Précis d'épistémologie/Principes logiques

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Les principes les plus fondamentaux de la logique sont exposés. Ensemble, ils suffisent pour trouver toutes les conséquences logiques. On peut les considérer comme les principes des principes logiques, parce qu'ils suffisent pour justifier tous les autres principes logiques.

Dans la suite P désigne une liste finie de prémisses.

La règle de particularisation[modifier | modifier le wikicode]

Si Pour tout x, C(x) est une conséquence logique des prémisses P et si a est un individu alors C(a) est une conséquence logique des mêmes prémisses.

Cette règle est la plus importante de toute la logique, parce que la puissance des raisonnements vient des lois avec lesquelles on raisonne. A chaque fois qu'on applique une loi à un individu, on apprend ce qu'elle nous enseigne et on révèle la puissance de raisonner qu'elle nous donne.

Dans la règle de particularisation, C(a) est la formule obtenue à partir de C(x) en substituant a à toutes les occurrences de x dans C(x).

La règle de généralisation[modifier | modifier le wikicode]

Si C(a) est une conséquence logique des prémisses P et si a est un individu qui n'est pas mentionné dans ces prémisses alors Pour tout x, C(x) est une conséquence logique des mêmes prémisses.

Un exemple d'usage de cette règle est le Je philosophique, ou cartésien. On dit Je sans faire aucune hypothèse particulière sur l'individu ainsi nommé. Dès lors tout ce qu'on dit sur lui peut être appliqué à tous les individus. Si par exemple on a prouvé Je ne peux pas penser sans être on peut déduire Tout individu ne peut pas penser sans être.

Dans la règle de généralisation, C(x) est la formule obtenue à partir de C(a) en substituant x à toutes les occurrences de a dans C(a). Ce point (toutes les occurrences) est subtil mais important. Les premières formulations modernes de la logique l'ont parfois négligé, ce qui a fait que leurs principes conduisaient à des absurdités.

La règle de détachement[modifier | modifier le wikicode]

Si A et Si A alors B sont des conséquences logiques des prémisses P, alors B aussi.

La règle d'incorporation d'une hypothèse[modifier | modifier le wikicode]

Si B est une conséquence logique des prémisses P et A, alors Si A alors B est une conséquence logique des prémisses P.

Le principe du raisonnement par l'absurde[modifier | modifier le wikicode]

Si B et non B sont des conséquences logiques des prémisses P et A, alors non A est une conséquence logique des prémisses P.

La règle de suppression de la double négation[modifier | modifier le wikicode]

Si non non A est une conséquence logique des prémisses P, alors A aussi.

La règle de répétition[modifier | modifier le wikicode]

Toute prémisse incluse dans P est une conséquence logique des prémisses P.

Les raisonnements sans hypothèse et les lois logiques[modifier | modifier le wikicode]

Les six premières règles logiques peuvent être appliquées même si P est une liste vide de prémisses, c'est à dire qu'on n'a posé aucune hypothèse au départ. La règle d'incorporation d'une hypothèse nous permet toujours de passer d'un raisonnement sous hypothèse à un raisonnement sans hypothèse.

Les conclusions des raisonnements sans hypothèse sont des vérités logiques universelles, toujours vraies quelle que soit l'interprétation des concepts qu'elles mentionnent, sauf l'interprétation des concepts logiques (implication, négation ...). On les appelle aussi des lois logiques, ou des tautologies.

Les règles dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Ces 6+1 première règles suffisent pour trouver toutes les conséquences logiques. C'est le théorème de complétude de la logique, prouvé par Kurt Gödel, dans sa thèse de doctorat (Gödel 1929). Toutes les autres règles logiques peuvent être dérivées à partir d'elles. Elles sont donc une solution complète à l'ancien problème, posé mais non résolu par Aristote, de trouver une liste de tous les principes logiques.

Montrons par exemple qu'on peut dériver la règle suivante :

Si Si A alors B et Si B alors C sont des conséquences logiques des prémisses P alors Si A alors C aussi.

Comme Si A alors B est une conséquence logique des P, A et Si A alors B sont des conséquences logiques des prémisses P et A. D'après la règle de détachement, B est donc une conséquence logique des prémisses P et A. Comme Si B alors C est aussi une conséquence logique des mêmes prémisses, une nouvelle application de la règle de détachement permet de conclure que C est une conséquence logique des prémisses P et A. D'après la règle d'incorporation d'une hypothèse, Si A alors C est une conséquence logique des prémisses P. Ce qu'il fallait démontrer.

Les autres connecteurs logiques (la conjonction et, la disjonction ou, l'équivalence si et seulement si et le quantificateur existentiel Il existe un x tel que) peuvent être définis à partir de ces trois premiers : le quantificateur universel Pour tout x , l'implication Si alors et la négation non.

A des fins pédagogiques, il vaut mieux compléter l'énoncé de ces 6+1 règles, par d'autres, deux par connecteur logique, parce qu'elles sont également fondamentales. Mais toutes ces nouvelles règles peuvent être dérivées à partir des six premières et des définitions des autres connecteurs logiques à partir des trois premiers.

La règle de la preuve directe d'existence

Si a est un individu et si C(a) est une conséquence logique des prémisses P, alors Il existe un x tel que C(x) est une conséquence logique des mêmes prémisses.

Dans la règle de la preuve directe d'existence, C(x) est une formule obtenue en substituant x à certaines, pas forcément toutes, occurrences de a dans C(a).

La règle de détachement pour un énoncé existentiel

Si Il existe un x tel que C(x) et Si C(a) alors D sont des conséquences logiques des prémisses P et si a n'est mentionné ni dans les P, ni dans D, alors D est une conséquence logique des P.

La règle d'analyse

Si A et B est une conséquence logique des prémisses P alors A et B sont toutes les deux des conséquences logiques des mêmes prémisses.

La règle de synthèse

Si A et B sont des conséquences logiques des prémisses P alors A et B est aussi une conséquence logique des mêmes prémisses.

La règle de détachement pour une disjonction

Si A ou B, Si A alors C et Si B alors C sont toutes les trois des conséquences logiques des prémisses P alors C aussi.

La règle d'affaiblissement d'une thèse

Si A est une conséquence logique des prémisses P, alors A ou B et B ou A sont toutes les deux des conséquences logiques des mêmes prémisses.


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