Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Expression au moyen du symbole de Christoffel/Démonstration

Dans l'équation

$\ddot{x}^k = g^{kl} \left(\frac{1}{2} g_{ij,l} - g_{il,j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j$

On remarque que les indices i et j jouent un rôle symétrique, ce qui permet d'écrire

$\ddot{x}^k = \frac{1}{2} g^{kl} \left(g_{ij,l} - g_{il,j} - g_{jl,i}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j$

$\ddot{x}^k = -\Gamma_{ij}^k \dot{x}^i \dot{x}^j$

c.q.f.d.