Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :

$R_{ik}=R_{i}{}^{m}{}_{km}=g^{jl}R_{ijkl}$

Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.

Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :

$R=g^{ij}R_{ij}$

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R$ est nulle :

$\left[R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R\right]_{;j}=0$

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.