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Cosmologie

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Sections

Le paradoxe d'Olbers

Nous allons commencer ce cours avec une question simple, qui est paradoxalement une excellente introduction à la cosmologie :

Pourquoi la nuit est-elle noire ?

Cette question peut sembler étrange, tant nous sommes habitués à voir les étoiles sur un fond noir. Bien que la lumière artificielle nous cache les étoiles et éclaire le ciel nocturne, nous savons que cette lumière cache le noir de la nuit, ses étoiles et la Lune. Mais l'expliquer est une autre paire de manches. Il a fallu du temps avant de trouver une explication satisfaisante et les anciens astronomes avaient d'autres réponses que les scientifiques contemporains.

Les astronomes de l'antiquité n'étaient eux-mêmes pas surpris par l'obscurité de la nuit. Pour simplifier, ils pensaient les étoiles attachés à une sphère céleste, une sorte de sphère/coupole géante qui recouvre le ciel. S'ils supposaient que la Terre tourne sur elle-même, ils supposaient la sphère céleste fixe, expliquant le mouvement des étoiles au cours de la nuit et des saisons. Pour être plus précis, leur pensée utilisait plusieurs sphères : une pour le Soleil, une pour la Lune, une pour les étoiles proches, une pour les étoiles fixes des constellations (la plus lointaine) et bien d'autres. Mais beaucoup de savants avaient compris que ce modèle de sphères concentriques était tout au plus un artifice de calcul, utile, mais faux.

Terre dans la sphère céleste.
Sphères célestes emboitées d'Anaximandre.

Avec les progrès de l'astronomie, et notamment l'arrivée des modèles géocentriques et héliocentriques, ce modèle de sphères emboitées fût remis en cause. Pour les astronomes du moyen-âge et de la renaissance, les étoiles et astres n'étaient pas fixés sur des sphères, mais peuvent emplir tout l'espace. La répartition des étoiles était supposée globalement uniforme, avec certes des variations à petite échelle, mais qui cache une grande homogénéité à grande échelle. De plus, la lumière de ces étoiles se déplaçant dans le vide intersidéral en ligne droite, ce qui rend les étoiles visibles depuis la Terre, tant qu'il n'y a pas d'obstacle entre elles et la Terre. De plus, leur vision de l'univers évolua vers un modèle d'univers infini, immobile, éternel. Par immobile, on veut dire que les effets de la gravité des astres s'annulent mutuellement sur de grandes distances. Chaque galaxie s'éloigne ou se rapproche de la nôtre, mais dans l'ensemble, ces différents mouvements devraient se compenser et la moyenne des vitesses des galaxies serait nulle. Par infini, on veut dire que l'univers a un volume infini : il n'a pas de début ni de fin, pas de frontières ou de bords, etc. Et par éternel, on veut dire qu'il a un âge infini, qu'il n'a pas de début et de fin. Mais les astronomes du moyen-âge et de la renaissance comprirent rapidement que le noir de la nuit était incompatible avec ce qu'ils savaient de l'univers.

Le paradoxe d'Olbers[modifier | modifier le wikicode]

Nombre d'étoiles visibles depuis la Terre en fonction de leur distance.

Si l'univers est infini et statique, le ciel devrait être extrêmement lumineux. Si l’univers est infini, il contient une infinité d'étoiles. Et s'il existe depuis un temps infini, la lumière de toutes ces étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre. En conséquence, le ciel devrait être éclairé par une infinité d'étoiles. Peu importe où on regarde de la voute céleste, on devrait y voir une étoile à cet endroit. Alors certes, les étoiles lointaines nous envoient directement moins de lumière que les étoiles proches. Après tout, plus un objet est lointain, moins on reçoit sa lumière, qui est répartie dans toutes les directions. Mais cela est compensé par le fait que plus la distance d'émission est grande, plus il y a d'étoiles à cette distance. Le schéma ci-contre illustre ce fait. La baisse de quantité de lumière reçue est compensée par le plus grand nombre d'étoiles. Pour résumer, le ciel devrait être empli de lumière, cachant totalement le Soleil. C'était pour eux un paradoxe, appelé paradoxe d'Olbers, du nom de l'astronome qui le formalisa (d'autres astronomes, comme Kepler, avaient cependant mentionné ce paradoxe dans certains écrits, mais pas aussi explicitement qu'Olbers).

Pour mieux comprendre le problème, nous allons reprendre un développement mathématique assez connu qui formalise l'argument d'Olbers.

Modélisation de la répartition des étoiles[modifier | modifier le wikicode]

En premier lieu, on découpe l'univers en sphères concentriques. Chaque couche, chaque sphère, a une épaisseur égale à la distance moyenne entre deux étoiles. De plus, chaque couche est à une distance de la Terre.

Illustration d'une couche sphérique dans la démonstration d'Olbers.

Calcul du nombre d'étoile dans chaque couche[modifier | modifier le wikicode]

En second lieu, on calcule le nombre d'étoiles présentes dans chaque "sphère", dans chaque coque.

Pour cela, on utilise l'hypothèse suivante :

H1 : Les étoiles sont uniformément réparties.

Cette hypothèse dit que la densité d'étoile, à savoir le nombre d'étoiles par unité de volume, est constante. Dans ce qui suit, nous allons la noter .

Chaque "sphère", chaque coque, contient un nombre d'étoile égal à son volume multiplié par  :

Le volume d'une coque est approximativement égal à sa surface S multipliée par son épaisseur (la distance moyenne entre deux étoiles, notée D), ce qui donne :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

Calcul du flux de lumière émis par les étoiles d'une couche[modifier | modifier le wikicode]

En troisième lieu, on calcule le flux de lumière émis par une couche.

Pour cela, on part de l'hypothèse suivante :

H2 : Toutes les étoiles ont la même luminosité L.

On va utiliser cette hypothèse pour calculer le flux de lumière de chaque étoile. La physique du rayonnement nous dit que ce flux est égal à :

Le flux émis par toutes les étoiles d'une couche est la somme des flux de chaque étoile de la couche :

On utilise alors l'équation , démontrée plus haut :

On simplifie :

Cette équation nous dit que toutes les couches émettent la même quantité de lumière, ce qui n'est pas intuitif...

Calcul de la luminosité du ciel[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la sommation de la luminosité de chaque "couche". Vision du ciel avec un nombre d'étoiles grandissant, dans un univers infini et éternel.

En quatrième lieu, on combine la luminosité de toutes les couches pour trouver la luminosité totale du ciel.

Pour cela, on utilise les hypothèses suivantes :

H3 : Toutes les étoiles sont visibles depuis la Terre, il n'y a pas d'obstacle entre une étoile et la Terre.

Cela signifie qu'il faut prendre en compte toutes les couches dans le calculs.

H4 : L'univers est infini.

Le fait que l'univers est infini nous dit qu'il existe une infinité de couches concentriques.

H4 : L'univers est éternel.

Le fait que l'univers est éternel nous dit que la lumière de toutes les étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre.

Il faut donc additionner la luminosité de toutes les couches existantes pour trouver le flux de lumière visible dans le ciel. Nous n'allons pas faire le calcul, mais on trouve un résultat infini. Intuitivement, la troisième étape suffit à comprendre pourquoi : chaque couche a une luminosité finie et identique à celle des autres couches, et il y a une infinité de couches. Le ciel devrait être infiniment lumineux !

Les "solutions" du paradoxe d'Olbers[modifier | modifier le wikicode]

Divers savant se sont écharpés sur le paradoxe d'Olbers et de nombreuses réponses y ont été apportées. La démonstration d'Olbers n'ayant pas de problèmes mathématiques particuliers, il fallu se rendre à l'évidence : certaines hypothèses utilisées dans la démonstration sont fausses. Reste à trouver lesquelles.

On peut remettre en cause l'hypothèse de la luminosité fixe des étoiles, mais cela n'amène à rien. Même en supposant que certaines étoiles émettent peu ou pas de lumière, on se retrouve quand même avec une somme infinie. Remettre en cause la répartition des étoiles n'aide pas non plus : on devrait avoir des endroits du ciel extrêmement lumineux, bien plus que le Soleil, ce qu'on n'observe pas. Les observations astronomiques montrent de plus que si l'univers est assez hétérogène à petite distance, il est fortement homogène à grande distances.

Une première possibilité "crédible" était que les étoiles lointaines ne sont pas visibles depuis la Terre. Leur lumière est bien émise mais n'arrive pas à destination, reste à en trouver la raison. Une première explication fût que la lumière était absorbée par des nuages de gaz, de poussière, ou tout autre obstacle entre les étoiles et la Terre. Mais cette explication était incorrecte. L'obstacle en question absorbe le rayonnement de l'étoile, ce qui le chauffe. Or, tout corps chauffé émet un rayonnement dit de corps noir, dont l'intensité augmente avec la température. A force de chauffer, l'obstacle atteint une température d'équilibre, où le rayonnement absorbé par l'obstacle est intégralement réémis vers la Terre. L'obstacle est alors aussi lumineux que l'étoile qui le chauffe. Retour à la case départ.

La seule solution est que l'univers n'est pas infini et/ou qu'il a un âge fini. Les deux solutions font que l'on ne doit additionner que les couches les plus proches de la Terre, située en-dessous d'un rayon maximal .

  • Si l'univers a un volume fini, il a de de facto un rayon maximal .
  • Si il a un âge fini , la lumière des étoiles très éloignées n'a pas eu le temps d'arriver sur Terre. Au-delà de la distance ( est la vitesse de la lumière), la lumière n'a pas encore pu arriver jusqu’à la Terre.



L'expansion de l'univers

Illustration de la relation entre la vitesse de fuite d'une galaxie et sa distance.

Dès 1918, les astronomes ont entrepris de mesurer la vitesse de galaxies à partir de la lumière qu'elles émettent. Les observations actuelles utilisent soit des étoiles variables (des céphéides), soit des étoiles qui explosent : les supernovas. Plus précisément, les astronomes utilisent une classe bien précise de supernovas, qui ont pour particularité de générer systématiquement la même luminosité : les supernovas de type Ia. La luminosité perçue depuis la Terre de ces supernovas est proportionnelle à la distance. Et les observations ne collent pas du tout avec cette hypothèse ! Dans les grandes lignes, on observe que les galaxies s'éloignent plus qu'elles ne se rapprochent. La conclusion est claire : l'univers s'étend, gonfle.

Hubble a été le premier astronome à mettre en équation ce comportement, dans son article daté de 1929. Il étudia un grand nombre d'observations provenant de ses collègues, ainsi que les observations qu'il avait effectuées lui-même. De ces observations, il induit une loi statistique, du nom de loi de Hubble. Cette loi dit que la vitesse d'éloignement d'une galaxie est proportionnelle à sa distance. Dit autrement, cette loi est identique à la formule qui suit, dans laquelle V est la vitesse de fuite, D la distance de la galaxie et H un facteur de proportionnalité nommée constante de Hubble.

L'expansion de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Analogie de l'expansion de l'univers.

Aussi bizarre que cela puisse paraître, les scientifiques n'ont pas été étonnés de la découverte de la loi de Hubble. Il faut dire que la relativité générale était déjà bien avancée, et que les modèles d'univers en expansion ou en contraction étaient déjà étudiés à l'époque. De plus, cette équation avait été découverte quelques années auparavant par George Lemaitre, un abbé féru de sciences, qui avait déduit cette relation des équations de la relativité générale. Les équations de la relativité expliquent la loi de Hubble avec le concept d'expansion de l'univers : les corps matériels de l'univers s'éloignent les uns des autres au fil du temps. Les interprétations de la relativité disent que l'expansion de l'univers ne provient pas d'un mouvement des objets dans l'espace, mais d'une modification de la manière de calculer les distances avec le temps. L'image qui est souvent donnée dans la vulgarisation scientifique compare l'univers avec un gâteau au raisin qui gonfle progressivement, les raisins étant les galaxies.

Expansion de l'univers.

