_3d_eq(i_WsGnuplot(-10,10,-10,10,-100,100),
             i_VGnuplot( 55.,57.,1.,1.),
             feq);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n");
 getchar();

 clrscrn();
 printf(" The level curves have the form f(x,y) = k \n");
 printf(" with p(%+.3f,%+.3f) k = %+.3f \n\n",
          p.x,p.y,f(p.x,p.y));

 printf(" The new function is :\n");
 printf(" g : (x,y)-> %s\n\n", geq);

  printf(" grad(g)]p = %+.3fi  %+.3fj\n",u.i,u.j);
  printf(" is a vector normal to the function\n");
  printf(" g : (x,y)-> %s\n", geq);
  printf(" at the point p(%+.3f,%+.3f)\n\n", p.x,p.y);

  G_3d_levelcurvegradfxy(i_WsGnuplot(-6,6,-6,6,
                                    g(p.x,p.y),
                                    g(p.x,p.y)+.1),
                         g,geq,
                         p);

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");

 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Sketch both the level curve C of f  that contains P and grad(P)    
.
f : (x,y)->  y**2-x**2
.
with p(+2.000,+1.000) 
.
In first sketch the graph of f(x,y) = 0
.
Open the file "a_main.plt" with gnuplot.

Résultat dans gnuplot

The level curves have the form f(x,y) = k 
with p(+2.000,+1.000) k = -3.000 
.
The new function is :
g : (x,y)->  y**2-x**2+3
.
grad(g)]p = -4.000i  +2.000j
is a vector normal to the function
g : (x,y)->  y**2-x**2+3
at the point p(+2.000,+1.000)
.
Open the file "a_main.plt" with gnuplot.
Press return to continue.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include   "xfxy_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kgrad.h"
#include    "kg_3d.h"
#include  "kg_grad.h"

	fa.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                   */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return( ( y*y-x*x) );
}
char  feq[] = " y**2-x**2";
/* ------------------------------------ */
double g(
double x,
double y)
{
 return( ( y*y-x*x+3) );
}
char  geq[] = " y**2-x**2+3";
/* ------------------------------------ */

	kgrad.h Le gradient

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kgrad.h                 */
/* ------------------------------------ */
vector2d grad_fxy(
double (*P_f)(double x,double y),
double   h,
point2d  p
)
{
vector2d   u;

       u.i = fxy_x((*P_f),h,p);
       u.j = fxy_y((*P_f),h,p);

 return(u);
}

	kg_3d.h La fonction graphique (1)

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                 */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_eq(
   Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
char      feq[]
)
{
FILE   *fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "%s",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);
}

	kg_grad.h Dessiner la courbe de niveau qui contient P et le gradient au point P

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_grad.h               */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_levelcurvegradfxy(
Ws_Ctrl W,
double (*P_f)(double x, double y),
char    feq[],
point2d   p
)
{
FILE   *fp;
double   h  = .0001;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 400\n"
           "set isosamples 400\n"
           "set view 1.000, 1.000, 1.000, 1.000 \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "%s,\\\n"
           "\"a_vect\" with linesp lt 3\n",
           W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
           feq);
 fclose(fp);

         fp = fopen("a_vect","w");
 fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
             p.x, p.y, ((*P_f)(p.x,p.y)) );
 fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
             p.x+fxy_x((*P_f),h,p),
             p.y+fxy_y((*P_f),h,p),
             (*P_f)(p.x,p.y) );
  fclose(fp);
}

Application : Vecteur normal

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le vecteur normale au point P

	c01.c Dessiner le vecteur normale au point P

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
   printf(" Draw the normal vector at the point P.\n\n"
          " f : (x,y)-> %s\n\n", feq);

     G_3d_v(i_WsGnuplot(-3,3,-3,3,-.5,2),
            i_VGnuplot( 94.,22.,1.,1.),
            feq,f,f_z,
            i_point2d(1,0.));

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
#include     "xspv.h"
#include  "xfxyz_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_3dv.h"

	fa.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :  fa.h                     */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return(      (2*exp(-x) * cos(y)) );
}
char  feq[] = "2*exp(-x) * cos(y)";
/* ------------------------------------ */
double f_z(
double x,
double y,
double z)
{
 return(      (2*exp(-x) * cos(y) - z) );
}
char  f_zeq[] = "2*exp(-x) * cos(y) - z";

	kg_3dv.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3dv.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_v(
  Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f) (double x, double y),
double (*P_fz)(double x, double y, double z),
point2d p
)
{
FILE   *fp;
point3d p3d = i_point3d(p.x,p.y,(*P_f)(p.x,p.y));

