Précis d'épistémologie/Principes logiques

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Un raisonnement est logique lorsque toutes ses affirmations, sauf les hypothèses, sont des conséquences logiques évidentes des hypothèses qui les précèdent. De cette façon un raisonnement logique prouve que sa conclusion est une conséquence logique de ses prémisses. Les principes logiques sont des règles fondamentales qui déterminent toutes les relations de conséquence logique évidentes, et à partir de là toutes les relations de conséquence logique.

Conséquence nécessaire et possibilité logique[modifier | modifier le wikicode]

La relation de conséquence logique peut être définie à partir de la possibilité logique :

C est une conséquence logique de prémisses P lorsqu'il n'y a aucun monde logiquement possible tel que C soit fausse et les P soient vraies.

Une conséquence logique ne peut pas être fausse si les prémisses sont vraies. La relation de conséquence logique conduit nécessairement du vrai au vrai.

Pour définir un monde logiquement possible on se donne des propriétés et des relations fondamentales et un ensemble d’individus auxquels on peut attribuer ces propriétés et ces relations. Un énoncé est atomique lorsqu’il affirme une propriété fondamentale d’un individu ou une relation fondamentale entre plusieurs individus. Un énoncé atomique ne peut pas être décomposé en énoncés plus petits. N'importe quel ensemble d'énoncés atomiques détermine un monde logiquement possible tel qu'ils sont tous vrais et les seuls énoncés atomiques vrais (Keisler 1977). Un ensemble d'énoncés atomiques n'est jamais contradictoire parce que les énoncés atomiques ne contiennent pas de négation.

La vérité des énoncés composés[modifier | modifier le wikicode]

Les énoncés à propos d'un monde logiquement possible sont composés à partir d'énoncés atomiques avec des connecteurs logiques. Les principaux connecteurs logiques sont la négation non, la disjonction ou, la conjonction et, le conditionnel si alors, le quantificateur universel pour tout x, ou tout x est tel que, et le quantificateur existentiel il existe un x tel que.

Quand un énoncé est composé à partir d'énoncés atomiques avec des connecteurs logiques, sa vérité ne dépend que du monde logiquement possible considéré, parce que la vérité d'un énoncé composé ne dépend alors que de la vérité des énoncés à partir desquels il est composé.

La vérité des énoncés composés avec la négation, la disjonction, la conjonction et le conditionnel est déterminée avec des tables de vérité :

Négation
p non p
Vrai Faux
Faux Vrai


Disjonction
p q p ou q
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Vrai
Faux Vrai Vrai
Faux Faux Faux
Conjonction
p q p et q
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Faux
Faux Faux Faux
Conditionnel
p q Si p alors q
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Vrai
Faux Faux Vrai

La vérité des énoncés composés avec les quantificateurs universel et existentiel est déterminée par les deux règles suivantes :

Pour tout x, p(x) est vrai lorsque tous les énoncés p(i) obtenus à partir de p(x) en substituant un nom d'individu i à toutes les occurrences de x dans p(x) sont vrais, et faux sinon.

Il existe un x tel que p(x) est vrai lorsqu'au moins un énoncé p(i) obtenu à partir de p(x) en substituant un nom d'individu i à toutes les occurrences de x dans p(x) est vrai, et faux sinon.

L'interdéfinissabilité des connecteurs logiques[modifier | modifier le wikicode]

Les connecteurs logiques peuvent être définis les uns à partir des autres. Par exemple le quantificateur existentiel peut être défini à partir du quantificateur universel et de la négation :

Il existe un x tel que p veut dire qu'il est faux que tout x est tel que non p, autrement formulé, non(pour tout x non p).

On peut aussi adopter la définition inverse :

Pour tout x, p veut dire qu'il est faux qu'il existe un x tel que non p, c'est à dire, non(il existe un x tel que non p).

