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Cosmologie

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Le paradoxe d'Olbers

Nous allons commencer ce cours avec une question simple, qui est paradoxalement une excellente introduction à la cosmologie :

Pourquoi la nuit est-elle noire ?

Cette question peut sembler étrange, tant nous sommes habitués à voir les étoiles sur un fond noir. Bien que la lumière artificielle nous cache les étoiles et éclaire le ciel nocturne, nous savons que cette lumière cache le noir de la nuit, ses étoiles et la Lune. Mais l'expliquer est une autre paire de manches. Il a fallu du temps avant de trouver une explication satisfaisante et les anciens astronomes avaient d'autres réponses que les scientifiques contemporains.

Les astronomes de l'antiquité n'étaient eux-mêmes pas surpris par l'obscurité de la nuit. Pour simplifier, ils pensaient les étoiles attachés à une sphère céleste, une sorte de sphère/coupole géante qui recouvre le ciel. S'ils supposaient que la Terre tourne sur elle-même, ils supposaient la sphère céleste fixe, expliquant le mouvement des étoiles au cours de la nuit et des saisons. Pour être plus précis, leur pensée utilisait plusieurs sphères : une pour le Soleil, une pour la Lune, une pour les étoiles proches, une pour les étoiles fixes des constellations (la plus lointaine) et bien d'autres. Mais beaucoup de savants avaient compris que ce modèle de sphères concentriques était tout au plus un artifice de calcul, utile, mais faux.

Terre dans la sphère céleste.
Sphères célestes emboitées d'Anaximandre.

Avec les progrès de l'astronomie, et notamment l'arrivée des modèles géocentriques et héliocentriques, ce modèle de sphères emboitées fût remis en cause. Pour les astronomes du moyen-âge et de la renaissance, les étoiles et astres n'étaient pas fixés sur des sphères, mais peuvent emplir tout l'espace. La répartition des étoiles était supposée globalement uniforme, avec certes des variations à petite échelle, mais qui cache une grande homogénéité à grande échelle. De plus, la lumière de ces étoiles se déplaçant dans le vide intersidéral en ligne droite, ce qui rend les étoiles visibles depuis la Terre, tant qu'il n'y a pas d'obstacle entre elles et la Terre. De plus, leur vision de l'univers évolua vers un modèle d'univers infini, immobile, éternel. Par immobile, on veut dire que les effets de la gravité des astres s'annulent mutuellement sur de grandes distances. Chaque galaxie s'éloigne ou se rapproche de la nôtre, mais dans l'ensemble, ces différents mouvements devraient se compenser et la moyenne des vitesses des galaxies serait nulle. Par infini, on veut dire que l'univers a un volume infini : il n'a pas de début ni de fin, pas de frontières ou de bords, etc. Et par éternel, on veut dire qu'il a un âge infini, qu'il n'a pas de début et de fin. Mais les astronomes du moyen-âge et de la renaissance comprirent rapidement que le noir de la nuit était incompatible avec ce qu'ils savaient de l'univers.

Le paradoxe d'Olbers[modifier | modifier le wikicode]

Nombre d'étoiles visibles depuis la Terre en fonction de leur distance.

Si l'univers est infini et statique, le ciel devrait être extrêmement lumineux. Si l’univers est infini, il contient une infinité d'étoiles. Et s'il existe depuis un temps infini, la lumière de toutes ces étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre. En conséquence, le ciel devrait être éclairé par une infinité d'étoiles. Peu importe où on regarde de la voute céleste, on devrait y voir une étoile à cet endroit. Alors certes, les étoiles lointaines nous envoient directement moins de lumière que les étoiles proches. Après tout, plus un objet est lointain, moins on reçoit sa lumière, qui est répartie dans toutes les directions. Mais cela est compensé par le fait que plus la distance d'émission est grande, plus il y a d'étoiles à cette distance. Le schéma ci-contre illustre ce fait. La baisse de quantité de lumière reçue est compensée par le plus grand nombre d'étoiles. Pour résumer, le ciel devrait être empli de lumière, cachant totalement le Soleil. C'était pour eux un paradoxe, appelé paradoxe d'Olbers, du nom de l'astronome qui le formalisa (d'autres astronomes, comme Kepler, avaient cependant mentionné ce paradoxe dans certains écrits, mais pas aussi explicitement qu'Olbers).