Avec la loi de Hubble, il est évident que l'univers devait être plus "petit" par le passé (plus précisément, la portion de l'univers qui correspond aujourd'hui à l'univers observable). En renversant l'écoulement du temps, l'univers se contracte progressivement, et on peut facilement imaginer qu'après un certain temps, tout le contenu de l'univers soit rassemblé en un seul point : la singularité initiale. L'univers serait alors né d'une dilatation de cette singularité initiale, dilatation qui porte le nom de big-bang. Mais cette vue de l'esprit pose de nombreux problèmes mathématiques. En effet, cette singularité implique que de nombreux calculs dépendant des distances donnent des divisions par zéro. Par exemple, le calcul de la pression, de la température, de la densité, ou d'autres paramètres physiques ne sont pas calculables. Tout ce que peuvent faire les scientifiques, c'est étudier ce qu'il s'est passé quelques secondes ou minutes après le temps qui correspond à cette singularité hypothétique. Les calculs actuels ne donnent plus de résultats crédibles au-delà d'une certaine durée, la durée de Planck. Celle-ci vaut environ secondes.

Le facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Mettre en équation le phénomène d'expansion de l'univers est assez trivial. Du fait de l'expansion, toute distance entre deux points sera multipliée par un facteur multiplicatif après une durée t. Pour calculer ce facteur multiplicatif, les physiciens font intervenir ce qu'on appelle le facteur d'échelle, noté . Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que nous prenons toutes les mesures dans un référentiel d'origine O, et que nous suivons la distance d'un objet matériel en fonction du temps. L'origine des temps est fixée comme étant . L'augmentation des distances à cause de l'expansion de l'univers se calcule comme suit :

L’interprétation de cette équation est assez simple : si le facteur d'échelle augmente de X %, les distances font de même.

Pour simplifier les calculs, on considère souvent que le facteur d'échelle vaut 1 à un instant idéal pour simplifier les calculs. Par exemple, comparons les distances entre un instant et un instant ultérieur. Pour simplifier les calculs, on peut supposer que le facteur d'échelle était de 1 à l'instant . Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie :

On voit que cette équation fait intervenir deux distances : et La distance peut s'interpréter comme la distance qu'auraient deux objets s'il n'y avait pas d'expansion. Elle est appelée la distance comobile. A contrario, la distance tient compte de l'expansion, qui augmente les distances entre deux objets. On voit que le facteur d'échelle (ou plutôt le rapport entre les facteurs d'échelle) est un coefficient multiplicateur qui dit par combien les distances ont étés multipliées entre l'époque actuelle et l' instant . Dit autrement, le facteur d'échelle est ce par quoi il faut diviser les distances actuelles pour obtenir les distances à l'instant . Les distances qui tiennent compte de l'expansion, opposées aux distances comobiles, sont appelées des distances propres.

Vitesse et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La distinction entre distance comobile et propre peut aussi se faire pour les vitesses, volumes, surfaces et autres. Par exemple, il est possible de calculer une vitesse propre en dérivant la distance propre, ce qui donne :

En utilisant la définition de la vitesse, , l'équation devient :

En divisant par , on peut reformuler pour exprimer

La vitesse calculée ainsi est une vitesse instantanée, qui est exprimée en postulant que le facteur d'échelle est celui de l’instant , à savoir . Mais il est aussi intéressant de calculer la vitesse exprimé avec le facteur d'échelle à l'origine des temps , à savoir . Cette vitesse vaut ni plus ni moins que . On la calcule en divisant la formule précédente par  :

On voit que, même exprimée dans le facteur d'échelle initial, la vitesse de l'objet se décompose en deux termes d'origine différente. Le premier terme est une vitesse provenant d'une modification de la distance comobile, qui est donc totalement indépendante de l'expansion. Elle traduit le fait que les objets s'éloignent ou se rapprochent même sans expansion. Cette forme de vitesse est appelée la vitesse locale ou encore vitesse comobile. Le second terme a pour origine l'expansion, d'où son nom de vitesse d'expansion. La vitesse comobile est celle qu'aurait un objet s'il n'y avait pas d'expansion, alors que la vitesse propre tient compte de l'expansion. Il faut noter que l'équation précédente nous explique pourquoi certaines galaxies très lointaines semblent s'éloigner de nous plus vite que la lumière. Si la vitesse locale ne peut dépasser la vitesse de la lumière, la vitesse de l'expansion n'est pas contrainte par . Ainsi, la vitesse supraluminique des galaxies lointaines provient de la vitesse de l'expansion et ne reflète pas une véritable vitesse supraluminique.

Pour les objets éloignés, la vitesse locale est négligeable par rapport à la vitesse d'expansion. Il est donc utile, de supposer la vitesse locale nulle. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie et permet de dériver directement la loi de Hubble, comme illustré ci-dessous.


Démonstration

Partons pour cela de l'équation précédente.

Supposons que la vitesse locale est nulle.

Or, on sait que , ce qui donne :

On retrouve la loi de Hubble en postulant que  :

Comme on le voit, la démonstration précédente nous donne la valeur exacte du facteur de Hubble.

Cette formule nous donne une nouvelle interprétation du facteur de Hubble : il s'agit du taux, du pourcentage auquel l'expansion a lieu. Pour information, la dérivée s’interprète comme la vitesse de l'expansion de l'univers, la vitesse à laquelle croît le facteur d'échelle. Plus la vitesse de l'expansion est grande, plus l'univers grandit vite et s'étend rapidement. De même, la dérivée seconde de est l'accélération de l'expansion de l'univers : plus elle est grande, plus l'expansion devient de plus en plus rapide avec le temps. Le facteur de Hubble est donc la vitesse de l’expansion divisée par le facteur d'échelle, soit le taux de variation du facteur d'échelle. Intuitivement, il indique approximativement si le facteur d'échelle augmente de 5%, 10% ou 20% par unité de temps. Si H vaut 0.015, cela signifie que les distances augmentent de 1.5% par seconde.

Faites attention à ne pas confondre la vitesse de l'expansion avec la vitesse d'expansion qui est elle la vitesse d'un objet acquiert à cause de l'expansion.

Le lien entre expansion et facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

L'expansion, de part son action sur les distances, entraine naturellement une variation des surfaces, volumes et densités. Prenons par exemple une sphère de rayon et de volume  : son rayon augmentant avec le facteur d'échelle, son volume fera de même. Quelques calculs triviaux nous disent que son volume évolue avec le facteur d'échelle selon la formule suivante, avec le volume de la sphère à l'instant .

Cette équation nous permet de déduire le rapport entre le facteur de Hubble et l'expansion des volumes. On obtient alors l'équation suivante :

, qui peut aussi s'écrire de manière moins compacte comme ceci : .

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous démontrerons l'équation du fluide de Friedmann.


Démonstration

Pour commencer, calculons la dérivée du volume :

Divisons ensuite par V, ce qui revient à diviser par :  :

On simplifie par et par  :

On utilise ensuite l'identité : pour simplifier le terme de droite, ce qui donne :

L'âge de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Si on considère que le facteur de Hubble est constant, on peut obtenir une approximation pas trop absurde de l'âge de l'univers. Vu qu'au moment du big-bang, toutes les galaxies étaient rassemblées en un point, l'âge de l'univers est alors égal au temps qu'il a fallu pour une galaxie a atteindre sa distance actuelle D, en s'éloignant à la vitesse v calculée par la loi de Hubble. Autrement dit, l'âge de l'univers est égal à . Ce résultat est appelé le temps de Hubble, et il vaut environ 13 milliards d'années. Cette valeur est très proche de celle actuellement admise par les scientifiques, même si l'hypothèse de base du calcul n'est pas respectée (le facteur de Hubble n'est pas resté constant). Le cas général, où le facteur de Hubble n'est pas constant, est cependant plus compliqué. Nous verrons dans la suite du cours que l'âge de l'univers dépend de sa densité et de sa composition : selon sa teneur en matière et en rayonnement, son âge ne sera pas le même. L'âge de l'univers dépend notamment de sa densité. Il se trouve que le cas où la densité de l'univers est nulle donne un âge égal au temps de Hubble ! Alors que la densité de l'univers n'est évidemment pas nulle... Mais nous résoudrons ce mystère dans quelques chapitres.

De manière plus générale, l'âge de l'univers est égal à :

Or, on peut calculer le terme dt en utilisant la définition du facteur de Hubble : . On trouve alors :


L'univers observable

L'univers observable est la portion de l'univers que nous pouvons observer, compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière. Des objets situés très loin ne peuvent pas être vu pour une raison très simple : la lumière qu'ils émettent n'a pas eu le temps de nous parvenir. La distance maximale à laquelle nous pouvons voir des objets (sans tenir compte d'éventuelles limitations techniques) dépend de l'âge de l'univers. S'il faut un temps supérieur à l'âge de l'univers pour nous parvenir, il nous est actuellement impossible de les voir, ce qui n'est pas le cas pour des objets situés plus près. Cette distance maximale est donc le rayon de l'univers observable. L'ensemble des points situés à la distance maximale des objets observables, à savoir la surface de l'univers observable, porte un nom : c'est l'horizon cosmologique.

Le rayon de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui suit, on note le rayon de l'univers à l'instant t.

Le calcul du rayon cosmologique actuel est assez simple sur le principe, mais compliqué en pratique. Une méthode assez simple se base sur la vitesse d'éloignement de l'horizon, à savoir la vitesse à laquelle l'horizon cosmologique s'éloigne de nous. Une fois cette vitesse connue, il suffit de l'intégrer sur l'âge de l'univers.

La vitesse d'éloignement du rayon observable est définie par :

On réutilise l'équation du chapitre précédent, qui donne la vitesse en fonction de la distance: . Dans le cas de l'horizon cosmologique, la distance est égale au rayon de l'univers et la vitesse locale est égale à la vitesse de la lumière, ce qui donne :

On peut reformuler le tout en divisant par , ce qui donne :

On peut alors intégrer cette expression sur l'âge de l'univers pour obtenir le rayon de l'horizon cosmologique, mais les calculs sont alors très complexes.

Le rayon comobile de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

Une autre façon de faire les calculs est de passer par l'intermédiaire du rayon comobile. Pour rappel, ce rayon comobile est le rayon corrigé de l'influence du facteur d'échelle (et donc de l'expansion). Il vaut, par définition : .

La vitesse comobile est la dérivée de ce rayon comobile, qui est égale à :

On peut alors factoriser le rayon comobile  :

On simplifie :

En injectant l'équation dans la précédente, on a :

En développant, on trouve :

On voit que la dérivée est égale à ce qu'on appelle la vitesse comobile de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est de , mais il s'agit d'une vitesse propre. On peut calculer sa vitesse comobile en divisant par le facteur d'échelle, ce qui n'est autre que le premier terme de l'équation précédente. . En intégrant l'équation précédente sur l'âge de l'univers, on a la distance comobile de l'horizon, celle à laquelle se situait l'horizon cosmologique quand la lumière de l'horizon a été émise. On se retrouve alors avec une équation très générale, qui marche même quand le facteur de hubble est variable.

Seule la vitesse comobile de la lumière devant être prise en compte. On trouve alors que le rayon comobile se calcule avec la formule suivante, avec l'âge de l'univers :

On peut simplifier l'intégrale en supposant que le facteur de Hubble est constant. Avec cette approximation, l'âge de l'univers est simplement égal au temps de Hubble. En conséquence, le rayon comobile de l'univers observable est donc égal à la vitesse de la lumière multiplié par l'âge de l'univers. En prenant le temps de Hubble comme âge de l’univers, on trouve le rayon de Hubble, qui vaut 13 milliards d'années-lumière :

.

Cependant, cette équation omet le fait qu'entre le moment où la lumière a été émise, et le temps où celle-ci est perçue, l'horizon cosmologique s'est éloigné à cause de l'expansion de l'univers. Le rayon obtenu est en fait le rayon comobile de l'univers observable, à savoir la distance à laquelle se situait l'horizon cosmologique au moment de la création de l'univers : ce n'est pas sa distance actuelle, qui est supérieure du fait de l'expansion de l'univers !

Le rayon actuel de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

On peut obtenir la distance propre par un calcul très simple, à partir de la distance comobile. On sait que pour toute distance, on a l'équation suivante qui est respectée. Ici, correspond à la distance actuelle, tandis que est la distance comobile.