De même on peut définir la disjonction à partir de la conjonction, ou l'inverse :

p ou q veut dire non(non p et non q)

p et q veut dire non(non p ou non q)

Le conditionnel peut être défini à partir de la conjonction ou de la disjonction :

Si p alors q veut dire non(p et non q)

Si p alors q veut dire aussi q ou non p

Le biconditionnel si et seulement si peut être défini à partir du conditionnel et de la conjonction :

p si et seulement si q veut dire (si p alors q) et (si q alors p)

Il peut aussi être défini à partir des autres connecteurs :

p si et seulement si q veut dire (p et q) ou (non p et non q)

ou encore :

p si et seulement si q veut dire non( (p et non q) ou (non p et q) )

On pourrait aussi introduire le connecteur logique ni ni et définir tous les autres connecteurs à partir de lui :

non p veut dire ni p ni p

p et q veut dire ni non p ni non q

p ou q veut dire non(ni p ni q)

Si p alors q veut dire non(ni non p ni q)

p si et seulement si q veut dire ni (p et non q) ni (non p et q)

Les règles fondamentales de déduction[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les relations de conséquence logique peuvent être produites avec un petit nombre de règles fondamentales de déduction à partir de conséquences logiques triviales, évidemment tautologiques, qui sont données par la règle de répétition :

Toute prémisse incluse dans une liste finie P de prémisses est une conséquence logique des prémisses P.

Pour chaque connecteur logique on a deux règles fondamentales de déduction, une règle d'élimination et une règle d'introduction (Gentzen 1934, Fitch 1952). La logique ressemble à un jeu de construction. On compose et on décompose les énoncés en introduisant et en éliminant des connecteurs logiques.

Les règles fondamentales de déduction sont intuitivement évidentes, dès qu'on a compris les concepts de conséquence et de possibilité logiques et la détermination de la vérité des énoncés composés à partir des connecteurs logiques. On peut prouver rigoureusement la vérité de ces intuitions.

La règle de répétition et les règles fondamentales de déduction peuvent être considérées comme les principes des principes logiques, parce qu'elles suffisent pour justifier tous les autres principes logiques.

Comme trois (ou même deux) connecteurs logiques suffisent pour définir tous les autres, six (ou même quatre) règles fondamentales de déduction suffisent pour produire toutes les relations de conséquence logique, avec la règle de répétition et la règle de transitivité. On peut choisir par exemple la négation, la conjonction et le quantificateur universel comme connecteurs logiques fondamentaux. Toutes les règles de déduction pour les autres connecteurs logiques peuvent alors être dérivées à partir des six règles des trois connecteurs fondamentaux et du principe de transitivité des conséquences logiques :

Si C est une conséquence logique des prémisses Q et si toutes les prémisses Q sont des conséquences logiques des prémisses P alors C est une conséquence logique des prémisses P.

La règle de particularisation[modifier | modifier le wikicode]

Si i est un individu alors E(i) est une conséquence logique de pour tout x, E(x).

E(i) est l'énoncé obtenu à partir de E(x) en substituant i à toutes les occurrences de x dans E(x).

Cette règle est la plus importante de toute la logique, parce que la puissance des raisonnements vient des lois avec lesquelles on raisonne. A chaque fois qu'on applique une loi à un individu, on apprend ce qu'elle nous enseigne et on révèle la puissance de raisonner qu'elle nous donne.

La règle de généralisation[modifier | modifier le wikicode]

Si E(i) est une conséquence logique des prémisses P et si i est un individu qui n'est pas mentionné dans ces prémisses alors pour tout x, E(x) est une conséquence logique des mêmes prémisses.

Un exemple d'usage de cette règle est le Je philosophique, ou cartésien. On dit Je sans faire aucune hypothèse particulière sur l'individu ainsi nommé. Dès lors tout ce qu'on dit sur lui peut être appliqué à tous les individus. Si par exemple on a prouvé Je ne peux pas penser sans connaître que je suis on peut déduire Tout individu ne peut pas penser sans connaître qu'il est.

La règle de détachement[modifier | modifier le wikicode]

B est une conséquence logique de A et Si A alors B.

La règle d'incorporation d'une hypothèse[modifier | modifier le wikicode]

Si B est une conséquence logique des prémisses P et A, alors Si A alors B est une conséquence logique des prémisses P.