Pour mieux comprendre le problème, nous allons reprendre un développement mathématique assez connu qui formalise l'argument d'Olbers.

Modélisation de la répartition des étoiles[modifier | modifier le wikicode]

En premier lieu, on découpe l'univers en sphères concentriques. Chaque couche, chaque sphère, a une épaisseur égale à la distance moyenne entre deux étoiles. De plus, chaque couche est à une distance de la Terre.

Illustration d'une couche sphérique dans la démonstration d'Olbers.

Calcul du nombre d'étoile dans chaque couche[modifier | modifier le wikicode]

En second lieu, on calcule le nombre d'étoiles présentes dans chaque "sphère", dans chaque coque.

Pour cela, on utilise l'hypothèse suivante :

H1 : Les étoiles sont uniformément réparties.

Cette hypothèse dit que la densité d'étoile, à savoir le nombre d'étoiles par unité de volume, est constante. Dans ce qui suit, nous allons la noter .

Chaque "sphère", chaque coque, contient un nombre d'étoile égal à son volume multiplié par  :

Le volume d'une coque est approximativement égal à sa surface S multipliée par son épaisseur (la distance moyenne entre deux étoiles, notée D), ce qui donne :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

Calcul du flux de lumière émis par les étoiles d'une couche[modifier | modifier le wikicode]

En troisième lieu, on calcule le flux de lumière émis par une couche.

Pour cela, on part de l'hypothèse suivante :

H2 : Toutes les étoiles ont la même luminosité L.

On va utiliser cette hypothèse pour calculer le flux de lumière de chaque étoile. La physique du rayonnement nous dit que ce flux est égal à :

Le flux émis par toutes les étoiles d'une couche est la somme des flux de chaque étoile de la couche :

On utilise alors l'équation , démontrée plus haut :

On simplifie :

Cette équation nous dit que toutes les couches émettent la même quantité de lumière, ce qui n'est pas intuitif...

Calcul de la luminosité du ciel[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la sommation de la luminosité de chaque "couche". Vision du ciel avec un nombre d'étoiles grandissant, dans un univers infini et éternel.

En quatrième lieu, on combine la luminosité de toutes les couches pour trouver la luminosité totale du ciel.

Pour cela, on utilise les hypothèses suivantes :

H3 : Toutes les étoiles sont visibles depuis la Terre, il n'y a pas d'obstacle entre une étoile et la Terre.

Cela signifie qu'il faut prendre en compte toutes les couches dans le calculs.

H4 : L'univers est infini.

Le fait que l'univers est infini nous dit qu'il existe une infinité de couches concentriques.

H4 : L'univers est éternel.

Le fait que l'univers est éternel nous dit que la lumière de toutes les étoiles a eu le temps d'atteindre la Terre.

Il faut donc additionner la luminosité de toutes les couches existantes pour trouver le flux de lumière visible dans le ciel. Nous n'allons pas faire le calcul, mais on trouve un résultat infini. Intuitivement, la troisième étape suffit à comprendre pourquoi : chaque couche a une luminosité finie et identique à celle des autres couches, et il y a une infinité de couches. Le ciel devrait être infiniment lumineux !

Les "solutions" du paradoxe d'Olbers[modifier | modifier le wikicode]

Divers savant se sont écharpés sur le paradoxe d'Olbers et de nombreuses réponses y ont été apportées. La démonstration d'Olbers n'ayant pas de problèmes mathématiques particuliers, il fallu se rendre à l'évidence : certaines hypothèses utilisées dans la démonstration sont fausses. Reste à trouver lesquelles.