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           "\"a_ka.plt\" with linespoints,\\\n"
           "%s ",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_ka.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x, p.y, ((*P_f)(p.x,p.y)) );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-fxyz_x((*P_fz),0.0001,p3d),
              p.y-fxyz_y((*P_fz),0.0001,p3d),
((*P_f)(p.x,p.y))-fxyz_z((*P_fz),0.0001,p3d));
 fclose(fp);

Pause();
}

Application : Plan tangent

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Dessiner le plan tangent au point P

	c01.c Dessiner le plan tangent au point P

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fa.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{

 printf(" Draw the Tangent plane.\n\n"
        " f : (x,y)-> %s\n\n", feq);

     G_3d_v( i_WsGnuplot(-4,4,-4,4,-1,2),
             i_VGnuplot( 80.,38.,1.,1.),
             feq,f,f_z,
             i_point2d(2,0.));

 printf(" Open the file \"a_main.plt\" with gnuplot.\n"
        " Press return to continue.\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xspv.h"
#include     "xplt.h"
#include  "xfxy_x.h"
#include  "xfxyz_x.h"
/* ------------------------------------ */
#include    "kg_3d.h"

	fa.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   fa.h                    */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x,
double y)
{
 return(       cos(x)+cos(y) );
}
char  feq[] = "cos(x)+cos(y)";
/* ------------------------------------ */
double f_z(
double x,
double y,
double z)
{
 return(         cos(x)+cos(y)-z );
}
char  f_zeq[] = "cos(x)+cos(y)-z";

	fa.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_3d.h                 */
/* ------------------------------------ */
void G_3d_v(
  Ws_Ctrl W,
View_Ctrl V,
  char feq[],
double (*P_f) (double x, double y),
double (*P_fz)(double x, double y, double z),
point2d p
)
{
FILE      *fp;
point3d   P3D = i_point3d(p.x,p.y,(*P_f)(p.x,p.y));
double radius = .5;

        fp = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp,"reset\n"
           "set size ratio -1\n"
           "set    samples 40\n"
           "set isosamples 40\n"
           "set hidden3d\n"
           "set view %0.3f, %0.3f, %0.3f, %0.3f \n"
           "splot[%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f][%0.3f:%0.3f]\\\n"
           " \"a_ka.plt\" with linesp lt 1 lw 4,\\\n"
           " \"a_kb.plt\" with linesp lt 1 lw 4 ps 2,\\\n"
           "%s lt 3",
            V.rot_x,V.rot_z,V.scale,V.scale_z,
            W.xmini,W.xmaxi,W.ymini,W.ymaxi,W.zmini,W.zmaxi,
            feq);
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_ka.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x, p.y, (*P_f)(p.x,p.y) );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-fxyz_x((*P_fz),0.0001,P3D),
              p.y-fxyz_y((*P_fz),0.0001,P3D),
((*P_f)(p.x,p.y))-fxyz_z((*P_fz),0.0001,P3D));
 fclose(fp);

 fp = fopen("a_kb.plt","w");
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x+radius,
              p.y-radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
         fprintf(fp," %6.3f   %6.3f   %6.3f\n",
              p.x-radius,
              p.y+radius,
              fxy_x((*P_f),0.0001,p)*(-radius)+
              fxy_y((*P_f),0.0001,p)*(+radius)+
              (*P_f)(p.x,p.y)
              );
 fclose(fp);

 Pause();
}

Commande pause 1

Préambule

Créer une animation avec la commande "pause 1" de gnuplot. Ces exemples dans cette page présentent le code sans animation. Pour le troisième exemple voir le chapitre Animation Tangente Pour un autre exemple, voir le chapitre Tangente d'une courbe

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Le cadre

	c01.c Créer une liste de commande.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include  "kg_tan1.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
t_Ctrl Pic = {0,5,1};

  G_TanA(Pic);

 printf(" Read \"a_main.plt\".\n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 
 set zeroaxis

 pause 1

 pause 1

 pause 1

 pause 1

 pause 1

 reset

Dessiner

• Dessiner une chaîne de caractères.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c02.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include  "kg_tan2.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);

  G_TanA(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),
         i_time(0,5,1),
         feq);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"

 set zeroaxis
 
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]   cos(x)
 pause 1
 
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]   cos(x)
 pause 1
 
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]   cos(x)
 pause 1
 
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]   cos(x)
 pause 1
 
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]   cos(x)
 pause 1
 
 reset

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";

	kg_tan1.h La fonction graphique pour c01.c

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan1.h               */
/* ------------------------------------ */
void G_TanA(
t_Ctrl Pic
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p;

    fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
               " set zeroaxis\n\n");

for(p=Pic.mini; p<Pic.maxi; p+=Pic.step)

    fprintf(fp," pause 1\n\n");

fprintf(fp," reset");

fclose(fp);
}

	kg_tan2.h La fonction graphique pour c02.c

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan2.h                */
/* ------------------------------------ */
void G_TanA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
char   fEQ[]
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p ;

    fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n"
               " set zeroaxis\n\n");

for(p = Pic.mini; p<Pic.maxi; p+=Pic.step)

    fprintf(fp," plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] "
               " %s\n"
               " pause 1\n\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ);

    fprintf(fp," reset");
     fclose(fp);
}

Animer un point

Préambule

Créer une animation avec la commande "pause 1" de gnuplot. La position du point est dans les fichiers a_p***. Dans cet exemple la commande "pause 1" a été oublié.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

