Électricité/Le transformateur monophasé

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Avant propos : les notations complexes[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce wikilivre, les grandeurs temporelles sinusoïdales sont exprimées en valeurs complexes. Rappelons que si, par exemple, un courant sinusoïdal i(t) d'amplitude I_0 et de valeur efficace I s'exprime en notation réelle selon l'expression :


	i(t) = I_0 \cos(\omega t + \varphi) = I \sqrt 2  \cos(\omega t + \varphi) \qquad (1)

alors, on l'exprime dans le cas complexe selon :


 \underline {I(t)} = \underline{I} \exp (j\omega t) \qquad (2)

\underline{I} est appelée l'amplitude complexe du courant. Toutes les grandeurs d'un problème donné ayant la même composante temporelle \exp (j \omega t) (le temps s'écoule de la même façon pour toutes les grandeurs), on se contentera d'utiliser dans les calculs et les représentations les amplitudes complexes. Dans notre exemple, l'amplitude complexe \underline I contient l'amplitude I_0 (c'est-à-dire la valeur efficace I) et le déphasage \varphi du courant, et s'exprime selon la relation :


	\underline{I} = I_0 \exp (j\varphi) =  I \sqrt 2 \exp (j\varphi)  \qquad (3)

La représentation de Fresnel :[modifier | modifier le wikicode]

L'utilisation d'un diagramme de Fresnel permet de s'affranchir de l'utilisation des nombres complexes et des calculs délicats qui leur sont associés. En effet, les amplitudes complexes des grandeurs y sont représentées par des vecteurs du plan complexe. Dans ce wikilivre, les vecteurs sont reportés dans la représentation de Fresnel de la façon suivante :

  • le module du vecteur correspond à la valeur efficace de la grandeur ;
  • l'angle correspond à la phase de la grandeur.

A titre d'exemple, nous avons reporté sur la Fig. 1 les représentations de Fresnel des grandeurs suivantes :


\underline I = I \sqrt 2 \exp j\varphi_1 \qquad (4)

et


\underline V = V \sqrt 2 \exp j\varphi_2 \qquad (5)


Fig. 1 : Représentation de Fresnel dans le plan complexe (a) et en utilisant une grandeur de référence (b). Ces deux représentations sont équivalentes.

Les grandeurs peuvent être reportées de deux façons équivalentes, selon les données et les inconnues du problème :

  • Lorsque l'on s'intéresse aux phases des grandeurs, on peut choisir de reporter les grandeurs de manière absolue dans le plan complexe, comme indiqué sur la Fig. 1(a). Dans ce cas, l'axe des abscisses correspond à la partie réelle et l'axe des ordonnées à la partie imaginaire de l'amplitude complexe reportée (à \sqrt 2 près puisque nous avons choisi de faire correspondre les modules aux valeurs efficaces).
  • Lorsque l'on s'intéresse aux déphasages entre les grandeurs (ce sera souvent le cas dans ce cours), on peut choisir de reporter les grandeurs de manière relative, comme indiqué sur la Fig. 1(b). L'une des grandeurs est choisie en référence : ce choix peut être totalement arbitraire mais est en général dicté par le problème. Dans notre exemple, le courant a été choisi en référence. Remarquons que dans ce cas les axes des abscisses et des ordonnées ne correspondent plus à rien.

Dans ce wikilivre, nous choisissons comme positif le sens de rotation trigonométrique (anti-horaire ou sens inverse des aiguilles d'une montre). Dans notre exemple de la Fig. 1, nous pouvons remarquer que la tension est en avance sur le courant.

Généralités sur le transformateur[modifier | modifier le wikicode]

Qu'est-ce qu'un transformateur ?[modifier | modifier le wikicode]

Un transformateur a pour but de modifier les amplitudes des grandeurs électriques alternatives : il transforme des signaux de tension et de courant de fréquence donnée en signaux de même fréquence mais de valeurs efficaces différentes.

L'une des particularités du transformateur est qu'il a un rendement très élevé, souvent proche de 100 % : dans les gros transformateurs, on a moins de 1 % de pertes. Pour simplifier, nous ne considérerons ici que le cas du transformateur monophasé, mais les principes physiques abordés s'appliquent aussi au cas du transformateur triphasé.