On peut remettre en cause l'hypothèse de la luminosité fixe des étoiles, mais cela ne mène à rien. Même en supposant que certaines étoiles émettent peu ou pas de lumière, on se retrouve quand même avec une somme infinie. Remettre en cause la répartition des étoiles n'aide pas non plus : on devrait avoir des endroits du ciel extrêmement lumineux, bien plus que le Soleil, ce qu'on n'observe pas. Les observations astronomiques montrent de plus que si l'univers est assez hétérogène à petite distance, il est fortement homogène à grande distance.

Une première possibilité "crédible" était que les étoiles lointaines ne sont pas visibles depuis la Terre. Leur lumière est bien émise mais n'arrive pas à destination, reste à en trouver la raison. Une première explication fût que la lumière était absorbée par des nuages de gaz, de poussière, ou tout autre obstacle entre les étoiles et la Terre. Mais cette explication était incorrecte. L'obstacle en question absorbe le rayonnement de l'étoile, ce qui le chauffe. Or, tout corps chauffé émet un rayonnement dit de corps noir, dont l'intensité augmente avec la température. À force de chauffer, l'obstacle atteint une température d'équilibre, où le rayonnement absorbé par l'obstacle est intégralement réémis vers la Terre. L'obstacle est alors aussi lumineux que l'étoile qui le chauffe. Retour à la case départ.

La seule solution est que l'univers n'est pas infini et/ou qu'il a un âge fini. Les deux solutions font que l'on ne doit additionner que les couches les plus proches de la Terre, située en-dessous d'un rayon maximal .

  • Si l'univers a un volume fini, il a de de facto un rayon maximal .
  • Si il a un âge fini , la lumière des étoiles très éloignées n'a pas eu le temps d'arriver sur Terre. Au-delà de la distance ( est la vitesse de la lumière), la lumière n'a pas encore pu arriver jusqu’à la Terre.



L'expansion de l'univers

Illustration de la relation entre la vitesse de fuite d'une galaxie et sa distance.

Dès 1918, les astronomes ont entrepris de mesurer la vitesse de galaxies à partir de la lumière qu'elles émettent. Les observations actuelles utilisent soit des étoiles variables (des céphéides), soit des étoiles qui explosent : les supernovas. Plus précisément, les astronomes utilisent une classe bien précise de supernovas, qui ont pour particularité de générer systématiquement la même luminosité : les supernovas de type Ia. La luminosité perçue depuis la Terre de ces supernovas est proportionnelle à la distance. Et les observations ne collent pas du tout avec cette hypothèse ! Dans les grandes lignes, on observe que les galaxies s'éloignent plus qu'elles ne se rapprochent. La conclusion est claire : l'univers s'étend, gonfle.

La loi de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Hubble a été le premier astronome à mettre en équation ce comportement, dans son article daté de 1929. Il étudia un grand nombre d'observations provenant de ses collègues, ainsi que les observations qu'il avait effectuées lui-même. De ces observations, il induit une loi statistique, du nom de loi de Hubble. Cette loi dit que la vitesse d'éloignement d'une galaxie est proportionnelle à sa distance. Dit autrement, cette loi est identique à la formule qui suit, dans laquelle v est la vitesse de fuite, D la distance de la galaxie et H un facteur de proportionnalité nommée paramètre de Hubble.

Le paramètre de Hubble est souvent appelé la constante de Hubble, mais les cosmologistes pensent qu'elle a évolué dans le temps, ce qui fait qu'il vaut mieux dire paramètre de Hubble.

La constante de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Mesures récentes du paramètre de Hubble.

