Mathc matrices/25e
L'équation d'une sphère[modifier le wikicode]
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Présentation :
Un système linéaire homogène avec autant d'équation
que d'inconnus a une solution non trivial si et
seulement le déterminant de cette matrice est nul.
Calculons l'équation d'une sphère passant par les points P Q R S :
c1(x^2 +y^2 +z^2) +c2x +c3y +c4z +c5 = 0
Cette même équation avec les points P(x1,y1,z1)
Q(x2,y2,z2) R(x3,y3,z3) et S(x4,y4,z4):
c1(x1^2+y1^2+z1^2)+c2x1+c3y1+c4z1+c5 = 0
c1(x2^2+y2^2+z2^2)+c2x2+c3y2+c4z2+c5 = 0
c1(x3^2+y3^2+z3^2)+c2x3+c3y3+c4z3+c5 = 0
c1(x4^2+y4^2+z4^2)+c2x4+c3y4+c4z4+c5 = 0
Le système de cinq équations :
c1(x^2 +y^2 +z^2) +c2x +c3y +c4z +c5 = 0
c1(x1^2+y1^2+z1^2)+c2x1+c3y1+c4z1+c5 = 0
c1(x2^2+y2^2+z2^2)+c2x2+c3y2+c4z2+c5 = 0
c1(x3^2+y3^2+z3^2)+c2x3+c3y3+c4z3+c5 = 0
c1(x4^2+y4^2+z4^2)+c2x4+c3y4+c4z4+c5 = 0
Le déterminant du système :
|(x ^2+y ^2+z ^2) x y z 1|
|(x1^2+y1^2+z1^2) x1 y1 z1 1|
|(x2^2+y2^2+z1^2) x2 y2 z2 1| = 0
|(x3^2+y3^2+z3^2) x3 y3 z3 1|
|(x4^2+y4^2+z4^2) x4 y4 z4 1|
Le déterminant du système en langage C :
| 1 1 1 1 1|
|(x1^2+y1^2+z1^2) x1 y1 z1 1|
|(x2^2+y2^2+z1^2) x2 y2 z2 1| = 0
|(x3^2+y3^2+z3^2) x3 y3 z3 1|
|(x4^2+y4^2+z4^2) x4 y4 z4 1|
c1 (x^2 +y^2 +z^2) +
c2 x +
c3 y +
c4 z +
c5 = 0
Pour calculer les coefficients de l'équation
de la sphère on utilise le développement sur
la première ligne en calculant les cofacteurs.
cof(R1,C1) (x ^2+y ^2+z ^2)+
cof(R1,C2) x+
cof(R1,C3) y+
cof(R1,C4) z+
cof(R1,C5) = 0
Cette équation nous donnes l'équation de la sphère
qui passe par les quatre points P Q R et S.
Deux exemples :