Or, on a calculé plus haut l'expression générale de la distance comobile. En posant que le facteur d'échelle à l'émission est de 1, on a, avec l'âge de l'univers :

En supposant que la distance à l'émission est égale au rayon de Hubble, on a :

L'accélération de l'expansion de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Il est intéressant de savoir si cette vitesse reste constante, ou si l'expansion accélère/décélère. Pour simplifier les calculs, nous allons omettre la vitesse de la lumière et nous concentrer sur la vitesse de l'expansion de l'univers. Cela ne change rien aux résultats que nous allons obtenir vu que la vitesse de la lumière est constante : sa dérivée est donc nulle, ce qui la rend inutile dans les calculs de dérivée qui vont suivre.

La vitesse de l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

Une première étape pour savoir si l'expansion ralentit ou accélère, est de calculer l'accélération de l'expansion de l'univers. Cette accélération est simplement égale à la dérivée de la vitesse de l'expansion.

On peut alors appliquer la loi de Hubble pour déterminer la vitesse de l'expansion. En injectant dans l'équation précédente, on a :

Or, est simplement la vitesse d'expansion .

La vitesse de l'expansion peut se calculer avec la loi de Hubble, ce qui donne :

Le facteur de décélération[modifier | modifier le wikicode]

Il est courant que les cosmologistes utilisent ce qu'on appelle le facteur de décélération, un nombre calculé partir du facteur de Hubble. Celui-ci est positif si l'expansion accélère, négatif si elle ralentit, et reste constante si la vitesse d'expansion reste constante. Par définition, ce facteur de décélération q vaut :

Pour le calculer, on part de l'équation . Quelques manipulations algébriques donnent alors :

Il se trouve que le facteur dé décélération est relié au rayon de l'univers observable de la manière suivante :


L'évolution de la matière

L'univers est peuplé de matière et de rayonnement. La matière est essentiellement composée de particules massives : baryons, quarks, électrons, etc. Pour plus de simplicité, on peut supposer que la matière de l'univers est un gaz. Cette hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : 10% de la matière sert à fabriquer de étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc essentiellement composé de gaz. Évidemment, ce gaz de matière a une pression, un volume, une densité, une énergie, etc. Il reste de plus soumis aux lois de la thermodynamique. L'expansion va cependant faire varier continument sa densité (l'univers se dilue avec l'expansion), sa pression, sa température, etc. Dans ce chapitre, nous allons voir comment évolue ce gaz cosmologique en utilisant les relations de la thermodynamique, sous la contrainte de la loi de Hubble.

La densité de la matière et de l'énergie[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons commencer par étudier les différentes densités. Nous allons qu'en plus de la masse volumique, les cosmologistes utilisent plusieurs densités annexes : la densité d'énergie et la densité de particules.

La densité de particule[modifier | modifier le wikicode]

Le terme est appelé la densité de particules et est noté . Il correspond au nombre de particules par unité de volume. Vu que le volume de l'univers varie selon , la densité de particule varie donc comme :

La densité de matière[modifier | modifier le wikicode]

La densité (la masse volumique) est égale au produit densité d particule par masse d'une particule, par définition. Vu que la masse d'une particule ne varie pas, du fait de la conservation de la masse, on devine rapidement que la densité varie comme :

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous analyserons la première équation de Friedmann. IL faut cependant signaler que la densité d'énergie du rayonnement ne suit pas la même équation, comme nous le verrons dans le prochain chapitre.

La densité d'énergie[modifier | modifier le wikicode]

Passons maintenant à la densité d'énergie de l'univers, à savoir la quantité d'énergie par unité de volume. Nous n'allons nous concentrer sur la matière, le rayonnement étant étudié au prochain chapitre. On sait que la densité d'énergie est proportionnelle à la densité de particule multipliée par l'énergie (moyenne) d'une particule. Du fait de la conservation de l'énergie (qui est respectée pour la matière), on se doute que l'énergie moyenne d'une particule ne change pas avec le temps. On a donc :

On voit donc que la densité d'énergie varie comme la masse volumique et la densité de particule.

La pression et température de la matière cosmologique[modifier | modifier le wikicode]

Le gaz cosmologique reste naturellement soumis à la première loi de la thermodynamique, à la fameuse conservation de l'énergie. Celle-ci s'écrit, dans le domaine de la thermodynamique, comme suit avec Q le flux de chaleur qui quitte le gaz de photons, E son énergie, P sa pression et V son volume.

On va supposer que le flux de chaleur qui quitte le gaz est nul. On a alors :

Pour rappel, la température d'un gaz parfait est la somme des énergies cinétiques de chaque particule. La physique statistique nous dit que l'énergie moyenne d'une particule est égale à : . Pour un gaz de n particules et de température T : . En injectant la première équation dans la précédente, on a :

Vu que le nombre de particule est supposé constant, on a :

Pour rappel, un gaz parfait suit la loi suivante, avec P la pression, V le volume, n le nombre de particules, T la température et K la constante de Boltzmann : . On peut reformuler cette équation comme suit : . Ce qui fait qu'on a :

On divise alors par  :

On utilise alors la relation  :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

De cette équation, on peut déduire que :

La température de la matière varie donc comme l'inverse du carré du facteur d'échelle.


L'évolution du rayonnement

On peut signaler que l'effet de l'expansion influe non seulement sur les distances entre corps matériels, mais aussi sur la lumière. La longueur d'onde de la lumière est une distance comme une autre, qui est modifiée par l'expansion de l'univers. Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde à un instant , sa longueur d'onde à un instant sera égale à :

Cela nous permet de calculer la fréquence d'une onde lumineuse en fonction du facteur d'échelle. En effet, il existe une relation entre la longueur d'onde et la fréquence pour la lumière (comme pour toute onde), les deux étant inversement proportionnels. De cette relation, on peut déduire la relation suivante :

Par souci de lisibilité, nous noterons parfois la dérivée première d'une variable , à savoir , comme ceci : . Le remplacement ne sera pas systématique, la notation étant plus courante et donc plus claire. La notation sera utilisée quand la notation est trop lourde, par exemple pour simplifier les formules de ce style : en .

Décalage vers le rouge cosmologique[modifier | modifier le wikicode]

Effect of the stretching of light on the light wavefront.

On peut utiliser cette relation entre longueur d'onde de la lumière et facteur d'échelle, pour calculer sa variation en fonction de l'expansion. Le fait est que le facteur d'échelle augmentant avec le temps, la longueur d'onde de la lumière augmente. Ainsi, si vous regardez une galaxie ou une étoile au loin, sa lumière semble être décalée vers les basses fréquences (le rouge), comparé à sa couleur d'émission. C'est ce décalage vers le rouge qui était utilisé pour mesurer la vitesse des galaxies par Hubble et ses collègues. Ce phénomène s'appelle le décalage vers le rouge, noté . Celui-ci est simplement le rapport entre le décalage des longueur d'onde causé par l'expansion, et la longueur d'onde d'émission :

Décalage vers le rouge et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la relation précédente, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle :

Cette équation permet de déterminer quel était le facteur d'échelle, quand la lumière a été émise. Posons que le facteur d'échelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :

Décalage vers le rouge et facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Quelques manipulations algébriques à partir de l'équation précédente nous donnent :


Démonstration

Pour faire cette démonstration, partons de l'équation suivante :

Calculons la dérivée par rapport au temps :

Maintenant, utilisons l'équation  :

L'interprétation du décalage vers le rouge[modifier | modifier le wikicode]

Velocity-redshift

Les étudiants en physique apprennent que le décalage vers le rouge peut être causé par le mouvement d'un objet dans l'espace. Quand un objet s'éloigne de nous, à une certaine vitesse propre, la fréquence de la lumière qu'il émet baisse. Et réciproquement, un objet qui s'approche émettra une lumière plus bleuie, dont la fréquence a légèrement augmenté. C'est l'effet Doppler-Fizeau. Celui-ci donne la formule suivante, entre la vitesse de l'objet en mouvement et le décalage vers le rouge qui en découle. Cette relation est cependant une approximation, dérivée des équations de Newton, valide uniquement pour des objets dont la vitesse d'éloignement est faible. En clair, cette formule ne vaut que pour des objets cosmologiques "proches".

Il pourrait être tentant d'utiliser une formule plus précise, tirée de la relativité restreinte, histoire d'obtenir des résultats corrects pour des objets lointains. Mais cela donnera des résultats faux, pour des raisons assez techniques liées au changement de vitesse de l'expansion (qui n'est pas forcément constante). Appliquées de manière naïve à des galaxies lointaines, les formules de la relativité restreinte et générales donnent des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière. L’interprétation en terme d'effet Doppler impliquerait donc que les galaxies lointaines se déplacent plus vite que la relativité, en totale contradiction avec la relativité. La seule interprétation correcte de ce décalage vers le rouge cosmologique n'est donc pas une vitesse de déplacement dans l'espace, mais une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. Mais une explication claire de ce processus demande d'utiliser la relativité générale.

La thermodynamique du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

La majorité du rayonnement dans l'univers forme un gaz de photons homogène et isotrope (nous détaillerons cette remarque quand nous aborderons le rayonnement de fond diffus cosmologique). Autrement dit, c'est un rayonnement de corps noir. Ce gaz de photons possède divers propriétés, qui sont affectées par l'expansion : il possède une densité d'énergie, une température, et bien d'autres paramètres.

Rappel : les équations d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la loi de Planck.

Un gaz de photon est formellement décrit par la fameuse équation de Planck, que nous ne détaillerons pas ici. Celle-ci donne tout simplement la densité d'énergie des photons qui possèdent une fréquence f, dans un gaz de photons de température T. Et cette équation contient un terme, la fréquence, sensible au facteur d'échelle. Voici cette équation de Planck :

On peut reformuler cette équation en utilisant la longueur d'onde, ce qui donne :

Une illustration de la distribution des photons suivant leur fréquence est illustré dans le schéma de droite.Le schéma de droite montre que le pic d'intensité, à savoir la fréquence où le nombre de photons est maximal. Or, ce pic est proportionnel à la température moyenne du gaz de photon, d'après la relation suivante : .

Énergie des photons[modifier | modifier le wikicode]

Un gaz de photons, ou rayonnement de corps noir a une densité d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume) à savoir la quantité d'énergie du rayonnement par unité de volume, que nous noterons . Cette densité d'énergie se calcule avec la loi de Stephan, qui se dérive de l'équation de Planck. Celle-ci dit que la densité d'énergie d'un gaz de photon est proportionnelle à puissance quatrième de sa température. Voici cette loi, avec une constante, la constante de Stephan, et la température :

Les lois de la physique nous disent que l'énergie d'un photon dans ce gaz est égale à , avec h la constante de Planck. Des équations précédentes, il est possible de dériver laborieusement la quantité moyenne d'énergie d'un photon dans un gaz de photons. Celle-ci est approximativement celle-ci, avec la constante de Boltzmann.:

.

Nombres moyens de photons[modifier | modifier le wikicode]

Des équations précédentes, il est possible de déterminer le nombre de photons par unité de volume. Cette valeur est aussi appelée la densité de photons, par analogie avec la densité de matière, ce qui est un abus de langage. Pour la calculer, il suffit de diviser la densité d'énergie par l'énergie moyenne d'un photon. On obtient alors :

En simplifiant, on a :

Pression d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Peut-être savez-vous déjà que la pression d'un gaz est proportionnelle à sa quantité d'énergie. Un gaz de photons ne fait certainement pas exception à cette règle. Le coefficient de proportionnalité entre pression et densité d'énergie est de . Cela donne l'équation suivante :

Le comportement du gaz de photon suite à l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons voir comme la pression, la densité d'énergie et la température du gaz de photon varie en fonction de l'expansion. Nous allons voir que la densité d'énergie et la température dépendent du facteur d'échelle (ou d'une de ses puissance).

La densité d'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons d'abord voir comment évolue la densité d'énergie en fonction de l'expansion. Il est facile de démontrer que :


Démonstration

Un gaz de photon reste naturellement soumis à la première loi de la thermodynamique, à la fameuse conservation de l'énergie. Celle-ci s'écrit, dans le domaine de la thermodynamique, comme suit :

Avec Q le flux de chaleur qui quitte le gaz de photons, E son énergie, P sa pression et V son volume.

