Partant de l'expression de la dérivée partielle du tenseur métrique, on calcule, en profitant de la symétrie du symbole de Christoffel
g l j , i + g l i , j − g i j , l = g j m Γ l i m + g l m Γ j i m + g i m Γ l j m + g l m Γ i j m − g j m Γ i l m − g i m Γ j l m = 2 g l m Γ i j m {\displaystyle g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}=g_{jm}\Gamma _{li}^{m}+g_{lm}\Gamma _{ji}^{m}+g_{im}\Gamma _{lj}^{m}+g_{lm}\Gamma _{ij}^{m}-g_{jm}\Gamma _{il}^{m}-g_{im}\Gamma _{jl}^{m}=2g_{lm}\Gamma _{ij}^{m}}
Le tenseur métrique étant son propre inverse ( g k l g l m = δ m k {\displaystyle g^{kl}g_{lm}=\delta _{m}^{k}} ), on obtient le résultat cherché Γ i j k = 1 2 g k l ( g l j , i + g l i , j − g i j , l ) {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)} en multipliant par 1 2 g k l {\displaystyle {\frac {1}{2}}g^{kl}} .
),
on obtient le
résultat cherché
en multipliant par 
.