L'animation

	c01.c Créer une liste de commande

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include        "f.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
    G_plt(i_WGnuplot(-5,5, -1,10),
          i_time(-3.,5., .01),
          feq,f);

 printf(" open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n"
        " Press return to continue\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

# Gnuplot file : load "a_main.plt"

reset
plot[-5.000:5.000] [-1.000:10.000]\
-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
"a_paab" pt 7 ps 3 
reset
plot[-5.000:5.000] [-1.000:10.000]\
-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
"a_paac" pt 7 ps 3 
reset
plot[-5.000:5.000] [-1.000:10.000]\
-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
"a_paad" pt 7 ps 3 
reset
plot[-5.000:5.000] [-1.000:10.000]\
-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
"a_paae" pt 7 ps 3 
reset
plot[-5.000:5.000] [-1.000:10.000]\
-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
"a_paaf" pt 7 ps 3

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include     "kg_f.h"

	f.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f.h                     */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
 return(       -0.5*x*x  + 1.0*x + 8.0);
}
char  feq[] = "-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0";

	kg_f.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_f.h                  */
/* ------------------------------------ */
void G_plt(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
char feq[],
double (*P_f)(double x)
)
{
FILE   *fp1;
FILE   *fp2;
double    p;
char files[]= "a_paaa";

         fp1 = fopen("a_main.plt","w");
 fprintf(fp1,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n");

for(p=Pic.mini; p<Pic.maxi; p+=Pic.step)
{
 fprintf(fp1," reset\n"
            " plot[%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
            " %s lt 13,\\\n"
            " \"%s\" pt 7 ps 3 \n",
         w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
         feq,
         NewName(files));

         fp2 = fopen(files,"w");
 fprintf(fp2," %+0.6f %+0.6f",p,(*P_f)(p));
  fclose(fp2);
}
  fclose(fp1);
}

Animer deux points

Préambule

Créer une animation avec la commande "pause 1" de gnuplot. La position des deux points sont dans les fichiers a_p***

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

L'animation

	c01.c Créer une liste de commande.

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include        "f.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
    G_plt(i_WGnuplot(-5,5, -1,10),
          i_time(-3.,5., .01),
          feq,f);

 printf(" open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n"
        " Press return to continue\n");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat.

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"

 reset
 plot[-4.000:6.000] [-1.000:10.000]\
 -0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
 "a_paab"  pt 7 ps 3 

 reset
 plot[-4.000:6.000] [-1.000:10.000]\
 -0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
 "a_paac"  pt 7 ps 3 

 reset
 plot[-4.000:6.000] [-1.000:10.000]\
 -0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
 "a_paad"  pt 7 ps 3 

 reset
 plot[-4.000:6.000] [-1.000:10.000]\
 -0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0 lt 13,\
 "a_paae"  pt 7 ps 3

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xdef.h"
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include     "xg_f.h"

	f.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f.h                     */
/* ------------------------------------ */
double f(
double x)
{
 return(       -0.5*x*x  + 1.0*x + 8.0);
}
char  feq[] = "-0.5*x**2 + 1.0*x + 8.0";

	xg_f.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   xg_f.h                  */
/* ------------------------------------ */
void  G_plt(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
char feq[],
double (*P_f)(double x)
)
{
FILE   *fp1;
FILE   *fp2;
double  p,q;
char files[] = "a_paaa";

        fp1 = fopen("a_main.plt","w");
fprintf(fp1,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\" \n\n");

for(p=q=Pic.mini; p<Pic.maxi; p+=Pic.step)
{
 fprintf(fp1," reset\n"
             " pause %0.2f \n"
             " plot[%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f]\\\n"
             " %s lt 13,\\\n"
             " \"%s\"  pt 7 ps 3 \n",
             Pic.step,w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
             feq,
             NewName(files));

         fp2 = fopen(files,"w");
 fprintf(fp2," %+0.6f %+0.6f\n",p,(*P_f)(p));
 fprintf(fp2," %+0.6f %+0.6f\n",q,(*P_f)(p));
 fclose(fp2);
}
 fclose(fp1);
}

Animation : Tangente

Préambule

La tangente dans Wikipedia.

Voir l'introduction pour créer une animation avec gnuplot sous windows ou linux.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et ceux de ce chapitre.