On va supposer que le flux de chaleur qui quitte le gaz de photon est nul. On a alors :

Par définition, , avec la densité d'énergie. De plus, on a vu comment calculer la pression d'un gaz de photon dans les paragraphes précédents. En faisant le remplacement, on a :

On divise alors par dt :

On utilise alors la formule du produit d'une dérivée sur le terme de gauche :

En divisant par , on a :

On utilise alors la relation  :

De l'équation précédente, on peut déduire que la densité d'énergie du rayonnement varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle, en respectant l'équation :


Démonstration

Partons de l'équation précédente :

En simplifiant par dt, on trouve :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

De cette équation, on peut déduire que :

CQFD !

La température du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu la densité d'énergie, il est temps de voir ce qu'il en est pour la température. Il est facile de démontrer que la température est proportionnelle à l'inverse du facteur de Hubble. On voit donc que la température du rayonnement diminue au même rythme que l'augmentation du facteur d'échelle. Ainsi, le rayonnement né dans les premiers instants de l'univers, refroidit progressivement au fur et à mesure que l'univers s'étend.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

On peut alors remplacer la densité d'énergie par sa valeur calculée par la loi de Stephan, ce qui donne :

Vu que le facteur est constant, on peut le factoriser et simplifier, ce qui donne :

On peut alors calculer la dérivée de et l'injecter dans le numérateur :

Simplifions par  :

D'où il vient immédiatement :

De l'équation précédente, on peut facilement démontrer que :

Un premier argument assez qualitatif (et peu rigoureux) nous permet de dériver cette équation. Rappelons la formule qui donne la fréquence où l'intensité du rayonnement de corps noir est maximale : . On peut réécrire l'équation précédente comme suit :

Du fait de la diminution de la fréquence des photons du fait de l’expansion, la température du gaz de photon doit aussi diminuer proportionnellement au facteur d'échelle. On retrouve donc l'équation précédente. Cependant, cette dérivation n'est pas parfaite, vu qu'on mélange la fréquence d'un photon unique avec la température d'un gaz de plusieurs photons. Ce qui nuit à la généralité de l'argument. Une véritable dérivation part de l'équation de la densité d'énergie dérivée plus haut.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

En prenant l'exponentielle, on trouve que :

Interprétation physique de la variation de densité énergétique du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

On a vu que la densité d'énergie varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle :

On peut donner un sens physique à cette équation. Premièrement, l'énergie du rayonnement est diluée dans un volume plus grande, égal à la puissance troisième du volume initial. La densité est donc divisée par la puissance troisième. A cela, il faut ajouter la diminution de la longueur d'onde causée par le facteur d'échelle. La somme de ces deux contributions donne la formule précédente. Pour nous en rendre compte, on peut partie de la définition de la densité d'énergie du rayonnement :

La variation de la densité d'énergie provient de deux sources : une provenant de la variation du volume (l'expansion) et l'autre de la diminution de l'énergie du rayonnement.

La contribution du volume[modifier | modifier le wikicode]

Remplaçons le volume par sa valeur dépendant du facteur d'échelle, à savoir l'équation . On a donc :

Si l'énergie du rayonnement demeurait constante lors de l'expansion, on aurait l'équation suivante :

On le voit, il manque un facteur pour obtenir l'équation finale. L'expansion n'a donc pas qu'un effet sur le volume, mais aussi un effet sur l'énergie de rayonnement. Voyons quelle peut être son origine.

La contribution de l'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Pour obtenir l'équation , on est obligé de supposer que l'énergie du rayonnement suit l'équation suivante :

On peut facilement deviner son origine. Rappelons qu'un photon de fréquence f a une énergie égale à , avec h la constante de Planck. Or, on a vu que la fréquence varie avec l'inverse du facteur d'échelle, l'énergie des photons d'un gaz de photons doit aussi varier. En clair, l'expansion étire la longueur d'onde des photons, ce qui leur fait perdre de l'énergie. De par la relation précédente, on obtient que l'énergie d'un photon varie inversement avec le facteur d'échelle.

Une autre confirmation de cet état de faits tient que l'énergie moyenne d'un photon dans un gaz de photons est approximativement de :

On applique alors l'équation

En posant , on a :

Cette équation a une conséquence assez importante : l'énergie de l'univers ne se conserve pas, mais diminue avec le temps ! Et ce n'est pas un problème qui serait réglé en relativité générale : il y a réellement une perte d'énergie quel que soit le modèle utilisé. A l'heure actuelle, on ne sait pas comment résoudre ce problème (si tant est que ce soit vraiment un problème).


L'équation de Friedmann

Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Celles-ci décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope). Elles permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle.

La première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Une démonstration de cette équation demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Cette première équation de Friedmann est la suivante :

L'interprétation de cette formule est assez simple à comprendre. Elle nous dit que l'expansion de l'univers dépend de deux forces opposées. Le premier terme correspond à l'influence gravitationnelle de la matière, alors que l'autre traduit l'effet de la courbure de l'univers.

La version Newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée . Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à et , ce qui donne :

Modifions l'ordre des termes :

Nous pouvons alors utiliser la loi de Hubble , pour remplacer la vitesse de la galaxie.

Isolons maintenant en divisant des deux membres par .

Ensuite, rappelons-nous que par définition, . En posant qu'à l'instant t0, le facteur d'échelle est égal à 1, nous avons : . Nous n'allons cependant faire le remplacement que dans le second terme et pas dans le premier. Quelques simplifications ultérieures permettront de se débarrasser du rayon dans le premier terme.

Nous allons maintenant poser que est une constante, que nous allons appeler le paramètre de courbure. Prenez garde au signe de cette formule !

Exprimons maintenant la masse de l'univers comme étant égale à sa masse volumique multipliée par le volume : . On a alors :

Après quelques simplifications algébriques, nous obtenons la première équation de Friedmann.

La version de la relativité générale[modifier | modifier le wikicode]

La version plus générale de l'équation, tirée de la relativité générale, peut se « déduire » de la formule précédente en utilisant l'équivalence masse-énergie d'Einstein, même si cette démonstration est loin d'être rigoureuse. Cette équivalence dit que l'énergie d'un corps (ici l'univers) est proportionnelle à sa masse, selon l'équation : , avec c la vitesse de la lumière. Dans ce cas, la masse volumique ρ est remplacée par la densité d'énergie de l'univers . Cette densité d'énergie prend en compte aussi bien la densité de matière que la densité d'énergie liée au rayonnement (lumière) , et potentiellement d'autres formes d'énergie.

Nous avons vu dans les chapitres précédents que les densités de rayonnement et de matière dépendent du facteur d'échelle.

  • La densité de matière varie selon l'équation : .
  • Pour la densité d'énergie du rayonnement, l'équation a été vue dans le chapitre sur le rayonnement : .

L'équation devient donc :

Il est possible aussi de rendre compte de la courbure via une densité d'énergie de courbure. En effet, nous avons vu que celle-ci est proportionnelle à une énergie dans la démonstration newtonienne. En appliquant l'équivalence masse-énergie, nous nous retrouvons donc avec une densité d'énergie de courbure dans l'équation de Friedmann. En injectant le tout dans l'équation de Friedmann, nous trouvons :

La géométrie de l'univers peut prendre trois formes, selon que le paramètre de densité est nul, positif ou négatif.

L'interprétation du paramètre de courbure diffère sensiblement dans l'interprétation de la relativité générale. Cette courbure, en relativité générale, est liée à la géométrie de l'espace-temps :

  • un espace de courbure nulle a une géométrie euclidienne ;
  • un espace de courbure positive a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une sphère en deux dimensions ;
  • un espace de courbure négative a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une « selle de cheval » en deux dimensions (cette selle de cheval étant à une hyperbole ce que la sphère est au cercle).

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut décrire l'univers observable du point de vue de la thermodynamique sans trop de problèmes. Pour cela, il suffit de modéliser l'univers observable comme une sphère centrée sur le centre de la Terre et de postuler qu'il est homogène. Par homogène, on veut dire que sa température est la même partout, de même que la densité, la pression, et toutes les variables du même genre. Cette dernière équation s'appelle l'équation du fluide de Friedmann.

, où ρ est la densité de matière.

Sa version newtonienne est la suivante :

, où est la densité d'énergie.


Démonstration

Dans cette section, nous allons donner une dérivation de la version relativiste, qui n'est cependant pas très rigoureuse. En faire une véritable dérivation demanderait de passer par les mathématiques de la relativité générale, ce que nous ne ferons pas dans ce cours.

Nous allons considérer que l'univers est un système isolé, à savoir qu'il n'y a pas d'échange de matière ou d'énergie avec l'extérieur (il est en effet difficile de donner un sens à l'« extérieur de l'univers »). Dans ces conditions, la première loi de la thermodynamique s'applique. Celle-ci dit que toute variation de l'énergie interne de l'univers provient des variations de chaleur et de volume/pression. De plus, on va supposer que l'expansion est adiabatique : il n'y a pas d'échange de chaleur entre l'univers observable et un éventuel extérieur. Dans ces conditions, toute variation de l'énergie interne de l'univers se calcule avec la formule suivante, avec P la pression et V le volume de l'univers.

Utilisons ensuite la relation  :

Le facteur étant constant, nous pouvons le sortir de la dérivée.

Divisons par  :

Reformulons la masse de l'univers en fonction du volume et de la densité de matière

Appliquons la formule sur la dérivée d'un produit.

Factorisons maintenant le terme .

Divisons maintenant par V.

Puis divisons par dt.

Appliquons maintenant l'égalité suivante, vue dans le premier chapitre : .

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

A partir de la première équation de Friedmann, ainsi que de l'équation du fluide, nous pouvons déduire une troisième équation, appelée seconde équation de Friedmann.

Celle-ci nous dit comment varie la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui elle-même dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Il s'agit donc d'une équation très importante pour comprendre la dynamique de l'expansion et comment celle-ci évolue avec le temps.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann, écrite comme ceci :

Multiplions des deux côtés par  :

Dérivons maintenant par rapport au temps :

Divisons par 2 des deux membres de l'équation :

Calculons la dérivée dans le second terme :

Divisons par  :

On utilise alors la relation pour simplifier le second terme :

Simplifions par  :

Divisons par  :

Or, l'équation du fluide nous dit que . Nous pouvons donc faire la substitution dans l'équation précédente, ce qui donne :

En simplifiant, nous obtenons :

Cette seconde équation de Friedmann nous dit quelque chose d'assez contre-intuitif concernant la pression : celle-ci lutte contre l'expansion. L'intuition nous dirait pourtant le contraire, mais celle-ci est trompeuse. La pression de la matière ou du rayonnement ne pousse pas sur les bords de l'univers, et ne peut donc guider l'expansion. Rappelons que l'horizon cosmologique n'est pas une barrière matérielle sur laquelle la pression pourrait pousser, mais une simple limite liée à la vitesse de la lumière. L'effet de la pression sur l'expansion ne peut donc provenir de ce mécanisme intuitif. Pour comprendre l'effet contre-expansionniste de la pression, il faut se rappeler que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. Par exemple, on peut facilement démontrer que la pression d'un gaz parfait est égale aux deux tiers de sa densité d'énergie interne. Même chose pour le rayonnement, quoique le coefficient de proportionnalité soit différent. Or, rappelez-vous que l'énergie et la masse sont reliées dans la théorie de la relativité, l'équation en étant la plus simple expression. Pour simplifier, l'énergie a un poids, un effet gravitationnel qui va lutter contre l'expansion. Plus la pression, et donc la densité d'énergie sont grandes, plus cet effet gravitationnel sera fort, plus l'expansion sera contrecarrée.



