Photographie/Photométrie/Sources orthotropes

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Une source lumineuse orthotrope est caractérisée par une luminance identique dans toutes les directions. Quelle que soit sa forme, une telle source paraît plane, à l'exemple du Soleil qui, bien qu'il soit sphérique, semble être un disque dans le ciel.

Les corps noirs sont théoriquement des sources lumineuses orthotropes.


[modifier] Luminance d'une surface parfaitement mate

Une feuille de papier blanc mat placée perpendiculairement aux rayons du Soleil, en été, à midi, reçoit un éclairement E de 100 000 lux.

Quelle est sa luminance ?


On peut supposer que ce papier se comporte comme un diffuseur parfait, au sens de la loi de Lambert :

  • son absorption est nulle, il renvoie toute la lumière qu'il reçoit,
  • sa luminance est indépendante de la direction d'observation. Dans ces conditions, il se comporte comme un corps orthotrope.
Luminance.png

On considère une demi-sphère fictive de rayon très grand par rapport aux dimensions du papier de façon que celui-ci puisse être considéré comme une source ponctuelle. La feuille est au centre de cette demi-sphère et dans le plan qui la limite.

On découpe sur cette demi-sphère une zone très étroite définie par (α, dα) et dont l'aire élémentaire dS\, vaut :

dS = 2 \pi R \sin{\alpha} \times R\,d\alpha = 2 \pi R^2 \sin{\alpha}\,d\alpha

Cette zone est vue depuis le centre sous un angle solide d\Omega\, tel que :

d\Omega= \frac{2 \pi R^2 \sin{\alpha\,d\alpha}}{R^2} = 2 \pi \sin{\alpha}\,d\alpha


La feuille a une aire \Sigma\, (surface émissive secondaire) et on appelle L\, sa luminance. Elle émet dans la direction définie par \alpha\, une intensité lumineuse :

I = L\,\Sigma \cos{\alpha}


Le flux émis dans l'angle solide d\Omega\, est alors :

dF = I\,d\Omega = L\,\Sigma \cos{\alpha} \times  2 \pi \sin{\alpha}\,d\alpha = \pi L \Sigma \sin{2\alpha}\,d\alpha


Le flux total émis par la feuille vaut :

F = \int_0^F dF = \int_0^{\pi/2} \pi L \Sigma \sin{2 \alpha}\,d \alpha = \pi L \Sigma \int_0^{\pi/2} \sin{2 \alpha}\,d \alpha


F = \pi L \Sigma \, \left[- \frac{\cos{2 \alpha}}{2} \right]_0^{\pi/2} = \pi L \Sigma


Le flux reçu par la feuille vaut F = E\, \Sigma, il est intégralement renvoyé, par conséquent :

\pi L \Sigma = E \Sigma\,


On obtient finalement :


L = \frac{E}{\pi}


Si l'éclairement est 100 000 lux, alors la luminance est L = 31 800 cd/m2 , valeur à comparer avec celle donnée précédemment, sans oublier que le papier absorbe un peu de lumière.


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