Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Fonction du tenseur métrique/Démonstration

Partant de l'expression de la dérivée partielle du tenseur métrique, on calcule, en profitant de la symétrie du symbole de Christoffel

$g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}=g_{jm}\Gamma _{li}^{m}+g_{lm}\Gamma _{ji}^{m}+g_{im}\Gamma _{lj}^{m}+g_{lm}\Gamma _{ij}^{m}-g_{jm}\Gamma _{il}^{m}-g_{im}\Gamma _{jl}^{m}=2g_{lm}\Gamma _{ij}^{m}$

Le tenseur métrique étant son propre inverse ($g^{kl}g_{lm}=\delta _{m}^{k}$), on obtient le résultat cherché $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l}\right)$ en multipliant par ${\frac {1}{2}}g^{kl}$.