L'énergie noire

Il a longtemps été cru que l'expansion de l'univers devait décélérer avec le temps. Mais quelques observations ont remis cette affirmation en cause. Deux expériences ont fait voler en éclat ce consensus, en faisant état d'une accélération de l'expansion : le Supernova Cosmology Project et le High-Z supernovae search team. Ces observations ont été confirmée par des observations faites avec le télescope Hubble, à l'heure où j'écris ces lignes (fin 2016). Cela pourrait s'expliquer par une courbure non-nulle, mais les diverses observations stipulent que la courbure est bien nulle ! Or, les équations de Friedmann sans courbure et sans termes additionnels nous disent que l'univers est censé se contracter de moins en moins vite : l'expansion devrait ralentir, pas accélérer.

Illustration schématique de l'accélération de l'expansion de l'univers.

L'énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

Pour comprendre pourquoi les scientifiques furent étonnés par l'accélération de l'expansion, nous devons repartir de la seconde équation de Friedmann. Pour rappel, celle-ci nous donne le taux d'accélération de l'expansion de l'univers.

A l'époque, on pensait que la densité et la pression devaient forcément être positives toutes les deux. En raison du signe moins, la dérivée seconde était alors négative : l'expansion devait obligatoirement décélérer. Autant dire que la découverte de l'accélération de l'univers ne semblait pas compatible avec la seconde équation de Friedmann. Pour résoudre le problème, les physiciens devaient permettre à la densité ou à la pression de devenir négatives. Si l'hypothèse d'une densité/masse négative n'a pas été retenue, ce n'est pas le cas de l'autre possibilité. Les physiciens ont donc supposé qu'il existe, dans l'univers, quelque chose qui a une énergie positive, mais dont la pression est négative. Ce quelque chose, il l'ont appelé l'énergie noire.

L'énergie noire a une masse positive, mais a aussi un effet anti-gravitationnel : cela implique une force répulsive qui contrecarre la gravité. D'ordinaire, la matière et le rayonnement ont un poids, leur gravité contre-carrant l'expansion : leur pression est donc dirigée vers le centre de l'univers observable. Mais la définition de la constante cosmologique nous dit que l'énergie noire doit au contraire augmenter l'expansion : la pression doit être dirigée vers l'extérieur. Dit autrement, la pression de l'énergie noire est négative, ce qui est particulièrement original (même si on observe des phénomènes similaires dans certains cristaux ou lors de changements de phases).

L'énergie noire se caractériserait par une densité constante au cours du temps. On peut remarquer que cela implique que l'énergie de l'univers ne se conserve pas, vu que cette densité constante est couplée à une augmentation du volume de l'univers par l'expansion. Aussi improbable que cette hypothèse puisse paraitre, elle correspond cependant bien aux observations. De plus, elle permet de simplifier la première équation de Friedmann, en utilisant la densité d'énergie noire .

On peut alors reformuler cette équation comme suit :

Les scientifiques ont tenté d'expliquer cette énergie noire de plusieurs manières. La tentative la plus connue se base sur une prédiction assez singulière de la théorie quantique des champs. D'après cette théorie, le vide est censé être rempli d'une énergie appelé énergie du vide. On pensait autrefois qu'il s'agissait du candidat idéal pour expliquer l'énergie noire. Jusqu'à ce que des physiciens fassent les calculs et montrent que l'énergie du vide donne des valeurs aberrantes pour la densité d'énergie noire. Leurs résultats donnaient une énergie du vide près de fois plus grandes qu'observée, ce qui est aujourd'hui considéré comme la "pire prédiction théorique de l'histoire de la physique".

Contenu de l'univers.

Les observations semblent indiquer que 30% de l'univers est composé de matière, tandis que le reste de la densité d'énergie est intégralement composé d'énergie noire.

La constante cosmologique[modifier | modifier le wikicode]

Si l'énergie noire apparait dans la seconde équation de Friedmann, il faut aussi modifier la première équation comme cela a été fait plus haut. Mais les physiciens ont aussi pensé à une seconde formulation, qui se passe de l'hypothèse d'une énergie noire. A la place, les cosmologistes ont ajouté un terme à l'équation de Friedmann, auquel ils ont donné le nom de constante cosmologique. L'idée provient au départ d'une hypothèse d'Einstein, dans un tout autre contexte. Celui-ci avait remarqué que les équations de Friedmann imposaient un univers en expansion, mais refusait d'y croire. Pour obtenir un univers stationnaire (stable, sans expansion), il ajouta une constante cosmologique à la première équation de Friedmann, afin de compenser l'effet de la gravité et de la pression. Si cette hypothèse a été mise de côté suite à la découverte de l'expansion de l'univers, les physiciens la réutilisèrent pour expliquer l'accélération de l'expansion.

Avec ce terme, la première équation de Friedmann devient :

Cette équation se simplifie, si on considère une courbure nulle, en :

Si on prend un univers vide, pour lequel la constante cosmologique est non-nulle, l'équation de Friedmann devient :

A l'heure actuelle, la constante cosmologique n'est qu'un paramètre ad-hoc qui permet de faire coller prédictions théoriques et observations. On ne connait pas encore son origine, même si les physiciens ont quelques pistes. L'interprétation de ce terme varie suivant les physiciens.



Le destin de l'univers

Dans les chapitres précédents, nous avons établit la première équation de Friedmman, qui relie le facteur de Hubble avec la densité de l'univers et sa courbure. Pour rappel, la voici :

Pour simplifier les calculs, nous allons utiliser cette version de l'équation, qui fusionne l'énergie noire avec les autres formes d'énergie :

On peut déduire bien des choses à partir de cette équation, notamment comment le facteur de Hubble évolue avec la densité et comment il varie au cours du temps. Cela nous permet de déduire ce qu'il adviendra de l'univers. Continuera-t-il à s'étendre indéfiniment ? Ou au contraire, l'expansion cessera-t-elle au bout d'un certain temps ? L'univers finira-t-il par s'effondrer sur lui-même ? Il n'y a pas 36 possibilités et seuls trois scénarios sont possibles :

  • Dans le premier scénario, l'expansion de l'univers finit pas cesser et s'inverse, l'univers se contracte et le volume de l'univers observable diminue. En clair, l'univers s'effondre sur lui-même dans un grand big-crunch.
  • Dans le second cas, l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et ne ralentit pas (soit qu'elle reste stable, soit que l'expansion accélère). Dans ce cas, l'univers grossit indéfiniment : c'est le scénario du big-rip.
  • Et enfin, dans le dernier scénario, l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais, mais celle-ci ralentit progressivement. L'univers commence par s'étendre, mais son rythme de croissance diminue peu à peu, jusqu’à s'annuler après un temps infini. Dans ce scénario, l'univers ne grossit pas indéfiniment et verra son volume tendre progressivement vers un volume maximum. Ce scénario est appelé le big chill.
Trois possibilités pour l'évolution de l'univers.

Le lien avec le facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Le scénario qui se matérialise dépend du signe du facteur de Hubble. Rappelons en effet que le facteur de Hubble est le taux d'expansion de l'univers, le taux auquel l'univers augmente de volume. Un H négatif signifie que l'univers se contracte, un H positif signifie que l'univers est en expansion, et un H nul signifie que l'univers est stationnaire. Pour l'étude du destin de l'univers, on se préoccupe du facteur de Hubble obtenu après un temps assez long, pour un âge de l'univers très important. Idéalement, on doit étudier la limite de H quand le temps tend vers l'infini : . On distingue les trois scénarios précédents selon que la limite de H est positive, négative ou nulle.

  • Positive : l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et c'est le big rip qui se matérialise.
  • Négative : l'expansion s'inverse si le facteur de Hubble devient négatif et l'univers finit en big-crunch.
  • Nulle : le big chill se matérialise si le facteur de Hubble tend vers 0.

Or, le facteur de Hubble est relié à la courbure de l'univers et sa densité par la relation de Friedmman. Le scénario qui a effectivement lieu dépend donc de deux paramètres.

Pour étudier l'effet de la densité et de la courbure, partons de l'équation de Friedmann.

Reformulons en mettant le terme de courbure dans le terme de gauche :

Le cas du Big Chill[modifier | modifier le wikicode]

Le cas où , à savoir la troisième scénario, donne :

Le premier terme correspond à l'effet de la gravité sur l'expansion, tandis que le second traduit l'effet de la courbure. L'équation précédente nous dit que le troisième scénario a lieu si la courbure de l'univers est exactement contrebalancée par la densité. leurs effets sur l'expansion s'annulent l'un l'autre. Les deux autres scénarios se déduisent facilement de se constat. Le big crunch est le cas où la densité de l'univers surpasse l'effet de la courbure : la gravitation l'emporte sur l'expansion, ce qui fait que l'univers s'effondre sur lui-même. Inversement, si la courbure l'emporte sur la gravité/densité, l'univers s'étend de plus en plus et on est dans un cas de big rip.

Le cas d'une courbure nulle : la densité critique[modifier | modifier le wikicode]

Si la courbure est nulle, l'équation précédente devient :

On peut alors calculer la densité qui correspond, qui s'appelle la densité critique.

La densité critique correspond à la densité qu'à un univers de courbure nulle. Vous remarquerez qu'il existe une valeur de densité différente pour chaque valeur de la constante de Hubble.

Le lien avec la dérivée du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de reformuler les équations précédentes en utilisant la dérivée du facteur d'échelle , que l'on peut calculer à partir de la formule . Les deux approches sont équivalentes. Quand , le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.

Par définition, . En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

Multiplions par des deux côtés.

Élevons au carré pour éliminer la racine dans le terme de droite.

Développons et simplifions le terme de droite.

Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers, et donc un facteur d'échelle, très important. Formellement, on doit prendre la limite quand tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Une autre manière de faire est de supposer que le facteur d'échelle est très grand (), ce qui permet de simplifier l'équation précédente. Les facteurs et deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont naturellement s'annuler avec l'augmentation progressive de . On a alors :

Cette équation nous dit que le destin de l'univers dépend uniquement de la densité de courbure . La dérivée du facteur d'échelle ne peut s'annuler que si . Qualitativement, l'expansion diluera la matière et le rayonnement, faisant diminuer leur densité. C'est en partie le cas pour le facteur de courbure, mais l'effet est nettement plus faible et s'annule dans le calcul de la dérivée du facteur d'échelle. Ainsi, le destin de l’univers ne dépend que du paramètre de courbure, et nullement des densités de matière et de rayonnement.

La paramètre de densité[modifier | modifier le wikicode]

Les cosmologistes utilisent souvent le rapport entre la densité mesurée expérimentalement et la densité critique, ce rapport étant appelé le paramètre de densité. Celui-ci vaut, par définition :

La densité critique vaut . En injectant dans l'équation précédente, on trouve :

Détermination de la courbure[modifier | modifier le wikicode]

Cette équation permet de déterminer la courbure de l'univers à partir du paramètre de densité. En effet, une fois le paramètre de densité connu, on peut alors en déduire quelle est la courbure via quelques manipulations algébriques sur l'équation précédente.

Pour cela, on part de l'équation de Friedmann sous cette forme :

On isole dans le terme de gauche :

On injecte dans l'équation , ce qui donne :

Quelques manipulations algébriques donnent :

Cette équation nous donne une interprétation du paramètre de courbure. Si celui-ci est égal à 1, la courbure de l'univers est nulle et la densité de l'univers est égale à la densité critique. Si il est positif, la densité de courbure est légèrement positive et réciproquement pour un paramètre de densité négatif. Le paramètre de densité peut se mesurer indirectement, via diverses observations astronomiques. On peut en effet mesurer avec précision le facteur de Hubble, ainsi que la densité de l'univers.

Évolution de l'univers

A l'heure actuelle, il semblerait que la courbure soit nulle, ou tout du moins tellement faible qu'on peut la considérer comme nulle. Toutes les mesures, réalisées par les satellites WMAP et Planck donnent bien une valeur quasiment nulle, aux imprécisions expérimentales près. Les mesures les plus récentes, provenant du satellite Planck, nous disent qu'il y a 95% de chances pour que le paramètre de densité soit compris entre 1.0008 et −1.0029.Aussi, dans les développements mathématiques des prochains chapitres, je supposerais que la courbure est nulle.

