Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Expression au moyen du symbole de Christoffel/Démonstration

Dans l'équation

${\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{il,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

On remarque que les indices i et j jouent un rôle symétrique, ce qui permet d'écrire

${\ddot {x}}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{ij,l}-g_{il,j}-g_{jl,i}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

On reconnait l'expression du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique et donc

${\ddot {x}}^{k}=-\Gamma _{ij}^{k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

c.q.f.d.