Animer la tangente

Nous utilisons ici la méthode avec la commande "pause 1" de gnuplot.

	c01.c Animer la tangente

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "f2.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
 printf("  f : x-> %s  \n", feq);
 printf("  f': x-> %s\n\n",Dfeq);

 printf(" The equation of the tangent is : \n\n");
 printf("       y = f'(c) (x-c) + f(c)     \n\n");

  G_TanA(i_WGnuplot(-7, 7,-2,2),
         i_time(-1.5,2,.2),
         feq,
         f,
         Df);

 printf(" load \"a_main.plt\" with gnuplot. \n\n"
        " Press return to continue");
 getchar();

 return 0;
}

Le résultat dans a_main.plt

 # Gnuplot file : load "a_main.plt"
 set zeroaxis
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.997495*x +1.566980 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.963558*x +1.520124 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.891207*x +1.433924 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.783327*x +1.326604 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.644218*x +1.215795 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.479426*x +1.117295 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.295520*x +1.043993 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  0.099833*x +1.004988 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.099833*x +1.004988 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.295520*x +1.043993 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.479426*x +1.117295 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.644218*x +1.215795 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.783327*x +1.326604 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.891207*x +1.433924 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.963558*x +1.520124 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.997495*x +1.566980 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.991665*x +1.556986 
 pause 1
 plot [-7.000:7.000] [-2.000:2.000]  cos(x),  -0.946300*x +1.474681 
 pause 1
 reset

Les fichiers h de ce chapitre

	x_ahfile.h Appel des fichiers

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   x_ahfile.h              */
/* ------------------------------------ */
#include    <stdio.h>
#include   <stdlib.h>
#include    <ctype.h>
#include     <time.h>
#include     <math.h>
#include   <string.h>
/* ------------------------------------ */
#include     "xplt.h"
/* ------------------------------------ */
#include   "kg_tan.h"

	f2.h La fonction à dessiner

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   f2.h                    */
/* ----------- f ---------------------- */
double f(
double x)
{
 return(       cos(x));
}
char  feq[] = " cos(x)";
/* ------------ f' --------------------- */
double Df(
double x)
{
 return(  (-sin(x)) );
}
char Dfeq[] = " (-sin(x)) ";

	kg_tan.h La fonction graphique

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   kg_tan.h                */
/* ------------------------------------
   y = ax + b    [P(xp,yp);(y-yp)=a(x-xp)]

   a = f'(x)

   b = y - ax
   b = y - f'(x)x
   b = f(x) - f'(x)x

   x=p
   a = f'(p)
   b = f(p) - f'(p)p
   ------------------------------------ */
void G_TanA(
W_Ctrl w,
t_Ctrl Pic,
  char    fEQ[],
double (*P_f)(double x),
double (*PDf)(double x)
)
{
FILE *fp = fopen("a_main.plt","w");
double p = Pic.mini;

fprintf(fp,"# Gnuplot file : load \"a_main.plt\"\n"
           " set zeroaxis\n"
           " reset\n\n");

for(;p<Pic.maxi;p+=Pic.step)
    fprintf(fp," plot [%0.3f:%0.3f] [%0.3f:%0.3f] "
               "%s, "
               " %0.6f*x %+0.6f \n"
               " pause 1\n\n",
                 w.xmini,w.xmaxi,w.ymini,w.ymaxi,
                 fEQ,
           (*PDf)(p), (-(*PDf)(p)*p+(*P_f)(p)) );

fprintf(fp," reset");
 fclose(fp);
}

Animation : Cercle de courbure

Préambule

Cercle de courbure dans Wikipedia.

Voir l'introduction pour créer une animation avec gnuplot sous windows ou linux.

Présentation

N'oubliez pas les fichiers *.h partagés et récupérer aussi ceux du chapitre Dessiner :Cercle de courbure.

Animer

	c01.c Animer le cercle de courbure pour une fonction f(x)

/* ------------------------------------ */
/*  Save as :   c01.c                   */
/* ------------------------------------ */
#include "x_ahfile.h"
#include       "fb.h"
/* ------------------------------------ */
int main(void)
{
double x = -3.5;
double e = .001;
char   Name[FILENAME_MAX] = "a_circle.plt"; 

 for(;x<3.5;x+=.1)
    {
     circle(Name,
          1./K_y_2d(f,x,e),
          h_y_2d(f,x,e),
          k_y_2d(f,x,e));

     G_C_2d(i_WGnuplot(-4.,4.,-2.,2.),
            f,x,e,
            feq);}

 printf(" open the file \"a_main.plt\" with Gnuplot.\n\n"
        " Use the command replot of gnuplot         \n\n");

 return 0;
}

Le résultat.

Résultat dans gnuplot