Formellement, le paramètre de Hubble est égale à une vitesse divisée par une distance, ce qui fait qu'elle est l'inverse d'un temps. Le paramètre de Hubble H a donc pour unité , soit l'inverse d'une seconde. Mais dans les faits, les astronomes l'expriment en kilomètres par seconde par mégaparsecs (km/s/Mpc ou . Pour rappel, le mégaparsec est une unité astronomique qui vaut environ 3,26 millions d'années-lumière. Avec de telles unités, le paramètre de Hubble vaut :

Les mesures du paramètre de Hubble sont assez nombreuses, mais elles semblent converger vers la valeur de 70 mentionnée plus haut, avec cependant des incertitudes de mesure non-négligeables. Pour vous donner quelques exemples, les graphiques ci-dessous et ci-contre vous donnent les valeurs mesurées pour plusieurs compagnes d'observation assez anciennes. Vous voyez que la valeur n'est pas connue avec certitude.

Mesures de la constante de Hubble par plusieurs campagnes scientifiques.

Le temps de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Comme dit plus haut, le paramètre de Hubble est l'inverse d'un temps. Ce temps en question est appelé le temps de Hubble et nous le noterons . Par définition, il vaut :

Ce qui se reformule en :

Il vaut environ 14,4 milliards d'années et cette valeur est très proche de celle actuellement admise par les scientifiques pour l'âge de l'univers (13,6 milliards d'années environ). Précisons que si les estimations actuelles nous disent que les deux sont assez proches, mais rien ne nous dit qu'ils sont exactement identiques. Les mesures et estimations sont en effet entachées d'une marge d'erreur assez large, ce qui fait que les deux mesures peuvent sembler se confondre alors qu'elles sont peut-être légèrement différentes.

En tout cas, la théorie nous dit que temps de Hubble et âge de l'univers n'ont pas de raison de coïncider. Dans la plupart des théories mathématiques de la cosmologie, et âge de l'univers ne coïncident qu'en un seul instant bien précis. A tous les autres instants, ces deux valeurs sont différentes. La seule exception est un modèle théorique appelé le modèle (oui, le nom de cette théorie est bien une formule mathématique...), dans lequel le temps de Hubble et l'âge de l'univers se confondent à tout instant. Mais c'est l'exception qui confirme la règle. A l'heure actuelle, on ne sait pas si ce modèle décrit correctement l'univers actuel. Aussi, les scientifiques ne savent pas si la coïncidence actuelle entre temps de Hubble et âge de l'univers en est une ou est valide en permanence.

Le rayon de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Les observations plus récentes ont toutes confirmé la loi de Hubble. Mieux, elles ont même montré que les galaxies vraiment lointaines semblent s'éloigner plus vite que la lumière. En effet, au-delà d'une certaine distance, le produit dépasse la vitesse de la lumière, si l'on en croit les observations. Cela peut sembler paradoxal, mais on verra dans ce chapitre qu'il n'en est rien. La distance à partir de laquelle les objets semblent aller plus vite que la lumière porte un nom : c'est le rayon de Hubble, noté . Par définition, on a :

On peut calculer le rayon de Hubble en utilisant la loi de Hubble . Pour cela, injectons celle-ci dans l'équation précédente :

Cette formule peut se réécrire comme ceci :

Ou encore :

Notons que cette dernière formule est une tautologie sans grande importance, sans sens physique. Elle vient de la manière dont on définit le temps de Hubble et le rayon de Hubble, mais ne dit rien sur l'interprétation physique du temps ou du rayon de Hubble. Dans la plupart des modèles cosmologiques, temps de Hubble et rayon associé n'ont pas de sens physique et ne sont que des conventions. Par exemple, le rayon de Hubble n'est en rien la limite au-delà de laquelle la lumière n'a pas eu le temps de nous parvenir (en termes scientifiques, ce n'est pas un horizon). On peut parfaitement voir des objets qui sont situés au-delà du rayon de Hubble, et les astronomes l'ont déjà fait. Pareil pour le temps de Hubble, qui n'est pas à confondre avec l'âge de l'univers. Dans de nombreuses théories cosmologiques, le temps de Hubble est plusieurs fois inférieur ou supérieur à l'âge de l'univers. Bref, temps et rayon de Hubble sont des conventions.