Reformulation de la première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de reformuler la première équation de Friedmann avec ce paramètre de courbure. Cependant, cela demande de fournir différents paramètres de densité. En effet, il ne faut pas oublier l'influence différentielle du facteur d'échelle sur la matière, l'énergie de rayonnement et la courbure. Pour cela, il faut utiliser différents paramètres de densité : un pour la matière, un autre pour le rayonnement, et un autre pour la courbure. Le premier est égal à la densité de matière divisée par la densité critique et est noté . Le second est égal à la densité de rayonnement divisée par la densité critique et est noté . Même principe pour le rapport entre densité de courbure et densité critique .



Les modèles cosmologiques

Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

Résoudre l'équation du fluide de Friedmann n'est pas très complexe, mais demande quand même quelques astuces mathématiques. Une solution pour simplifier les calculs consiste à réduire le nombre d'inconnues à un seule. Au lieu de travailler avec la pression et a densité, il est possible de ne travailler qu'avec la densité. Cela demande de postuler une relation entre la densité d'énergie et la pression. Cette relation est ce qu'on appelle une équation d'état.

La reformulation des équations de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Généralement, on postule que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. La relation entre pression et densité est donc de la forme :

Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que la courbure de l'univers est nulle, afin de simplifier les calculs. Cette simplification est cependant une très bonne approximation de l'univers réel, toutes les observations semblant indiquer une courbure nulle.

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

En introduisant dans l'équation du fluide de Friedmann, on obtient l'équation différentielle suivante :

Qui peut se reformuler comme suit :

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut aussi injecter la formule dans la seconde équation de Friedmann, ce qui donne :

On simplifie par  :

Puis, on factorise  :

Puis on simplifie par 3 :

On peut alors en déduire l'accélération de l'univers en fonction de la valeur de  :

  • Si , l'accélération s'annule : l'expansion est stable, n’accélère pas et ne décélère pas.
  • Si , l'accélération est négative : l'expansion décélère.
  • Si , l'accélération est positive : l'expansion accélère.

L'accélération de l'univers ne peut donc s'expliquer que si l'énergie noire a une équation d'état de la forme :

Les cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

La valeur de dépend selon que l'on considère la matière ou le rayonnement.

  • Pour la matière, on part du principe que celle-ci est un gaz parfait qui emplit l'espace. La pression d'un tel gaz est alors définie par la formule ci-dessous, avec la densité du gaz et v la vitesse moyenne de ses particules. Cependant, par souci de simplification, il est supposé que la vitesse des particules du gaz est très faible, au point qu'on peut la supposer nulle (ce qui marche bien pour de la matière qui va à faible vitesse).
  • Pour le rayonnement, il est établi par la physique du rayonnement que .
  • Pour l'énergie noire, on suppose que . Empiriquement, les mesures réalisées par le satellite Planck semblent compatibles avec la valeur w = −1.028 ± 0.032.

Ces valeurs ont des conséquences extrêmement différentes sur les résultats de l'équation. Pour un univers composé uniquement d'énergie noire, on déduit que l'expansion accélère sans cesse, vu que l'on a . Mais pour la matière et le rayonnement, on a , ce qui fait qu'un univers composé intégralement de matière et de rayonnement doit voir son expansion décélérer.

Le modèle cosmologique dominé par la matière[modifier | modifier le wikicode]

Le cas de l'univers qui ne contient que de la matière, sans rayonnement, ni constante cosmologique est le premier cas que nous allons aborder. Dans ce modèle, la matière est un gaz parfait dont les particules sont des galaxies ou des amas de galaxies. Cette hypothèse est crédible dans le sens où les amas de galaxies sont relativement éloignés et interagissent peu. Comme autre simplification, nous allons prendre le cas d'une matière froide, au zéro absolu. Cette autre hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : seul 10% de la matière sert à fabriquer de étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc vraiment très froid ! En appliquant la loi des gaz parfaits avec une température au zéro absolu, on trouve que la pression est nulle quelle que soit la densité. Dit autrement, .

La résolution de l'équation du fluide[modifier | modifier le wikicode]

Avec cette hypothèse, l'équation du fluide de Friedmann se simplifie alors en :

Ou encore :

La résolution de cette équation différentielle (laissée en exercice au lecteur) nous donne l'équation suivante. Avec quelques manipulations algébriques triviales, on retrouve un résultat établit il y a quelques chapitres : la densité de matière diminue avec le cube du facteur d'échelle.

Le calcul du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Dans un tel modèle, le facteur d'échelle évolue avec le temps en suivant cette équation :

Vu que les termes et sont des constantes (des constantes d'intégration, plus précisément), on peut les simplifier en une seule constante que nous noterons A. Cela donne l'équation suivante :

De cette équation, on peut obtenir les dérivées première et seconde (respectivement la vitesse et l'accélération de l'expansion) :

Le calcul du facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

En combinant le facteur d'échelle et sa dérivée, on retrouve le facteur de Hubble. Partons de la définition du facteur de Hubble :

Injectons l'équation obtenue plus haut.

Simplifions :

Le calcul de l'âge de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

A partir de l'équation précédente, on peut facilement dériver l'âge d'un tel univers hypothétique à partir du temps de Hubble.

Une autre démonstration, plus complète, est donnée ci-dessous.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann et simplifions-la en ne tenant en compte que la matière:

En se souvenant que , on a :

Multiplions par des deux côtés :

Prenons la racine carrée :

On utilise la formule  :

On isole le terme  :

En intégrant, il vient :

On peut alors déduire la valeur de la variable t, qui n'est autre que l'âge de l'univers. En supposant que le facteur d'échelle actuel vaut 1, l'équation se simplifie. Après quelques manipulations algébriques, on trouve que celui-ci est égal aux deux tiers du temps de Hubble.

Le calcul du rayon de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédent nous permet de calculer le rayon de l'univers observable. On a alors une équation étonnamment simple :


Démonstration

On a vu dans le chapitre sur l'univers observable que le rayon comobile de l'univers se calcule avec l'équation suivante :

On peut remplacer le facteur d'échelle par la valeur calculée ci-dessus, ce qui donne :

Le résultat de cette intégrale est le suivant :

En utilisant l'âge de l'univers calculée plus haut, on a :

On voit que le rayon de l'univers est le double du rayon de Hubble.

Le modèle cosmologique dominé par le rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas où on considère un univers entièrement rempli de rayonnement, on, postule que le rayonnement est formé d'un gaz parfait de photons. Dans ces conditions, le comportement des photons fait que :

.

Résolution de l'équation du fluide[modifier | modifier le wikicode]

On obtient alors :

Ou encore :

La résolution de cette équation différentielle (laissée en exercice au lecteur) nous donne l'équation suivante. Avec quelques manipulations algébriques triviales, on retrouve un résultat établit il y a quelques chapitres : la densité de matière diminue avec la puissance quatrième du facteur d'échelle.

Évolution temporelle du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Dans un tel modèle, le facteur d'échelle évolue avec le temps en suivant cette équation :

On peut simplifier le tout en supposant que le facteur d'échelle actuel est unitaire, ce qui donne l'équation suivante :

Détermination de l'âge de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

En ne tenant compte que du rayonnement, la première équation de Friedmann se reformule ainsi.

A partir de cette équation, on peut facilement dériver l'âge d'un tel univers hypothétique à partir du temps de Hubble.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann et simplifions-la en ne tenant en compte que du rayonnement :

En simplifiant par ; on a :

En intégrant, il vient :

On peut alors déduire la valeur de la variable t, qui n'est autre que l'âge de l'univers. En supposant que le facteur d'échelle actuel vaut 1, l'équation se simplifie. Après quelques manipulations algébriques, on trouve que l'âge d'un tel univers est simplement le double du temps de Hubble.

Rayon de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédent nous permet de calculer le rayon de l'univers observable. On a alors une équation étonnamment simple :


Démonstration

On a vu dans le chapitre sur l'univers observable que le rayon comobile de l'univers se calcule avec l'équation suivante :

On peut remplacer le facteur d'échelle par la valeur calculée ci-dessus, ce qui donne :

Le résultat de cette intégrale est le suivant :

En remplaçant l'âge de l'univers par sa valeur calculée précédemment, on a :

On voit donc que le rayon de l'univers est le double du rayon de Hubble.

Le modèle cosmologique dominé par l'énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

La constance de la densité d'énergie noire a une conséquence assez intéressante : la densité étant constante, le facteur de Hubble est constant lui aussi. Cela signifie que l'énergie noire influence l'expansion de l'univers, mais a des effets strictement inverses à ceux de la matière ou du rayonnement.

Le calcul du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La constance du facteur de Hubble a des conséquences assez intéressantes, qui peuvent se déduire de la définition du facteur de Hubble. Pour rappel, la définition du facteur de Hubble en fonction du facteur d'échelle donne :

Multiplions par des deux côtés :

Intégrons sur  :

Dans le premier terme, H est une constante, ce qui donne :

Le calcul des intégrales donne :

Prenons l'exponentielle des deux cotés :

En injectant l'équation , on a alors :

Cette équation nous dit que le volume de l'univers augmente de manière exponentielle avec le temps. Ce qui est beaucoup plus rapide que dans les deux autres modèles, où la croissance est plus lente. Ce plus, cette équation dit que l'univers a un âge infini : vu qu'une exponentielle ne peut être nulle, le facteur d'échelle et le volume de l'univers ne peuvent pas être nuls. Dit autrement : la singularité initiale est totalement évitée !

Le modèle cosmologique : cas général[modifier | modifier le wikicode]

Pour finir, nous allons étudier le cas général où on ne donne pas de valeur particulière pour . On doit alors repartir de l'équation suivante :

Facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La résolution de cette équation nous donne :

Ou encore, si le facteur d'échelle actuel est de 1 :

Facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Cette équation peut nous donner directement le facteur de Hubble. Pour cela, on peut calculer la dérivée du facteur d'échelle, ce qui donne :

Or, vu que , on a :

En divisant par a et en multipliant par dt, on a :

Age de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

On peut alors calculer l'âge de l'univers, sous la condition que w > -1.



Thermodynamique de l'expansion

Au tout début de sa formation, l'univers était clairement chaud et dense : les températures quelques microsecondes après le big-bang dépassaient le million voire le milliard de degrés. L'univers était en première approximation un gaz parfait de particules très différentes : neutrons, protons, neutrinos, électrons, photons, quarks, et autres. Au tout début de l'univers, les températures étaient tellement fortes que toutes les populations de particules réagissaient entre elles : à peu-près n'importe quelle particule pouvait se transformer en une autre, homogénéisant les températures. Le mélange était tel que l'on pouvait définir une température moyenne valable pour tous les types de particules : les neutrons avaient une température moyenne similaire à celle des protons, elle-même identiques à celle des quarks, etc. On dit que l'équilibre thermique est respecté. Les différences d'équation d'état étaient ainsi mineures, et étaient compensées par les nombreuses interactions entre particules.

Le découplage des photons et neutrinos[modifier | modifier le wikicode]

La température baissant avec l'expansion, certaines interactions entre particules deviennent de plus en plus rares. Par exemple, en-dessous d'une certaine température, certaines réactions entre neutrinos et matière deviennent rares, voire inexistantes. Ces populations de particules cessent alors d'interagir. Lorsque cela se produit, l'équilibre thermique est rompu : les deux populations de particules s'isolent thermiquement, et divergent en terme de température moyenne. On nomme découplage de telles situations où deux populations de particules n'interagissent plus à la suite d'une baisse de température. Après un découplage, chaque population de particule a sa propre équation d'état : un gaz monoatomique n'aura pas le même coefficient w qu'un gaz de protons ou un gaz d'électrons. Ainsi, une population de particule se refroidira différemment d'une autre. Par exemple, le rayonnement s'est refroidi plus vite que la matière, à cause de la diminution de fréquence des photons (la température du rayonnement n'est autre que la moyenne de l'énergie des photons, qui diminue avec le facteur d'échelle, comme vu précédemment).

Le découplage des photons[modifier | modifier le wikicode]

La matiere neutre est transparente, ce qui induit un découplage des photons.

