Mathc matrices/05c

b1r1 + b2r2 + b3r3 = Ide (Les b_r_ sont des projecteurs.)

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% A property of spectral decomposition:
%
%        V1 V1' + V2 V2' + V3 V3' = Ide
%        b1 r1  + b2 r2  + b3 r3  = Ide
%
% V (b) : The columns of the eigenvectors of A
% V'(r) : The rows of the eigenvectors of the inverse of A
%         (Here the transpose: see the first example)
%
% V1V1' (b1r1) is obtained by multiplying the first column of the eigenvector
%              of A by the first row of the eigenvector of the inverse of A


clear, clc

A = round(10*randn(3));    %% A matrix 3x3
A = A'*A                   %% A symetric matrix

% Eigenvectors, Eigenvalues
[Evectors,Evalues] = eigs(A);

V1 = Evectors(:,1);
V2 = Evectors(:,2);
V3 = Evectors(:,3);

b1r1 = V1*V1';
b2r2 = V2*V2';
b3r3 = V3*V3';

Ide = b1r1+b2r2+b3r3

%%

Nous voyons une des propriètés de la décomposition spectral:

 b1r1 + b2r2 + b3r3 = Ide
 
b1r1 est obtenue en multipliant la première colonne de la matrice des vecteurs propres par la première ligne de la matrice inverse des vecteurs propres.

      Vp      invVp

               r1
   b1 b2 b3    r2    ->   b1*r1;  b2*r2;  b3*r3;  Cela nous donne trois matrices [3x3]
               r3