Photographie/Photométrie/Sources orthotropes

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Une source lumineuse orthotrope est caractérisée par une luminance identique dans toutes les directions. Quelle que soit sa forme, une telle source paraît plane, à l'exemple du Soleil qui, bien qu'il soit sphérique, semble être un disque dans le ciel.

Les corps noirs sont théoriquement des sources lumineuses orthotropes.

Luminance d'une surface parfaitement mate

Une feuille de papier blanc mat placée perpendiculairement aux rayons du Soleil, en été, à midi, reçoit un éclairement E de 100 000 lux.

Quelle est sa luminance ?

On peut supposer que ce papier se comporte comme un diffuseur parfait, au sens de la loi de Lambert :

• son absorption est nulle, il renvoie toute la lumière qu'il reçoit,
• sa luminance est indépendante de la direction d'observation. Dans ces conditions, il se comporte comme un corps orthotrope.

On considère une demi-sphère fictive de rayon très grand par rapport aux dimensions du papier de façon que celui-ci puisse être considéré comme une source ponctuelle. La feuille est au centre de cette demi-sphère et dans le plan qui la limite.

On découpe sur cette demi-sphère une zone très étroite définie par (α, dα) et dont l'aire élémentaire $dS\,$ vaut :

$dS = 2 \pi R \sin{\alpha} \times R\,d\alpha = 2 \pi R^2 \sin{\alpha}\,d\alpha$

Cette zone est vue depuis le centre sous un angle solide $d\Omega\,$ tel que :

$d\Omega= \frac{2 \pi R^2 \sin{\alpha\,d\alpha}}{R^2} = 2 \pi \sin{\alpha}\,d\alpha$

La feuille a une aire $\Sigma\,$ (surface émissive secondaire) et on appelle $L\,$ sa luminance. Elle émet dans la direction définie par $\alpha\,$ une intensité lumineuse :

$I = L\,\Sigma \cos{\alpha}$

Le flux émis dans l'angle solide $d\Omega\,$ est alors :

$dF = I\,d\Omega = L\,\Sigma \cos{\alpha} \times 2 \pi \sin{\alpha}\,d\alpha = \pi L \Sigma \sin{2\alpha}\,d\alpha$

Le flux total émis par la feuille vaut :

$F = \int_0^F dF = \int_0^{\pi/2} \pi L \Sigma \sin{2 \alpha}\,d \alpha = \pi L \Sigma \int_0^{\pi/2} \sin{2 \alpha}\,d \alpha$

$F = \pi L \Sigma \, \left[- \frac{\cos{2 \alpha}}{2} \right]_0^{\pi/2} = \pi L \Sigma$

Le flux reçu par la feuille vaut $F = E\, \Sigma$, il est intégralement renvoyé, par conséquent :

$\pi L \Sigma = E \Sigma\,$

On obtient finalement :

$L = \frac{E}{\pi}$

Si l'éclairement est 100 000 lux, alors la luminance est L = 31 800 cd/m² , valeur à comparer avec celle donnée précédemment, sans oublier que le papier absorbe un peu de lumière.

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