Pourquoi utiliser un transformateur ?[modifier | modifier le wikicode]

Le transformateur joue un rôle important dans le transport et la distribution de l'énergie électrique. En effet, si l'on s'intéresse aux pertes en ligne lors d'un transport de puissance électrique, et plus particulièrement aux pertes Joule, ces-dernières sont, quel que soit le conducteur, d'autant plus importantes que le courant électrique est élevé. Or, à puissance transportée constante, l'utilisation d'une tension plus élevée implique un courant électrique plus faible puisque, d'une manière générale et quel que soit le nombre de phases utilisées, la puissance électrique P_{elec} est proportionnelle au produit de la tension V par le courant I :


	P_{elec} \propto  V \times I \qquad (6)

De fait, afin de limiter au maximum les pertes en ligne, il faut transporter un courant aussi faible que possible : quand les distances deviennent importantes, le transport de l'énergie électrique ne peut se faire qu'à très haute tension. Il est donc nécessaire d'élever la tension fournie par les générateurs avant de la transporter, et pour cela d'utiliser des transformateurs.

D'un autre côté, les tensions élevées demandent une maîtrise plus importante. Pour des raisons de sécurité, tournant notamment autour de problèmes d'isolation des conducteurs, ou lorsqu'il n'est pas nécessaire de transporter l'énergie sur de longues distances, on n'a pas toujours recours à l'utilisation des hautes tensions. En particulier, il n'est pas envisageable de câbler les bâtiments avec des tensions très élevées : une fois le transport effectué, l'énergie électrique doit être distribuée sous la forme de basses tensions et l'on doit par conséquent avoir là aussi recours à un transformateur.

En résumé, le transformateur permet à l'énergie électrique d'être transportée à longue distance de façon économique et distribuée dans les industries et les habitations.

Constitution d'un transformateur monophasé[modifier | modifier le wikicode]

Comme nous pouvons le voir sur la Fig. 2, un transformateur monophasé est constitué :

  • d'un circuit magnétique fermé ;
  • de deux circuits électriques sans liaison entre eux, enroulés autour du circuit magnétique.
Fig. 2 : Schéma de principe d'un transformateur monophasé


Le circuit électrique lié au générateur est appelé le circuit primaire, celui qui est lié au récepteur est appelé le circuit secondaire.

Appelons V_1 la valeur efficace de \underline{V_1} au primaire et V_2 la valeur efficace de \underline{V_2} au secondaire alors :

  • Si V_1 < V_2, le transformateur est dit élévateur de tension ;
  • Si V_1 > V_2, le transformateur est dit abaisseur de tension ;
  • Si V_1 = V_2, le transformateur est un transformateur d'isolement ;


Remarque : Il existe une isolation galvanique entre le primaire et le secondaire : un défaut électrique au niveau du secondaire n'est pas détectable par un dispositif différentiel présent au primaire. Pour protéger l'utilisateur d'un transformateur, il faut placer une protection différentielle au secondaire.


Principe de fonctionnement[modifier | modifier le wikicode]

L'enroulement primaire est soumis à une tension sinusoïdale. Il est donc traversé par un courant sinusoïdal et donne naissance à travers le circuit magnétique à un flux sinusoïdal. Ce flux engendre alors une force électromotrice induite \underline {E_1} dans l'enroulement primaire et \underline{E_2} dans l'enroulement secondaire. Au niveaux des bornes du secondaire, apparaît alors une tension sinusoïdale dont la fréquence est la même que celle de la tension appliquée au primaire, mais dont l'amplitude est différente.


Fig. 3 : Principe de fonctionnement du transformateur. On utilise la convention récepteur pour le primaire (le sens positif de \underline {V_1} est pris en opposition avec celui de \underline {I_1}) et générateur pour le secondaire (le sens positif de \underline {V_2} est pris dans le même sens que celui de \underline {I_2})

Le comportement du transformateur peut alors être appréhendé par le schéma reporté sur la Fig. 3.

