Électricité/Le régime sinusoïdal

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Illustration d'une grandeur sinusoïdale.

Le courant sinusoïdal est de loin celui qui est le plus utilisé à l'heure actuel. C’est notamment celui qui est utilisé pour alimenter nos appareils électriques : toutes les prises de courant d'une maison fournissent un courant alternatif sinusoïdal dont l'amplitude est de 230 Volts (enfin presque, nous verrons cela plus tard). Celui-ci est un courant dont la tension ou le courant suit l'équation suivante, avec :

  • est l'amplitude maximale du courant ou de la tension (selon qu'il s'agit d'un tension sinusoïdale ou d'un courant).
  • est la fréquence du signal, à savoir l'inverse de sa période .
  • est la pulsation, à savoir le produit .
  • est la phase, à savoir un décalage vers la gauche ou la droite de la courbe sinusoïdale.
Signal sinusoïdal, avec l'amplitude A et la période T.
Signal sinusoïdal d'amplitude A, de période T et de phase .

Les amplitudes maximales, moyennes et efficaces[modifier | modifier le wikicode]

Comme tout signal périodique, un signal sinusoïdal a une amplitude maximale, une amplitude crête-crête, une amplitude moyenne, une valeur efficace, etc. Le courant qui circule dans les prises électriques en France possède les propriétés suivantes :

  • fréquence de 50 Hz ;
  • tension efficace de 230 Volts ;
  • tension maximale de 320 Volts ;
  • tension crête-crête de 640 Volts.
Amplitudes d'un signal sinusoïdal.
Amplitudes de la tension du secteur.

Pour un signal sinusoïdal "pur", la valeur moyenne est nulle : le courant passe autant de temps dans le positif que dans le négatif, avec une symétrie parfaite des courbes négatives et positives. Sa valeur efficace est égale à :


Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous devons partir de la définition de la tension efficace :

On effectue alors un changement de variable en remplaçant le temps par un angle dans le calcul du sinus.

Sachant que , on obtient :

Le calcul pour l'intensité donne exactement le même résultat. Vous pouvez vous en rendre compte dans la démonstration précédente, en remplaçant U par I.

Les phaseurs et vecteurs de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Représentation complexe d'une sinusoïde.
Représentation complexe d'une tension et d'un courant sinusoïdaux.

Dans ce wikilivre, les grandeurs temporelles sinusoïdales sont exprimées en valeurs complexes. Rappelons que nous travaillons avec des courants sinusoïdaux de la forme d'amplitude et de valeur efficace s'exprime en notation réelle selon l'expression :

Un tel courant peut aussi s'exprimer sous la forme d'un nombre complexe dont le module est et l'argument est .

Précisément, on l'exprime dans le cas complexe selon :

Le terme est appelée l'amplitude complexe du courant. Toutes les grandeurs d'un problème donné ayant la même composante temporelle (le temps s'écoule de la même façon pour toutes les grandeurs), on se contentera d'utiliser dans les calculs et les représentations les amplitudes complexes. Dans notre exemple, l'amplitude complexe contient l'amplitude (c'est-à-dire la valeur efficace ) et le déphasage du courant, et s'exprime selon la relation :

La représentation de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

L'utilisation d'un diagramme de Fresnel permet de s'affranchir de l'utilisation des nombres complexes et des calculs délicats qui leur sont associés. En effet, les amplitudes complexes des grandeurs y sont représentées par des vecteurs du plan complexe. Dans ce wikilivre, les vecteurs sont reportés dans la représentation de Fresnel de la façon suivante :

  • le module du vecteur correspond à la valeur efficace de la grandeur ;
  • l'angle correspond à la phase de la grandeur.

A titre d'exemple, nous avons reporté sur la Fig. 1 les représentations de Fresnel des grandeurs suivantes :

et

Fig. 1 : Représentation de Fresnel dans le plan complexe (a) et en utilisant une grandeur de référence (b). Ces deux représentations sont équivalentes.