L'expansion de l'univers et le facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Analogie de l'expansion de l'univers.

Aussi bizarre que cela puisse paraître, les scientifiques n'ont pas été étonnés de la découverte de la loi de Hubble. Il faut dire que la relativité générale était déjà bien avancée, et que les modèles d'univers en expansion ou en contraction étaient déjà étudiés à l'époque. De plus, cette équation avait été découverte quelques années auparavant par George Lemaitre, un abbé féru de sciences, qui avait déduit cette relation des équations de la relativité générale. Les équations de la relativité expliquent la loi de Hubble avec le concept d'expansion de l'univers : les corps matériels de l'univers s'éloignent les uns des autres au fil du temps. Les interprétations de la relativité disent que l'expansion de l'univers ne provient pas d'un mouvement des objets dans l'espace, mais d'une modification de la manière de calculer les distances avec le temps. L'image qui est souvent donnée dans la vulgarisation scientifique compare l'univers avec un gâteau au raisin qui gonfle progressivement, les raisins étant les galaxies.

Expansion de l'univers.

Avec la loi de Hubble, il est évident que l'univers devait être plus "petit" par le passé (plus précisément, la portion de l'univers qui correspond aujourd'hui à l'univers observable). En renversant l'écoulement du temps, l'univers se contracte progressivement, et on peut facilement imaginer qu'après un certain temps, tout le contenu de l'univers soit rassemblé en un seul point : la singularité initiale. L'univers serait alors né d'une dilatation de cette singularité initiale, dilatation qui porte le nom de big-bang. Mais cette vue de l'esprit pose de nombreux problèmes mathématiques. En effet, cette singularité implique que de nombreux calculs dépendant des distances donnent des divisions par zéro. Par exemple, le calcul de la pression, de la température, de la densité, ou d'autres paramètres physiques ne sont pas calculables. Tout ce que peuvent faire les scientifiques, c'est étudier ce qu'il s'est passé quelques secondes ou minutes après le temps qui correspond à cette singularité hypothétique. Les calculs actuels ne donnent plus de résultats crédibles au-delà d'une certaine durée, la durée de Planck. Celle-ci vaut environ secondes.

Le facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Mettre en équation le phénomène d'expansion de l'univers est assez trivial. Du fait de l'expansion, toute distance entre deux points sera multipliée par un facteur multiplicatif après une durée t. Pour calculer ce facteur multiplicatif, les physiciens font intervenir ce qu'on appelle le facteur d'échelle, noté . Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que nous prenons toutes les mesures dans un référentiel d'origine O, et que nous suivons la distance d'un objet matériel en fonction du temps. Nous allons comparer les distances entre un instant et un instant ultérieur. L'augmentation des distances à cause de l'expansion de l'univers se calcule comme suit :

Le rapport des facteurs d'échelle est un coefficient multiplicateur qui dit par combien les distances ont étés multipliées entre l'époque actuelle et l' instant . Dit autrement, le facteur d'échelle est ce par quoi il faut diviser les distances actuelles pour obtenir les distances à l'instant .

Notons que le facteur d'échelle est sans dimensions (il n'a pas d'unité).

Pour simplifier les calculs, on considère souvent que le facteur d'échelle vaut 1 à un instant idéal pour simplifier les calculs.Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie :

L’interprétation de cette équation est assez simple : si le facteur d'échelle augmente de X %, les distances font de même.