Convention de signe[modifier | modifier le wikicode]

Les conventions de signe que nous utiliserons dans le cas du transformateur monophasé sont celles reportées sur la Fig. 3 :

  • en ce qui concerne les forces électromotrices (f.é.m) \underline {E_1} et \underline {E_2}, nous prenons comme convention le fait que des f.é.m positives tendent à faire circuler des courants positifs ;
  • en ce qui concerne la tension d'entrée du primaire \underline {V_1} et le courant \underline {I_1}, puisque l'enroulement primaire absorbe l'énergie du générateur, il se comporte comme un récepteur : \underline {V_1} et \underline {I_1} sont donc liés par la convention des récepteurs et leurs sens positifs sont pris en opposition ;
  • en ce qui concerne la tension de sortie du secondaire \underline {V_2} et le courant \underline {I_2}, puisque l'enroulement secondaire se comporte comme un générateur et fournit de l'énergie au récepteur, ils sont reliés par la convention des générateurs et le sens positif de \underline {V_2} est pris dans le même sens que celui de \underline {I_2}.


Formule de Boucherot pour le transformateur[modifier | modifier le wikicode]

L'une des propriétés du transformateur est d'être une machine statique à flux forcé. En effet, au primaire, le générateur impose la tension \underline{V_1} ainsi que la fréquence f. Le nombre de spires N_1 est quant à lui fixé. Par conséquent, le flux \underline{\phi} voit sa valeur imposée en module et phase par le générateur. Les différentes grandeurs que nous venons de citer sont reliées par la formule de Boucherot :


	V_1 = 4,44\ N_1\ f \ {\phi_{max}} \qquad (7)

V_1 est la valeur efficace de la tension au primaire, N_1 le nombre de spires de l'enroulement primaire, f la fréquence du flux et \Phi_{max} la valeur maximale du flux magnétique.

Remarque : Le transformateur est une machine à flux forcé : alimenté par une tension efficace constante, il fournit au secondaire une tension sinusoïdale de valeur efficace constante.

Symboles électriques du transformateur[modifier | modifier le wikicode]

Dans un schéma électrique, le transformateur peut être représenté par l'un des deux symboles reportés dans les volets (a) et (b) de la Fig. 4.

Fig. 4 : Symboles électriques du transformateur monophasé.


Dans ce wikilivre, nous utiliserons le symbole reporté dans le volet (a) de la Fig. 4.

Le transformateur parfait (ou idéal)[modifier | modifier le wikicode]

Définition du transformateur parfait (ou idéal)[modifier | modifier le wikicode]

On appelle transformateur parfait, ou idéal, un transformateur vérifiant les conditions suivantes :

  • Les pertes dans le fer, c'est-à-dire les pertes par hystérésis et les courants de Foucault sont nulles. Le noyau est infiniment perméable au champ magnétique et sa réluctance \mathcal{R}, grandeur décrivant la résistance d'un circuit magnétique à sa pénétration par un champ magnétique, est nulle.
  • La résistance des enroulements primaires et secondaires est nulle.
  • Il n'y a pas de pertes de flux magnétique : tout le flux présent dans le noyau sert à magnétiser l'enroulement secondaire.

Du point de vue des grandeurs électriques, cela veut dire que :

  • Si le secondaire est à vide, et donc si \underline {I_2}= 0, alors le courant qui traverse le primaire est nul, c'est-à-dire que \underline {I_1} = 0 ;
  • Le secondaire se comporte comme un générateur parfait, de résistance interne nulle, de sorte que la valeur efficace de la tension au secondaire V_2 est constante quand le courant au secondaire I_2 varie, en valeur efficace, de 0 à sa valeur nominale I_{2n} ;
  • Le rendement du transformateur est de \eta = 1 = 100 %.

Expression des f.é.m dans le transformateur parfait[modifier | modifier le wikicode]

D'après la loi de Faraday, les forces électromotrices \underline {E_1} et \underline {E_2} dépendent de la variation du flux magnétique \underline{\phi} selon la relation :


	\underline {E_1} = - N_1 \frac{d\underline {\phi}}{dt} \qquad (8)

et


	\underline {E_2} = - N_2 \frac{d\underline {\phi}}{dt} \qquad (9)

N_1 et N_2 sont respectivement le nombre de spires des enroulements primaire et secondaire.