Le principe du raisonnement par l'absurde[modifier | modifier le wikicode]

Si B et non B sont des conséquences logiques des prémisses P et A, alors non A est une conséquence logique des prémisses P.

La règle de suppression de la double négation[modifier | modifier le wikicode]

A est une conséquence logique de non non A.

La règle d'analyse[modifier | modifier le wikicode]

A et B sont toutes les deux des conséquences logiques de l'unique prémisse A et B.

La règle de synthèse[modifier | modifier le wikicode]

A et B est une conséquence logique des deux prémisses A et B.

La règle d'affaiblissement d'une thèse[modifier | modifier le wikicode]

A ou B et B ou A sont toutes les deux des conséquences logiques de A.

La règle d'élimination d'une disjonction[modifier | modifier le wikicode]

Si A ou B est une conséquence logique des prémisses P, si C est à la fois une conséquence logique des prémisses P et A, et une conséquence logique des prémisses P et B, alors C est une conséquence logique des prémisses P.

La règle de la preuve directe d'existence[modifier | modifier le wikicode]

Si i est un individu, alors Il existe un x tel que E(x) est une conséquence logique de E(i).

Dans la règle de la preuve directe d'existence, E(x) est l'énoncé obtenu en substituant x à certaines, pas forcément toutes les occurrences de i dans E(i).

La règle d'élimination du quantificateur existentiel[modifier | modifier le wikicode]

Si Il existe un x tel que E(x) est une conséquence logique des prémisses P, si C est est une conséquence logique des prémisses P et E(i), si l'individu i n'est mentionné ni dans les P, ni dans C, alors C est une conséquence logique des prémisses P.

Les raisonnements sans hypothèse et les lois logiques[modifier | modifier le wikicode]

Les règles fondamentales de déduction peuvent être appliquées même si P est une liste vide de prémisses, c'est à dire qu'on n'a posé aucune hypothèse au départ. La règle d'incorporation d'une hypothèse et la règle du raisonnement par l'absurde permettent de passer d'un raisonnement sous hypothèse à un raisonnement sans hypothèse.

Les conclusions des raisonnements sans hypothèse sont des vérités logiques universelles, toujours vraies quelle que soit l'interprétation des concepts qu'elles mentionnent, sauf l'interprétation des connecteurs logiques. On les appelle des lois logiques, ou des tautologies.

Quelques exemples de lois logiques :

La tautologie pure : Si p alors p

Comme p est une conséquence logique de p d'après la règle de répétition, si p alors p est une loi logique d'après la règle d'incorporation d'une hypothèse.

Le principe de non-contradiction : non (p et non p)

p et non p sont toutes les deux des conséquences logiques de p et non p d'après la règle d'analyse, non (p et non p) est donc une loi logique d'après le principe du raisonnement par l'absurde.

La loi du tiers-exclu : p ou non p

p est nécessairement vrai ou faux. Il n'y a pas de troisième possibilité.

Supposons que la loi du tiers exclu puisse être fausse :

(1) Hypothèse : non (p ou non p)

  • (2) Hypothèse : p
  • (3) Conséquence : p ou non p d'après (2) et la règle d'affaiblissement d'une thèse.
  • (4) Conséquence : non (p ou non p) d'après (1) et la règle de répétition.

(5) Conséquence : non p d'après (3), (4) et le principe du raisonnement par l'absurde.

(6) Conséquence : p ou non p d'après (5) et la règle d'affaiblissement d'une thèse.

(7) Conséquence : non (p ou non p) d'après (1) et la règle de répétition.

(8) non non (p ou non p) d'après (6), (7) et le principe du raisonnement par l'absurde.

p ou non p d'après (8) et la règle de suppression de la double négation.

Toutes les règles de déduction, fondamentales ou dérivées, peuvent être traduites en lois logiques, parce que si C est une conséquence logique des prémisses P alors Si la conjonction des P alors C est une loi logique. Par exemple, Si A et si A alors B, alors B est une loi logique qui traduit la règle de détachement.