Les grandeurs peuvent être reportées de deux façons équivalentes, selon les données et les inconnues du problème :

  • Lorsque l'on s'intéresse aux phases des grandeurs, on peut choisir de reporter les grandeurs de manière absolue dans le plan complexe, comme indiqué sur la Fig. 1(a). Dans ce cas, l'axe des abscisses correspond à la partie réelle et l'axe des ordonnées à la partie imaginaire de l'amplitude complexe reportée (à près puisque nous avons choisi de faire correspondre les modules aux valeurs efficaces).
  • Lorsque l'on s'intéresse aux déphasages entre les grandeurs (ce sera souvent le cas dans ce cours), on peut choisir de reporter les grandeurs de manière relative, comme indiqué sur la Fig. 1(b). L'une des grandeurs est choisie en référence : ce choix peut être totalement arbitraire mais est en général dicté par le problème. Dans notre exemple, le courant a été choisi en référence. Remarquons que dans ce cas les axes des abscisses et des ordonnées ne correspondent plus à rien.

Dans ce wikilivre, nous choisissons comme positif le sens de rotation trigonométrique (anti-horaire ou sens inverse des aiguilles d'une montre). Dans notre exemple de la Fig. 1, nous pouvons remarquer que la tension est en avance sur le courant.

La puissance d'un courant sinusoïdal[modifier | modifier le wikicode]

On peut appliquer les formules de la puissance moyenne, apparente et instantanée en utilisant une tension et un courant alternatif. Pour rappel, ces équations sont les suivantes :

Mais pour faire ces calculs, nous avons besoin de préciser si la tension et le courant varient en même temps, ou si un décalage est présent entre les deux sinusoïdes. Le cas sans décalage correspond à la puissance dissipée par une résistance, comme nous le verrons plus tard dans ce cours. Si les sinusoïdes sont décalées, les calculs deviennent plus compliqués. Nous allons donc voir d'abord le cas où tension et intensité varient en même temps, avant de voir le cas général. Dans les deux cas, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps).

Cas où tension et intensité sont en phase, sans décalage.
Cas où tension et intensité sont décalée l'une l'autre, ne sont pas en phase. On voit que l'intensité est ici en retard sur la tension.
Cas où tension et intensité sont décalée l'une l'autre, ne sont pas en phase. On voit que l'intensité est ici en avance sur la tension.

Cas où tension et intensité sont en phase[modifier | modifier le wikicode]

Si tension et intensité sont en phase (sans décalage), alors on peut négliger le terme de phase dans les équations. Cette simplification ne change en rien la physique. Cela donne :

Les puissances qui correspondent sont :

Cas où tension et intensité ne sont pas en phase[modifier | modifier le wikicode]

Effet du facteur de puissance sur la puissance.

Si tension et intensité ne sont pas en phase (sans décalage), on doit prendre en compte le terme de phase dans les équations. Pour simplifier les calculs, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps). Cela donne :

Le calcul de la puissance instantanée donne :

Si on calcule la puissance moyenne, on trouve :

Dans le calcul de la puissance moyenne, le terme est appelé le facteur de puissance. Vu sa définition, on voit qu'il peut varier entre -1 et 1. Selon sa valeur, la puissance moyenne sera plus ou moins importante. On voit que plus le facteur de puissance est grand (s'approche de 1), plus la puissance moyenne sera proche de sa valeur maximale. Le circuit ne gaspillera donc pas d'énergie et fonctionnera à son régime de croisière. La puissance maximale est atteinte quand le facteur de puissance vaut 1 : on est alors dans le cas où tension et intensité sont en phase. La valeur de la puissance moyenne est alors maximale, sa valeur n'est autre que la puissance apparente. Il faut noter que les deux puissances n'ont pas la même unité : la puissance myenne se mesure évidemment en watts, alors que la puissance apparente est mesurée en voltampères (VA).

Il est aussi possible de définir une puissance réactive, qui quantifie la différence entre puissance apparente et moyenne. Elle se mesure en en voltampères réactifs (VAr, var, ou VAR). Plus la puissance réactive est importante, plus le circuit réduira sa puissance moyenne par rapport à sa puissance moyenne maximale (apparente). Elle est égale à :

L'intérêt de la puissance réactive est de relier la puissance moyenne avec la puissance apparente, suivant cette équation :

Relation entre puissance apparente, moyenne (réelle, active) et réactive.


Démonstration

Pour nous en rendre compte, partons de l'identité trigonométrique suivante :

Multiplions par  :

Développons :

On peut identifier le premier terme avec la puissance apparente, le second avec la puissance moyenne, et le troisième avec la puissance réactive, ce qui donne la formule à démontrer.