Temps de traversée tunnel/Temps de références

La durée de traversée tunnel et les relations d'incertitude

La première méthode permettant de définir une durée correspondant à la traversée par effet tunnel, pour une particule d'énergie $E$ inférieure au niveau maximal $V$ de la barrière de potentiel (d'épaisseur $d$) à traverser est de faire appel à la relation d'incertitude temps-énergie. Un état stationnaire peut être sujet à une fluctuation quantique le portant à une énergie $E'>V$ suffisamment élevée pour que la barrière puisse être franchie d'une manière classique, à la vitesse $v_{cl}$. La durée correspondante est $\tau$ telle que :

$\tau \times (E'-E)\simeq \hbar \quad ;\quad v_{cl}={\sqrt {{\frac {2}{m}}(E'-V)}}\quad ;\quad d=v_{cl}\,\tau \;.$

Une maximisation de la vitesse par rapport à l'énergie $E'$, permettant d'obtenir une durée la plus faible possible (pendant laquelle la conservation de l'énergie se trouve violée) mène aux relations suivantes :

$\tau \simeq {\frac {\hbar }{2(V-E)}}={\frac {md}{\hbar \kappa }}\quad ;\quad v_{cl}={\frac {\hbar \kappa }{m}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}(V-E)}}\quad ;\quad d={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m(V-E)}}}\;.$

L'avantage de cette approche est que le résultat est tout à fait semblable à l'expression classique pour une particule d'énergie $E$ est supérieure à l'énergie potentielle, donnant une vitesse $v_{cl}={\sqrt {{\frac {2}{m}}(E-V)}}$ pour la durée de la traversée.

Il faut néanmoins noter que cette définition ne permet pas une évaluation de la durée que l'on pourrait vouloir accorder à la présence dans la barrière pour les particules qui en définitive seraient réfléchies.

le temps de séjour

Initialement introduit pour un état stationnaire $\Psi (x,t)=\varphi (x)\;\exp(-iEt/\hbar )$ le temps de séjour (ou temps d'habitation) provient d'une comparaison entre la probabilité de présence dans la barrière et la densité de courant de probabilité de courant $J$ en amont de la barrière :

$\tau _{D}={\frac {m}{\hbar k}}\,\int \limits _{a}^{b}dx\vert \varphi (x)\vert ^{2}\;;$

où $a$ et $b$ sont les points d'entrée et de sortie de la barrière. Cette expression peut se mettre sous la forme :

$\tau _{D}=\int _{-\infty }^{\infty }\;dt'\;t'\;[J(b,t')-J(a,t')]$

qui peut être généralisée au paquet d'onde donnant finalement :

$\tau _{D}=\int _{-\infty }^{\infty }dt\int _{-\infty }^{t}dt'\,\int _{a}^{b}dx\,|\Psi (x,t')|^{2}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,\,|\phi (k)|^{2}{\frac {m}{\hbar k}}\int _{a}^{b}dx|A(x,k)|^{2}\;,$

où $\phi (k)$ est le spectre du paquet d'onde et $A(x,k)$ la partie intérieure (à la barrière) du mode stationnaire de vecteur d'onde $k$ (le mode stationnaire est caractérisé par son vecteur d'onde à l'extérieur de la barrière, côté incident).

Il apparaît sur les définitions précédentes que le temps de séjour ne fait pas de distinction entre les particules transmises ou les particules réfléchies. Ce temps de séjour est défini sur l'ensemble de la diffusion de la particule par la barrière, qu'elle soit finalement transmise ou réfléchie.

conditions générales espérées pour les durées de traversée

Les différents travaux qui sont repris ici ne cachent pas leur désir de retrouver une définition du temps de traversée tunnel qui ait des caractéristiques semblables à celles que possède son équivalent classique. Celles qui sont recensées ci-dessous apparaissent naturelles, cependant elles pourront apparaître non remplies pour l'une ou l'autre des définitions.

• additivité : le temps que passe une particule dans un intervalle $[a,b]$, $\tau _{[a,b]}$ vérifie :

$\tau _{[a,b]}=\tau _{[c,b]}+\tau _{[c,b]}\quad ;\quad a\leq c\leq b\;.$

• réel ou complexe : quelques uns des temps qui seront introduits sont réels. Ce sont naturellement ceux qui sont définis directement par un lien avec une aiguille sur l'horloge. Comme l'on va le voir ces temps réels arrivent comme les parties réelles de temps complexes, dont finalement l'on sait aussi attribuer un sens aux parties imaginaires.

• positivité : selon la barrière, et la valeur de l'énergie de la particule, quelques durées apparaissent négatives. Ainsi dans certains cas, les délais de phase en réflexion, et les parties imaginaires des temps complexes.

• une contrainte est parfois requise par les auteurs. Il est espéré que les durées de traversée soient suffisantes pour que les vitesses qui pourraient en être déduites soient inférieures à la vitesse de la lumière. En pratique il apparaît que certains temps mènent à des vitesses supraluminiques... le traitement en mécanique quantique relativiste n'élimine pas ce fait. On sait par ailleurs que l'effet Hartman est vérifié par les photons

• exclusivité : d'une façon générale on cherche à associer les durées de traversée à la théorie des probabilités. Pour être acceptables, les durées tunnels, correspondant aux particules finalement transmises ou réfléchies devraient pouvoir s'associer afin de conserver une structure compréhensible. La durée moyenne de séjour dans la barrière devrait pouvoir s'écrire :

$\tau ={\mathcal {P}}_{T}\;\tau _{T}+{\mathcal {P}}_{R}\;\tau _{R}$ ;

En pratique il apparaîtra qu'aucun temps ne vérifie simultanément toutes les conditions : additivité, réalité, positivité et exclusivité... à part le temps de phase asymptotique. Rappelons qu'en ce qui concerne le temps d'habitation, celui -ci ne peut être séparé en une composante réfléchie ou une composante transmise.