La dérivation des conséquences logiques[modifier | modifier le wikicode]

Les règles fondamentales de déduction suffisent pour dériver toutes les relations de conséquence logique et toutes les lois logiques. C'est le théorème de complétude de la logique du premier ordre, prouvé par Kurt Gödel, dans sa thèse de doctorat (Gödel 1929, qui raisonne sur un système formel différent mais équivalent). Les règles fondamentales de déduction sont donc une solution complète à l'ancien problème, posé mais non résolu par Aristote, de trouver une liste de tous les principes logiques.

Montrons par exemple que Si A alors C est une conséquence logique de Si A alors B et Si B alors C.

(1) Hypothèses : Si A alors B, Si B alors C

  • (2) Hypothèse : A
  • (3) Conséquence : B d'après (1), (2) et la règle de détachement.
  • (4) Conséquence : C d'après (1), (3) et la règle de détachement.

Conséquence : Si A alors C d'après (4) et la règle d'incorporation d'une hypothèse.

Autre exemple, la règle de contraposition : si non q alors non p est une conséquence logique de si p alors q.

(1) Hypothèse : si p alors q

  • (2) Hypothèse : non q
    • (3) Hypothèse : p
    • (4) Conséquence : q d'après (1), (3) et la règle de détachement.
    • (5) Conséquence : non q d'après (2) et la règle de répétition.
  • (6) Conséquence : non p d'après (4),(5) et le principe du raisonnement par l'absurde.

Conséquence : si non q alors non p d'après (6) et la règle d'incorporation d'une hypothèse.

Pourquoi les raisonnements nous permettent-ils d'acquérir du savoir ?[modifier | modifier le wikicode]

Lorsqu'un raisonnement est logique, la conclusion ne peut pas apporter plus d'informations que celles qui sont déjà données par les prémisses. Sinon le raisonnement n'est pas logique, parce que la conclusion pourrait être fausse quand les prémisses sont vraies. Les conclusions logiques ne sont jamais que des reformulations de ce qui est déjà dit dans les prémisses. De fait de nombreux raisonnements ne nous apprennent rien, parce que la conclusion ne fait que répéter les prémisses, sous une forme légèrement différente. On dit alors qu'ils sont tautologiques. Ce sont des variations sur le thème "c'est comme ça parce que c'est comme ça".

Au sens précis défini par les logiciens, les tautologies sont les lois logiques, les lois toujours vraies quelle que soit l'interprétation donnée aux termes employés (les connecteurs logiques exceptés). Lorsqu'un raisonnement est logique, l'énoncé 'si les prémisses alors la conclusion' est toujours une tautologie, au sens des logiciens.

Les conclusions ne font que répéter ce qui est déjà dit dans les prémisses. Les raisonnements doivent être tautologiques pour être logiques. Mais alors à quoi bon raisonner ? Il semble que les raisonnements n'ont rien à nous apprendre.

La puissance d'un raisonnement vient de la généralité de ses prémisses. Si on réduit la logique au calcul des propositions (il suffit de conserver tous les principes logiques sauf ceux qui portent sur les quantificateurs universel et existentiel), une logique dans laquelle les énoncés ne sont jamais généraux, parce qu'on n'a pas le quantificateur universel, alors oui, le caractère tautologique de nos raisonnements est généralement assez évident. Quand il ne l'est pas, c'est parce que nos intuitions logiques sont limitées. Le calcul des propositions nous sert surtout à reformuler nos affirmations. Cela peut être très utile, parce que la compréhension dépend de la formulation, mais cela n'explique pas pourquoi les raisonnements nous font connaître ce que nous ne savons pas déjà.

Un énoncé est une loi lorsqu'il peut être appliqué à de nombreux cas particuliers. Il peut toujours être mis sous la forme :

Pour tout x dans D, E(x)

Autrement dit :

Pour tout x, si x est dans D alors E(x)

D est le domaine d'application de la loi. E(x) est un énoncé sur x.

Tous les énoncés de la forme E(i), où i nomme un élément de D et E(i) est l'affirmation obtenue à partir de E(x) en substituant partout i à x, sont des conséquences logiques évidentes de la loi. E(i) est un cas particulier de la loi.

