Mathc matrices/05b

La décomposition spectral

La matrice A est son inverse on les même vecteurs propres mais rangé en ordre inverse

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% Properties of spectral decomposition:
%
% To calculate the spectral decomposition of a symetric matrix A, we  need:
%
% b: The columns of the eigenvectors of A
% r: The rows of eigenvectors of the inverse of A
%
% The eigenvectors of the inverse of A are identical to
% the eigenvectors of A but not in the correct order. (Try the example)
%
% To obtain the eigenvector rows of the inverse of A,
% I will take the transpose of the eigenvectors of A,
% since A and the inverse of A have the same eigenvectors,
% only when A is  symetric.


clear, clc

A = round(10*randn(3));    %% A matrix 3x3
A = A'*A;                  %% A symetric matrix

invA = inv(A);

% Eigenvectors, Eigenvalues of A
[AEvectors,AEvalues] = eigs(A);

% Eigenvectors, Eigenvalues of inverse of A
[invAEvectors,invAEvalues] = eigs(invA);

   AEvectors
invAEvectors

%%

Pour calculer la décomposition spectrale d'une matrice symétrique A, nous avons besoin de :

b : Les colonnes des vecteurs propres de A
r : Les lignes des vecteurs propres de l'inverse de A

Les vecteurs propres de l'inverse de A sont identiques aux vecteurs propres de A, mais pas dans le bon ordre. (Essayez l'exemple.)
Pour obtenir les lignes des vecteurs propres de l'inverse de A, je vais transposer les vecteurs propres de A, car A et son inverse ont les mêmes vecteurs propres uniquement lorsque A est symétrique.