Equation de la tension dans le cas idéal[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas idéal, la tension au primaire vérifie la relation :


	\underline {V_1} = -\underline{E_1} = N_1 \frac{d\underline {\phi}}{dt} \qquad (10)

et celle au secondaire vérifie :


	\underline {V_2} = \underline{E_2} = -N_2 \frac{d\underline {\phi}}{dt} \qquad (11)

De fait, à condition que d\underline {\phi}/dt \neq 0, on peut ramener ces deux expressions à :


	\frac{\underline {V_2}}{\underline {V_1}} = -\frac{N_2}{N_1} = -m \qquad (12)

m est appelé le rapport de transformation. Si l'on remplace les valeurs temporelles de la tension par des valeurs efficaces, la précédente équation se ramène, dans le cas idéal, à :


	\frac{V_2}{V_1} = m \qquad (13)

Remarque : le fait que l'on doive avoir d\underline {\phi}/dt \neq 0 implique que le transformateur ne peut fonctionner qu'en régime alternatif.

Equation d'intensité[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas général, le courant au primaire et celui au secondaire sont reliés à tout instant par la relation d'Hopkinson :


	N_1 \underline {I_1} - N_2 \underline {I_2} = \mathcal{R} \underline {\phi_m} \qquad (14)

\underline{\phi_m} est le flux mutuel (dans le cas idéal \underline{\phi_m} = \underline{\phi}) et où \mathcal{R} est la réluctance du circuit magnétique. Cette grandeur décrit l'opposition du noyau au passage du champ magnétique : elle est par conséquent liée à la notion de pertes dans le fer. Or, nous sommes dans le cas d'un transformateur idéal et, de fait, la réluctance du circuit noyau est nulle et la précédente équation s'écrit sous la forme :


	N_1 \underline {I_1} - N_2 \underline {I_2} = 0 \qquad (15)

Ceci implique que :


	\frac{\underline {I_2}}{\underline {I_1}} =\frac{N_1}{N_2} =\frac{1}{m} \qquad (16)

Si, à présent, on remplace les grandeurs temporelles par des grandeurs efficaces, on aboutit à la relation, valable dans le cas idéal :


	\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{m} \qquad (17)

Remarque : Le rapport de transformation des intensités est l'inverse de celui des tensions.

Propriétés du transformateur parfait[modifier | modifier le wikicode]

Déphasages : diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Nous reportons sur la Fig. 5 le diagramme vectoriel associé aux équations (12) et (16) en prenant comme grandeur de référence le flux magnétique. Ce diagramme de Fresnel représente donc les différentes grandeurs électriques dans le cas du transformateur idéal à travers leurs valeurs efficaces et leurs déphasages.

D'après les équations sus-citées, les grandeurs \underline{V_1} et \underline{V_2} sont alignées, et il en va de même pour les grandeurs \underline{I_1} et \underline{I_2}.

Fig. 5 : Diagramme de Fresnel dans le cas d'un transformateur idéal.

Par conséquent, les déphasages \varphi_1 et \varphi_2 sont nécessairement les mêmes.

Lois de conservation[modifier | modifier le wikicode]

A partir des équations (13) et (17), nous pouvons écrire que :


	V_2 \times I_2 = m V_1 \times  \frac{1}{m} I_1 = V_1 \times I_1 \qquad (18)

et, de fait, si l'on appelle S_1 la puissance apparente absorbée au primaire et S_2 celle fournie au secondaire, alors :


	S_1 = S_2 \qquad (19)

De plus, nous avons vu que le transformateur conserve le déphasage \varphi. Or, la puissance active P s'exprime comme


	P = S \cos\varphi \qquad (20)

tandis que la puissance réactive Q vérifie :


	Q = S \sin\varphi \qquad (21)

On remarque au passage que P, Q et S sont reliées par la relation :


	S = \sqrt{P^2 + Q^2 } \qquad (22)

Comme S et \varphi sont conservés, alors il en va de même pour P et Q. Par conséquent, dans le cas du transformateur idéal :


	P_1 = P_2 \qquad (23)

et


	Q_1 = Q_2 \qquad (24)

Le transformateur idéal conserve les puissances actives, réactives et apparentes. Il conserve aussi le déphasage.