Quand nous apprenons une loi, nous connaissons au départ seulement un ou quelques cas particuliers. Nous ne pouvons pas songer à tous les cas particuliers, parce qu'ils sont trop nombreux. A chaque fois que nous appliquons une loi déjà connue à un cas particulier auquel nous n'avons pas songé auparavant, nous apprenons quelque chose.

Une loi est comme un condensé d'informations. En un seul énoncé elle détermine une foule d'informations sur tous les cas particuliers auxquels elle peut être appliquée. Lorsque nous raisonnons avec des lois ce que nous découvrons n'est pas déjà dit dans les prémisses, il est seulement impliqué de façon implicite. Les raisonnements nous font découvrir tout ce que les lois peuvent nous enseigner.

La justification de la logique[modifier | modifier le wikicode]

Nous reconnaissons un raisonnement logique en vérifiant qu'il respecte les principes logiques. Mais comment reconnaissons-nous les principes logiques ? Comment savons-nous qu'ils sont de bons principes ? Comment les justifions-nous ? Sommes-nous vraiment sûrs qu'ils conduisent toujours à des conclusions vraies à partir de prémisses vraies ?

Avec les principes de la définition de la vérité des énoncés composés, on peut prouver que nos principes logiques sont vrais, au sens où ils font toujours passer du vrai au vrai. Par exemple, il suffit de raisonner sur la table de vérité du conditionnel pour prouver la vérité de la règle de détachement.

Un sceptique pourrait objecter que ces justifications des principes logiques sont sans valeur parce qu'elles sont circulaires. Quand nous raisonnons sur les principes logiques pour les justifier, nous nous servons des mêmes principes que ceux que nous devons justifier. Si nos principes étaient faux, ils permettraient de prouver des faussetés et donc ils pourraient permettre de prouver leur propre vérité. Que les principes logiques permettent de prouver leur vérité ne prouve donc pas qu'ils sont vrais, puisque des principes faux pourraient faire la même chose.

Cette objection n'est pas concluante. Il suffit d'examiner les preuves suspectes de circularité pour se convaincre de leur validité, tout simplement parce qu'elles sont excellentes et irréfutables. Aucun doute n'est permis parce que tout y est clairement défini et prouvé. Un sceptique peut faire remarquer avec raison que de telles preuves ne peuvent convaincre que ceux qui sont déjà convertis. Mais dans ce cas il n'est pas difficile de faire partie des convertis, parce que les principes logiques ne font que formuler ce que nous savons déjà quand nous raisonnons correctement.

La circularité des principes logiques est particulièrement apparente pour la règle de particularisation :

Pour tout énoncé E(x) et tout individu i, E(i) est une conséquence logique de pour tout x, E(x). (1)

Par exemple, Si Socrate est un homme alors Socrate est mortel est une conséquence logique de Pour tout x, si x est un homme alors x est mortel. (2)

Pour passer de (1) à (2), on a appliqué la règle de particularisation deux fois à elle-même. L'énoncé E(x) est particularisé en Si x est un homme alors x est mortel, l'individu i est particularisé en Socrate.

Le paradoxe de Lewis Caroll[modifier | modifier le wikicode]

Grâce à la règle de détachement, on peut déduire B à partir de A et si A alors B. Une règle plus complète devrait donc être qu'on peut déduire B à partir de A, si A alors B et la règle de détachement. Mais cette règle n'est pas encore complète. Une règle plus complète, mais encore incomplète, est qu'on peut déduire B à partir de A, si A alors B, la règle de détachement et la règle qui nous dit qu'on peut déduire B à partir de A, si A alors B et la règle de détachement. Mais il faudrait encore une autre règle qui nous dit qu'on peut appliquer la règle précédente, et ainsi de suite à l'infini (Carroll 1895).

