Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Laplacien

Le laplacien est la divergence du gradient, la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.

Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque $a$. La laplacien $\nabla ^{2}a=a_{;i}^{;i}=g^{ij}a_{;i;j}$ a le même nombre d'indices que $a$.

• Pour un champ scalaire

$\nabla ^{2}a={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\partial _{i}\left({\sqrt {\det g}}\;g^{ij}\partial _{j}a\right)$

• Pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Ces formules permettent, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le laplacien dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le laplacien en coordonnées cylindriques et le laplacien en coordonnées sphériques.