Le cas le plus classique est celui du découplage des photons, qui s'est produit 380 000 ans après le big bang lorsque la matière est passée de l'état de plasma à un gaz d'atomes. Avant ce découplage, la matière était composée d'un plasma d'électrons libres, de baryons (protons, neutrons, noyaux d'atomes), et de photons. Les photons interagissaient fortement avec les électrons, par diverses processus (diffusion Compton, et autres). Ces interactions faisaient que les photons échangeaient de la quantité de mouvement avec les électrons, ce qui redistribuait la température : les photons chauffaient les électrons et réciproquement. Un équilibre thermique s'était ainsi installé entre photons et électrons libres, les deux ayant la même température/énergie cinétique moyenne. Cet équilibre incluait aussi les baryons, bien que les baryons n'interagissaient pas directement avec les photons : les baryons interagissaient fortement avec les électrons, qui servaient d'intermédiaires avec les photons. Ce plasma avait naturellement des propriétés thermodynamiques simples : une pression, une température, un volume, etc. Sa pression était essentiellement causée par la pression de radiation des photons, avec une participation mineure de la pression des électrons libres et des baryons.

Après le découplage, les électrons se sont mis à orbiter autour des noyaux, formant des atomes. Ces électrons n'étant plus libres, ils interagissaient bien moins avec les photons. Les photons n'avaient plus d’électrons libres à disposition, ceux-ci étant enfermés dans les atomes. Les photons ont donc vu leurs interactions avec la matière diminuer fortement, et ont continué leur vie chacun dans leur coin. Une partie de ces photons ont survécu jusqu’à aujourd'hui et continuent de se balader dans l'univers : ils forment le rayonnement de fond diffus cosmologique, aussi appelé CMB (Cosmic Microwave Background).

Le CMB a été théorisé avant d'être découvert. Dans un article de 1948, Alpher et ses collègues théorisèrent l'existence du CMB à partir d'un modèle de big-bang usuel. Mais il fallut attendre 1965 pour que ce signal soit observé pour la première fois, par Penzias et Wilson. Ceux-ci utilisaient une antenne de grandes dimensions, pour tester la fiabilité des communications entre satellites, et étudiaient des interférences radio qui apparaissaient à haute fréquence. Leurs investigations leur ont permis de capter un signal dans la bande de 4Ghz, qui avait des caractéristiques étranges : isotrope, non-polarisé et libre de toute variation saisonnière. L'origine de ce signal est restée inconnue durant quelques années, mais les scientifiques (dont Pensias et Wilson) avaient éliminé toute origine terrestre. Il fallu que Dicke et ses collaborateurs fassent le lien avec l'article d'Arpher. Par la suite, diverses campagnes d'observation ont permis d'obtenir une carte assez détaillée du fond diffus. De nombreux projets d'observations scientifiques ont ainsi observé le fond diffus cosmologique avec une précision de plus en plus grande : COBE, puis WMAP, et enfin la mission PLANCK.

Les observations de Penzias et Wilson montraient un CMB relativement uniforme. Par la suite, les observations du satellite COBE ont montré que le CMB a l'air d'avoir une structure en forme de dipôle, à savoir qu'il a un pole chaud opposé à un pole froid. On pourrait croire que cela réfute l'idée d'un univers isotrope, mais il est rapidement apparu que cette structure en dipôle était liée au mouvement de la Terre par rapport au CMB. Ce mouvement est à l'origine d'un effet Doppler : les zones du CMB qui s'éloignent de nous sont vues comme refroidies, alors que les zones qui s'approchent (opposées, donc) sont vues comme plus chaudes. Les observations plus récentes éliminent cet effet Doppler par divers traitements informatiques, et montrent un CMB sans dipôle, mais avec quelques inhomogénéités. On observe notamment une zone plus chaude au niveau de l'équateur, liée à la présence de la voie lactée (notre galaxie), qui réchauffe quelque peu le CMB de par son rayonnement.

Fond diffus cosmologique

Le découplage des neutrinos[modifier | modifier le wikicode]

La même chose a eu lieu pour les neutrinos et anti-neutrinos qui se sont découplés de la matière et des photons un peu avant les photons. Ce fond diffus de neutrinos est malheureusement nettement moins étudié que le fond diffus cosmologique, car les neutrinos n'interagissent pas beaucoup avec la matière, et qu'ils sont donc difficiles à détecter. Nous n'en parlerons donc pas dans ce cours, par manque d'informations à leur sujet.

Le découplage des baryons, noyaux et atomes[modifier | modifier le wikicode]

Au tout début, on pouvait voir l'univers comme un mélange de plusieurs gaz composés de particules élémentaires. Du temps des fortes températures, quelques micro-secondes avant le big-bang, les particules composites ne pouvaient pas se former à partir de quarks : la température trop intense faisait que les particules composites étaient brisées par le chaos ambiant quelques microsecondes après leur formation. C'était essentiellement les photons et neutrinos qui réagissaient avec la matière et brisaient les structures ainsi formées. Il a fallu attendre que la température du rayonnement baisse pour que les quarks puissent s'assembler en protons et neutrons sans interagir avec un photon qui passe sur le chemin. Plus tard, protons et neutrons ont pu s'assembler pour former des noyaux, quand la température a atteint un certain seuil. Et ensuite, la même chose s'est produit avec les électrons et les noyaux pour former des atomes.

Calcul du rapport protons/neutrons[modifier | modifier le wikicode]

La théorie du big-bang nous permet de déterminer comment s'est produit ce processus. Une réussite de la théorie tient dans le fait qu'elle prédit le rapport entre le nombre de protons et de neutrons dans l’univers. Celui-ci peut se calculer à partir du raisonnement suivant. Avant que les noyaux se forment, les protons et neutrons étaient libres et formaient un plasma de nucléons. La température de ce plasma a diminué progressivement avec l'expansion. Peu avant la formation des noyaux, la température était faible comparé à la masse des protons et neutrons (). Dans ces conditions, le gaz peut être décrit par ce qu'on appelle la distribution de Maxwell-Boltzmann. Celle-ci dit que la quantité de particules d'énergie par unité de volume est de :

Ainsi, on peut calculer le rapport entre protons et neutrons. Il suffit de faire le calcul de la densité de protons, et de la densité de neutrons séparément, et de diviser le premier par le second :

Les protons et neutrons forment un plasma tant que protons et neutrons peuvent interagir. Il arrive notamment que des protons se transforment en neutrons et réciproquement. Ces transformations, des réactions nucléaires, ont une probabilité d’occurrence qui dépend de la température. Quand le produit descend en-dessous de 0.8 Mev, ces réactions deviennent de plus en plus rares, au point que l'équilibre thermique du plasma est brisé. Les quantités de protons et de neutrons sont alors figées, de même que le rapport de leurs densités volumiques. Les calculs donnent 6 protons pour 1 neutron : . Dit autrement, ème de la matière baryonique est sous la forme de neutrons, alors que ème sont des protons.

Par la suite, ce rapport va cependant évoluer à cause de désintégrations de neutrons en protons (désintégration bêta). Ces désintégrations suivent la fameuse loi de désintégration radioactive , avec égal à 880,3 s. On a alors :

Calcul de l'abondance de l'Hélium[modifier | modifier le wikicode]

Isotopes de l'hydrogène.

Les calculs précédents nous donnent toutes les bases pour calculer l'abondance de l'hélium et de l'hydrogène dans l'univers. Vous savez sans doute que la quasi-totalité de la matière des étoiles et planètes est sous la forme d'hélium et d'hydrogène, des particules formées par l'assemblage de neutrons et de protons. Un noyau d'hydrogène est formé d'un simple proton, le nombre de neutrons variant de zéro à quelques neutrons pour certains de ses isotopes assez rares (deutérium). La plupart de l'hydrogène ne contient qu'un seul proton, cette forme d'hydrogène étant appelé du protium. Les formes avec un neutron (deutérium) ou deux (tritium). Le protium est de loin la forme d’hydrogène dominante, les autres formes n'étant présentes que dans les étoiles, rarement dans le milieu interstellaire. Les quantités de deutérium et de tritium sont suffisamment rares pour qu'on les omette dans ce qui va suivre. Quant à l'hélium, il possède deux protons et deux neutrons pour son isotope le plus fréquent, les formes avec un seul ou trois neutrons étant encore une fois suffisamment rares pour qu'on les omette. Pour résumer, il y a quatre baryons dans un atome d'hélium (deux protons, deux neutrons) et un seul dans l'atome d'hydrogène.

On peut alors calculer le rapport entre le nombre de baryons dans les atomes d'hélium et le nombre total de baryons, que nous noterons . Nous allons noter le nombre d'atomes d'hélium alors que le nombre d'atomes de protium sera noté . Les nombres de neutrons et de protons seront notés et . On a alors :

On peut réécrire cette équation en utilisant uniquement le nombre de protons et de neutrons. On rappelle qu'un atome d'hélium a deux fois plus de baryons que de neutrons (autant de protons que de neutrons). Ce qui fait que . Le nombre total de baryons est, par définition, la somme du nombre de protons et de neutrons.

On peut réécrire cette équation en utilisant uniquement le rapport protons/neutrons calculé dans la section précédente. Il suffit pour cela de diviser l'équation précédente par le nombre de protons. On a alors :

En utilisant la valeur de 1/7 calculée dans la section précédente, on trouve que , ce qui est très proche de la valeur observée.



Le fluide cosmologique

On peut modéliser l'ensemble matière + rayonnement comme un fluide non relativiste (en clair, un fluide dont la vitesse des particules est petite devant la vitesse de la lumière). Un tel fluide est gouverné par les équations de la mécanique des fluides, et on pourrait penser qu'il suffit de réutiliser les équations de la mécanique des fluides telles qu'elles. Cependant, les équations de la mécanique des fluides usuelle ne s'appliquent pas sans modifications, du fait de l'expansion de l'univers.

Pour comprendre pourquoi, il faut savoir que les équations de la mécanique des fluides décrivent l'évolution d'un petit volume infinitésimal de fluide, appelée particule de fluide. Ce volume est pris très très petit, de manière à donner l'illusion que le fluide est un milieu continu. Dans le cas de l'univers, le très très petit signifie une taille petite comparée à l'horizon cosmologique, ce qui fait que les volumes des particules fluides peuvent être extrêmement grands comparé à la normale. Dans ces conditions, tenir compte du volume des particules fluides est absolument primordial. Or, les équations de la mécanique des fluides "usuelle" sont démontrées en partant du principe que ce volume infinitésimal de fluide reste constant. Ce serait le cas si l'expansion de l'univers n'existait pas, mais l'expansion fait que ce volume augmente avec l'expansion. Et il en est de même avec la surface des particules fluides, ainsi que des distances parcourues par le fluide... Autant dire qu'il faudra donc redémontrer les équations de la mécanique des fluides pour tenir compte de ce phénomène.

Les équations de conservation "usuelles"[modifier | modifier le wikicode]

Les trois équations de la mécanique des fluides sont des équations de conservation : elle portent d'ailleurs les noms d'équation de conservation de la masse, d'équation de conservation de l'énergie et d'équation de conservation de la quantité de mouvement. Elles disent que la masse, l'énergie et la quantité de mouvement se conservent lors de l'évolution d'un fluide. Démontrer ces équations de conservation demande de simplement faire le bilan des variations, entrées et sorties de la particule fluide.

Variation interne + Entrées/sorties = ...

Le terme de variation interne est naturellement un terme de la forme :

Le flux entrant/sortant d'une quantité se calcule en multipliant la vitesse par un opérateur appelé divergence, qui donne l'intégrale du flux entrant à travers la surface de la particule fluide :

Pour résumer, toute équation de la mécanique des fluides prend la forme suivante. Elle décrit une quantité A, entrainée à la vitesse v, et dont une quantité S est produite à chaque instant :

Rappels sur les opérateurs vectoriels
Le gradient est aux vecteurs ce que la dérivée est aux scalaires/fonctions. Dans le cas des nombres, les deux se confondent d'ailleurs.
La divergence est la somme des termes du gradient :

On peut remarquer que sa notation explicite bien la nature de la divergence. L'opérateur n'est autre que l'opérateur gradient, alors que l'opérateur signifie que l'on fait la somme de tous les termes d'un vecteur. Attention : l'opérateur se place après le dans l'écriture, mais il est en réalité appliqué après que le gradient ait été calculé.