Si la règle de détachement était elle-même une hypothèse qu'on doit mentionner dans nos preuves, et à partir de laquelle on déduit nos conclusions, alors nos raisonnements ne pourraient jamais commencer, parce qu'il faudrait une seconde règle qui justifie les déductions à partir de la règle de détachement, puis une troisième qui justifie les déductions à partir de la seconde, et ainsi de suite à l'infini. Mais les lois logiques ne sont pas des hypothèses. On a toujours le droit de les adopter comme prémisses, sans autre justification sinon qu'elles sont des lois logiques, parce qu'elles ne peuvent pas être fausses, parce qu'elles ne peuvent pas nous conduire à l'erreur.

Le savoir mathématique[modifier | modifier le wikicode]

Tout le savoir mathématique peut être considéré comme un savoir sur les mondes logiquement possibles.

Une théorie est cohérente, ou non-contradictoire, ou consistante, lorsque les contradictions p et non p ne sont pas des conséquences logiques de ses axiomes. Sinon elle est incohérente, contradictoire, inconsistante, absurde.

Une théorie vraie d'un monde logiquement possible est nécessairement cohérente, puisque les contradictions sont fausses dans tous les mondes logiquement possibles.

Une théorie cohérente est vraie d'au moins un monde logiquement possible. C'est le théorème de complétude de Gödel. Si on trouvait une théorie nécessairement fausse, c'est à dire fausse dans tous les mondes logiquement possibles, sans qu'on puisse prouver que ses axiomes conduisent à une contradiction, cela montrerait que notre logique est incomplète, qu'elle ne suffirait pas pour prouver toutes les vérités logiques nécessaires.

Nous développons le savoir mathématique en réfléchissant à nos propres paroles. Les mondes logiquement possibles sont définis par la parole, avec des ensembles d'énoncés atomiques. Connaître ces mondes revient à connaître les paroles qui les définissent. Les mondes mathématiques ne sont rien de plus que ce que nous définissons. Rien n'est caché, parce qu'ils sont notre œuvre. Nous pouvons tout savoir sur eux parce que nous déterminons ce qu'ils sont.

La vérité mathématique est-elle inventée ou découverte ?

Les deux, parce qu'inventer, c'est toujours découvrir une possibilité.

Quand nous inventons, nous modifions l'actuel mais nous ne modifions pas l'espace de tous les possibles. Ce qui est possible est possible quoique nous fassions. Nous agissons souvent pour rendre accessible ce qui auparavant était moins accessible, mais il ne s'agit jamais de rendre possible l'impossible, nous modifions seulement les possibilités relatives à notre situation actuelle. Quand nous rendons impossible le possible, il s'agit là encore de possibilités relatives. L'espace des possibilités absolues, qu'elles soient logiques ou naturelles, ne dépend pas de nous.

Il suffit d'expliquer comment nous raisonnons sur nos propres paroles pour montrer comment nous acquérons un savoir mathématique sur les structures finies, parce qu'elles sont définies avec des ensembles finis d'énoncés atomiques.

Le savoir sur les structures mathématiques infinies est plus difficile à comprendre. Elles sont définies avec des ensembles infinis d'énoncés atomiques. Nous connaissons ces ensembles infinis à partir de leur définition finie. Deux procédés sont fondamentaux pour définir les ensembles infinis :

  • Les constructions par récurrence

On se donne des éléments initiaux et des règles qui permettent d'engendrer de nouveaux éléments à partir des éléments initiaux ou d'éléments déjà engendrés. Par exemple, on peut partir de l'unique élément initial 1 et se donner pour règle d'engendrer (x+y) à partir de x et y. L'ensemble infini est alors défini en disant que c'est l'unique ensemble qui contient tous les éléments initiaux et tous les éléments engendrés par un nombre fini d'applications des règles.

  • La définition de l'ensemble de tous les sous-ensembles

Dès qu'un ensemble x est défini, l'axiome de l'ensemble des parties nous autorise à définir l'unique ensemble qui contient tous les ensembles inclus dans x.

Pour expliquer le savoir mathématique il faut expliquer comment nous sommes capables de raisonner correctement sur les ensembles infinis que nous définissons.


Chapitre suivant : La logique de l'identité et des ressemblances >>>