Calcul tensoriel/Espace-temps courbe

Métrique quadridimensionnelle en espace-temps courbe

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Métrique

Équations d'Einstein

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion $T^{ij}$ et l'expression de divergence nulle construite à partir du tenseur de Ricci :

$\left(R^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}R\right)={\frac {8\pi k}{c^{4}}}T^{ij}$

Il existe une relation symétrique :

$\left(T^{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}T\right)={\frac {c^{4}}{8\pi k}}R^{ij}$

Démonstration.

Équations de Maxwell en espace-temps courbe

[Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel $A_{i}$ :

$F_{ij}=A_{i;j}-A_{j;i}$.

Parce que la double dérivation covariante d’un champ scalaire ne dépend pas de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme $f_{;i}$, 4-divergence d’un scalaire quelconque. Ce terme est appelé jauge.

• La jauge de Lorentz stipule $A^{i}{}_{i}=0$
• En limitant la divergence au domaine spatial (cas des champs statiques), on a la jauge de Coulomb $A^{\alpha }{}_{\alpha }=0$

La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il suffit de trouver la fonction f dont le 4-laplacien soit égal à la 4-divergence de A. Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble. Dans un espace temps courbe, ...

Équation premier groupe

Si l’espace-temps est plan, l’expression $F_{ij}=A_{i;j}-A_{j;i}$ entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell $*^{ijkl}F_{jk;l}=0^{i}$ Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit

$*^{ijkl}R_{mjkl}A^{m}=0^{i}$

Équation second groupe

L'équation second groupe de Maxwell s'écrit

$A^{i;k}{}_{;k}-A^{k;i}{}_{;k}=\mu _{0}j^{i}$

Partant de

$A^{k}{}_{;i;k}-A^{k}{}_{;k;i}=R^{kl}{}_{ik}A_{l}=-R^{l}{}_{i}A_{l}$

on obtient

$A^{i;k}{}_{;k}-A^{k}{}_{;k}{}^{;i}+R^{i}{}_{l}A^{l}=\mu _{0}j^{i}$

Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 4-laplacien et du tenseur de Ricci :

$A^{i;k}{}_{;k}+R^{i}{}_{l}A^{l}=\mu _{0}j^{i}$

Gravité (symétrie sphérique)

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

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