La divergence est un opérateur dit linéaire, ce qui veut dire que :

  • La divergence d'une somme est la somme des divergence.
  • La divergence d'un multiple est le multiple de la divergence.

Si f est un scalaire constant et uniforme, la formule précédente se simplifie et devient alors :

Le laplacien est tout simplement la divergence du gradient. Ce qui revient à appliquer deux fois l'opérateur gradient, avant d'additionner les termes du vecteur obtenu.

La conservation de la masse[modifier | modifier le wikicode]

Par exemple, l'équation de conservation de la masse s'établit en faisant la somme des entrées/sorties de masse du volume (flux entrant/sortant) et de la variation de la masse de la particule fluide (variation interne). Vu que la masse se conserve, toute variation interne de masse de la particule doit provenir d'un flux entrant ou sortant : la masse de la particule diminue avec un flux sortant et augmente avec un flux entrant. La somme des deux termes est nulle, ce qui traduit le fait que toute variation de ces grandeurs provient d'un flux égal à travers la surface du volume.

Vu qu'il n'y a pas de source de masse, on a l'équation suivante :

Variation interne = Flux entrant/sortant, ou encore : Variation interne + Entrées/sorties = 0.

On a donc :

En divisant le tout par le volume infinitésimal, on a :

La conservation de la quantité de mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Pour la quantité de mouvement, les choses sont plus compliquées. Le fait est que du point de vue de la particule de fluide, les forces sont des sources de quantité de mouvement, qui donnent l'illusion que de la quantité de mouvement est créé. La somme entre variation interne et flux ne peut pas être nulle en présence de forces, celles-ci s'ajoutant à la quantité conservée de quantité de mouvement. Dans ce cas, la variation de quantité de mouvement et son flux sont causées par des forces, ce qui donne :

Variation interne + Entrées/sorties = Forces.

On suppose l'existence de deux forces : la force causée par le gradient de pression et la gravité. La gravité est elle-même liée à un gradient : le gradient du potentiel gravitationnel . On a donc :

La masse étant constante, on peut simplifier par celle-ci :

Les équations au complet[modifier | modifier le wikicode]

Il y a une équation de conservation pour la masse et la quantité de mouvement, à laquelle on pourrait ajouter une équation de conservation de l'énergie. À ces équations, il faut ajouter une équation qui décrit le champ de gravité.

En supposant que le volume de la particule fluide est constant, les équations obtenues sont alors les suivantes :

Nom de l'équation Équation vectorielle Seconde forme de l'équation Description
L'équation de conservation de la masse du fluide.
L'équation de bilan de la quantité de mouvement. Équation équivalente à pour un fluide.

Les équations du fluide avec l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

On peut retrouver les équations de Friedmann à partir des équations précédentes : il suffit d'utiliser l'équation , et de faire quelques manipulations algébriques. Dit autrement, on ne prend en compte que l'effet de l'expansion et on néglige l'effet des vitesses locales. Les équations se simplifient alors.

Dérivation de l'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Par exemple, prenons l'équation de conservation de la masse :

Injectons la loi de Hubble :

Appliquons maintenant la définition de la divergence : .

On a alors l'équation :

Cette équation ressemble à l'équation du fluide de Friedmann, bien qu'il manque la pression. Cependant, nous devons rappeler que la pression est, par définition, une densité d'énergie par unité de volume. Or, on sait que énergie et masse sont reliées par l'équation d'Einstein . La densité de l'équation précédente est donc la somme d'une densité de matière et d'une densité d'énergie liée à la pression. On retrouve alors l'équation du fluide de Friedmann :

Dérivation de la seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

La seconde équation de Friedmann se dérive en prenant la divergence de l'équation d'Euler et en utilisant l'équation dite de Poisson pour calculer le terme gravitationnel.

Mais avant de faire cela, nous devons simplifier l'équation d'Euler. Il nous faut notamment déterminer la valeur du terme . Il se trouve que la première équation de conservation nous a permis de déduire que :

En injectant dans l'équation d'Euler, on trouve :

Il ne reste plus qu'à prendre la divergence. De laborieux calculs permettent alors de retrouver la seconde équation de Friedmann.

Les équations de conservation en coordonnées comobiles[modifier | modifier le wikicode]

Pour décrire l'évolution du fluide dans un univers en expansion, il faut prendre en compte le fait que le volume de la particule fluide augmente avec le facteur d'échelle. Ce que les équations précédentes ne faisaient pas, supposant un volume constant. Les équations précédentes ne fonctionnent pas telles qu'elles. Par exemple, prenons l'équation de conservation de la masse et supposons qu'il n'y pas de flux entrant ou sortant de matière. On devrait avoir . Cependant, l'expansion va faire gonfler la particule fluide, ce qui diluera son contenu : sa masse restant constante, sa densité va diminuer avec le temps, ce qui contredit l'équation précédente ! Les équations précédentes ne donnent pas une version correcte de la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie.

On peut cependant remarquer que l'on peut utiliser des distances, vitesses et volumes comobiles pour résoudre ce problème. Le volume comobile de la particule fluide ne change pas avec l'expansion, pas plus que sa surface comobile ou sa vitesse comobile. Intuitivement, la densité comobile (masse / volume comobile) se comporte comme la densité dans les équations précédentes. Même chose pour les autres grandeurs comobiles. Cependant, les opérateurs divergence et gradient doivent tenir compte du fait qu'on travaille en coordonnées comobiles, ce qui demande de les reformuler. Nous allons donc devoir reformuler les équations de manière à utiliser des coordonnées comobiles . La reformulation du gradient est assez simple :

La divergence n'est que la somme des termes du gradient, ce qui donne :

Enfin, la vitesse à utiliser doit être la vitesse locale, à savoir :

Une fois cela fait, on obtient les équations suivantes.

Nom de l'équation Équation
L'équation de conservation de la masse du fluide.
L'équation de bilan de la quantité de mouvement.


Les perturbations cosmologiques

L'origine des galaxies et autres super-structures de plusieurs milliards d'étoiles est encore assez mal connue. Cependant, on sait que divers processus sont à leur origine. La gravité a naturellement joué un rôle prédominant, en forçant les étoiles à se rapprocher en amas de plusieurs millions/milliards d'étoiles. Mais la nature exacte et le déroulement de ce processus est encore assez mal connu : les étoiles se sont-elles formées en premier avant de se regrouper en galaxies ou bien les galaxies se sont-elles formées avant de se fragmenter en amas puis en étoiles ? Personne ne le sait à l'heure actuelle. La seule chose qui est certaine est que ces structures se sont formées à partir de zones de sur-densités, qui ont grossit de plus en plus sous l'effet de la gravité au point de donner des structures comme des galaxies. Il existe une théorie qui explique les grandes lignes de cette évolution des sur-densités : c'est la théorie des perturbations cosmologiques. Nous allons l'aborder dans ce chapitre.

Les précurseurs des galaxies, amas de galaxies et autres "structures cosmologique" sont des zones où la densité est plus grande qu'aux alentours. La densité n'était en effet pas uniforme et on observait des zones où la densité était plus faible ou plus grande que la moyenne. Ces petites variations de densité ont reçu le nom d'inhomogénéités. La densité dans une surdensité est modélisée comme une petite perturbation par rapport à la densité moyenne , ce qui donne :

Gaussian 2d

Les inhomogénéités sont supposées provenir d'agitations aléatoires de la matière et du rayonnement dans l'univers primordial. Les scientifiques ont de bonnes raisons de penser que ce fluctuations aléatoires étaient des fluctuations dites gaussiennes : la probabilité d'observer la perturbation en un endroit est définie par une fonction gaussienne, la fameuse courbe en cloche. Mais peu importe la manière dont elles sont générées, cela ne change rien à leur évolution future. Ces fluctuations de densité vont ensuite évoluer : certaines vont grossir, d'autres vont diminuer, etc. L'évolution des perturbations est gouvernée par divers processus que nous aborderons dans les chapitres suivants. Quoiqu'il en soit, la distribution initiale sera modifiée au cours du temps. On peut résumer cela en disant qu'on peut obtenir la distribution à un instant à partir de la distribution à un instant t en multipliant cette dernière par une fonction de transfert. Celle-ci va atténuer ou accentuer certaines perturbations initiales, donnant une nouvelle distribution statistique des perturbations.

Les équations du "fluide primordial" avec les inhomogénéités[modifier | modifier le wikicode]

Pour rendre compte de l'évolution des inhomogénéités, on réutilise les équations en coordonnées comobiles du chapitre précédent. Celles-ci sont, pour rappel :

On doit injecter dans ces équations.

L'équation de conservation de la masse perturbée[modifier | modifier le wikicode]

Prenons l'équation :

Injectons l’équation  :

Le terme étant constant, on peut le sortir de la dérivée du terme de gauche.

Divisons par  :

Simplifions la dérivée :

Les équations linéarisées[modifier | modifier le wikicode]

Les équations obtenues sont les suivantes :

Ces équations ne peuvent cependant pas être résolues à l'heure actuelle, car ce ne sont pas des équations linéaires. On peut cependant supposer que la perturbation est petite : . Si l'on prend cette approximation, on a immédiatement : . Les équations deviennent alors :

De plus, cette approximation fait que les termes non-linéaires peuvent être négligés et supprimés des équations. Dit autrement, on ne conserve que les termes linéaires, en supprimant tout carré ou terme de puissance > 1. Seuls les termes proportionnels à sont conservés, les autres étant tout simplement mis à 0. La conséquence est que le terme dans l'équation d'Euler disparait. Les équations après linéarisation sont les suivantes :

La divergence de l'équation d'Euler[modifier | modifier le wikicode]

Dans la suite des calculs, nous aurons à faire de nombreuses linéarisations, ce qui fait que les calculs se simplifieront progressivement. La première simplification, consiste à prendre la divergence de l'équation d'Euler. L'utilité de cette reformulation deviendra évidente sous peu. Prenons donc l'équation d'Euler et prenons sa divergence des deux cotés de l'équation :

La divergence d'une somme est la somme des divergences, ce qui simplifie le terme de gauche :

On utilise ensuite la formule , ce qui simplifie le terme de droite, ainsi que le terme : .

La divergence d'un gradient est identique au laplacien, ce qui donne :

On applique alors l'identité suivante :

Les relations entre densité et autres paramètres de l'équation d'Euler[modifier | modifier le wikicode]

Les inhomogénéités vont naturellement influencer la pression et le potentiel gravitationnel, ainsi que la vitesse du fluide. Les zones plus denses que leur voisinage auront naturellement une gravité plus grande que leur entourage. De même, leur pression sera supérieure vu que la gravité va compresser la matière dans la sur-densité, augmentant donc sa pression. Enfin, il en est de même pour la vitesse du fluide. Sous l'effet de la pression, la matière va tendre à fuir la sur-densité où elle est comprimée : la matière va donc avoir une vitesse sortante supérieure à l'environnement. Mais cette vitesse est contrariée par la gravité, qui tend à faire rentrer la matière et donc à lui imposer une vitesse entrante non-nulle. Mais les équations précédentes ne permettent pas de rendre compte de ce phénomène : les termes de pression et de potentiel gravitationnel ne sont pas exprimés en fonction de la densité. On doit donc trouver des relations entre densité, pression et potentiel gravitationnel. Avec ces relations, on pourra reformuler les équations du fluide avec seulement la densité.

La relation entre densité et vitesse locale[modifier | modifier le wikicode]

Le premier paramètre de l'équation d'Euler est la divergence de la vitesse locale. Celle-ci est en effet le seul constituant de son premier terme, avec le facteur de Hubble et le facteur d'échelle. On voit que ce premier terme contient la divergence de la vitesse, sa dérivée, et la vitesse locale elle-même.

On peut relier cette divergence à la densité en utilisant l'équation de conservation de la masse. Celle-ci donne en effet une relation entre la divergence de la vitesse et la densité. Ce n'est pas une relation directe avec la vitesse locale, mais c'est déjà un bon début.

On injecte alors cette équation dans les équations linéarisées :