Calcul écrit/Calcul de la racine cubique d'un nombre

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L'extraction de la racine cubique d'un nombre entier ou décimal telle qu'elle peut être pratiquée à la main ou à l'aide d'un ordinateur est une curiosité rarement exposée mais qui peut intéresser les amateurs.

Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue.

La justification viendra ensuite.

Soit donc à extraire la racine cubique approchée à une unité près par défaut de l'entier 163.936.758.817 (nombre que l'on sait a priori être le cube de 5.473).

On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.

Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:

A) On commence par séparer le nombre 163.936.758.817 en tranches de trois chiffres comme c'est indiqué, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2 ou 3 chiffres (ici 3).

B) On cherche la racine cubique approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 163). Cette racine cubique est 5 (premier résultat partiel de la racine cherchée) (car 125 163 < 216). On place ce premier résultat partiel de la racine cherchée à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche son cube (5 fois 5 fois 5 donc 125) à la première tranche à gauche (163 donc). Le résultat 38 (premier reste partiel) s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.

C) On "abaisse" la tranche "suivante" (936 donc) à droite de ce premier reste partiel (38) de façon à former le nombre 38.936

D) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (38.936 donc) par le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 7.500 (3 fois le carré de 50). Ce quotient est 5 (car 38.936/7.500=5,19...) et il est trop fort a priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver est un 4, le résultat annoncé précédemment étant 5.473. (Les calculs nécessaires pour prouver cette assertion, calculs identiques à ceux exposés avec 4, fourniraient le résultat 41.375 au lieu de 32.464 (voir ci-dessous le E)) et ce résultat 41.375 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).

E) Ceci fait,

on ajoute :

        le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (3 fois le carré de 50, soit 7.500 déjà calculé)

        le triple du produit du décuple du résultat partiel par le chiffre 4 à essayer et obtenu en D) (3 fois le produit de 50 par 4, soit 600)

        le carré du chiffre 4 à essayer (le carré de 4, soit 16)

puis on multiplie la somme (8.116) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 32.464 que l'on retranche à gauche au nombre 38.936, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 6.472 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 5 (premier résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le deuxième résultat partiel de la racine cherchée, soit 54

C bis) On "abaisse" la tranche "suivante" (758 donc) à droite de ce deuxième reste partiel (6.472) de façon à former le nombre 6.472.758 et on recommence comme en D).

D bis) Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (6.472.758 donc) par le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 874.800 (3 fois le carré de 540). Ce quotient est 7 (car 6.472.758/874.800=7,39 ...) et il convient comme le montrent les calculs suivants :

E bis) Ceci fait,

on ajoute :

        le triple du carré du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (3 fois le carré de 540, soit 874.800 déjà calculé)

        le triple du produit du décuple du résultat partiel par le chiffre 7 à essayer et obtenu en D) (3 fois le produit de 540 par 7, soit 11.340)

        le carré du chiffre 7 à essayer (le carré de 7, soit 49)

puis on multiplie la somme (886.189) par le chiffre 7 à essayer, ce qui donne 6.203.323 que l'on retranche à gauche au nombre 6.472.758, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 269.435 (troisième reste partiel). On place alors le chiffre 7 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 54 (deuxième résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le troisième résultat partiel de la racine cherchée, soit 547.


C ter) On "abaisse" la tranche "suivante" (817 donc) à droite de ce troisième reste partiel (269.435) de façon à former le nombre 269.435.817 et on recommence comme en D).

D ter) etc ... etc ... (la suite étant laissée aux éventuels lecteurs)

 
163 936 758 8175473(Résultat)
-125
3×50²=7500
38 9363×50×4=600
-32 4644²=16
Total=8116×4=32 464
6 472 758
-6 203 3233×540²=874800
3×540×7=11340
269 435 8177²=49
-269 435 817Total=886189×7=6 203 323
Reste03×5470²=89762700
3×5470×3=49230
3²=9
Total=89811939×3=269 435 817
 

Justification

Soit A un entier, A1 le nombre de milliers de A et x la racine cubique approchée à une unité près par défaut de A1. Alors x est le nombre de dizaines de la racine cubique approchée à une unité près par défaut de l'entier A.


On a

A = 1000 A1 + A2 avec      0 A2 < 1000

et

x3 A1 < (x+1)3

donc

(10x)3 1000 A1 < [10(x+1)]3

Or A1 et (x+1)3 étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :

(x+1)3 - A1 1

et donc

[10(x+1)]3 - 1000 A1 1000 > A2

donc

[10(x+1)]3 > 1000 A1 + A2 = A

On a donc en définitive :

(10x)3 1000 A1 1000 A1 + A2 = A < [10(x+1)]3

ce qui établit l'énoncé précédent puisque

(10x)3 A < [10(x+1)]3

Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine cubique approchée à une unité près par défaut de A, on a

(10x + y)3 A < (10x + y + 1)3

Si on désigne par R le reste de l'opération, c'est-à-dire la différence entre A et sa racine cubique approchée à une unité près par défaut, R vérifie donc l'inégalité :

R < (10x + y + 1)3 - (10x + y)3 = 300x2 + 3y2 + 60xy + 30x + 3y + 1

On a donc

A = (10x + y)3 + R = (10x)3 + 3.(10x)2.y + 3.10x.y2 + y3 + R

ou

A - (10x)3 = 3.(10x)2.y + 3.10x.y2 + y3 + R

Désignons par B la différence A - (10x)3 que l'on appelera premier reste partiel de l'opération.

Alors le quotient de B par 3.(10x)2, c'est-à-dire par le triple du carré du décuple de x est un nombre supérieur ou égal à y. Si donc on prend pour y la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine cubique cherchée, soit un nombre trop fort (si ce nombre dépasse 9, on le remplace par 9, puisque y est forcément un chiffre). Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat au cube. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine cubique de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine cubique.

Il ne semble pas utile de dire, puisque c'est évident, que si le nombre A possède des chiffres après la virgule, pour obtenir des décimales au résultat, il suffit de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de trois chiffres, d'"abaisser" celles-ci et de continuer de la même façon qu'auparavant en plaçant la virgule à l'endroit approprié du résultat.

Enfin, si le nombre A n'est pas un cube parfait, pour obtenir des décimales à la racine cubique, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de trois chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.