Les distances propres et comobile[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons la définition du facteur d'échelle vue précédemment :

Il est possible de réécrire la formule précédente comme suit :

Les distances et sont égale à une distance bien précise. Cette distance est en quelque sorte corrigée de l'influence des facteurs d'échelle. et . Elle peut s'interpréter comme la distance qu'auraient deux objets s'il n'y avait pas d'expansion. Elle est appelée la distance comobile. A contrario, la distance tient compte de l'expansion, qui augmente les distances entre deux objets. Les distances qui tiennent compte de l'expansion, opposées aux distances comobiles, sont appelées des distances propres. Par définition, les distances propres sont celles que l'on peut mesurer, qui ne sont pas corrigées de l'influence du facteur d'échelle.

Il existe une définition alternative de la distance comobile. C'est la distance mesurée à l'instant où .

Le lien entre vitesse et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La distinction entre distance comobile et propre peut aussi se faire pour les vitesses, volumes, surfaces et autres. Par exemple, il est possible de calculer une vitesse propre en dérivant la distance propre. Pour cela, on pourrait partir de la définition de la distance propre et en calculer la dérivée.

Mais les calculs seraient alors un petit peu longs, bien que pas difficiles. Pour éviter ce petit désagrément, nous allons ruser. A la place, nous allons calculer la dérivée de la distance comobile. La dérivée de la distance comobile est naturellement une vitesse, appelée la vitesse comobile. Elle correspond à la vitesse qu'aurait un objet s'il n'y avait pas d'expansion. Elle traduit le fait que les objets s'éloignent ou se rapprochent même sans expansion. Sachant que la distance comobile est définie par , on a :

On utilise la formule de la dérivée d'un quotient :

On simplifie par  :

Les deux termes : et sont techniquement des vitesses. Mais elles sont écrites en coordonnées comobiles, dans le référentiel où . Ce sont donc des vitesses que l'on ne peut pas mesurer. Pour passer dans le référentiel général, on doit multiplier par le facteur d'échelle :

Le terme n'est autre que la vitesse propre, la vitesse totale de l'objet qui incorpore les effets de l'expansion.

Cette équation peut se reformuler comme suit :

Le terme est ce qu'on appelle la vitesse locale. C'est la vitesse qu'à l'objet quand on retire l'effet de l'expansion, mais qu'on prend quand même en compte le facteur d'échelle. En effet, la vitesse comobile est mesurée dans un référentiel particulier, où . Et ce référentiel est situé arbitrairement dans le temps, pas forcément dans le temps présent. Pour obtenir la vitesse indépendante de l'expansion, on doit multiplier la vitesse comobile par , afin de tenir compte de la multiplication des distances au cours du temps.

On voit que la vitesse propre est la somme de deux vitesses. Une vitesse indépendante du facteur d'échelle et une autre qui dépend du facteur d'échelle. En clair, une vitesse indépendante de l'expansion et une qui y est proportionnelle. La première est une vitesse locale indépendante de l'expansion, alors que le second terme a pour origine l'expansion, d'où son nom de vitesse d'expansion.

Il faut noter que l'équation précédente nous explique pourquoi certaines galaxies très lointaines semblent s'éloigner de nous plus vite que la lumière. Si la vitesse locale ne peut dépasser la vitesse de la lumière, la vitesse de l'expansion n'est pas contrainte par . Ainsi, la vitesse supraluminique des galaxies lointaines provient de la vitesse de l'expansion et ne reflète pas une véritable vitesse supraluminique.

Le lien entre facteur d'échelle et paramètre de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Pour les objets éloignés, la vitesse locale est négligeable par rapport à la vitesse d'expansion. Il est donc utile, de supposer la vitesse locale nulle. Sous cette hypothèse, l'équation précédente se simplifie comme suit :

On retrouve la loi de Hubble en postulant que  :

Comme on le voit, la démonstration précédente nous donne la valeur exacte du facteur de Hubble.

Cette formule nous donne une nouvelle interprétation du facteur de Hubble : c'est la dérivée logarithmique du facteur d'échelle. Pour le dire plus clairement, il s'agit du taux, du pourcentage auquel l'expansion a lieu. Pour information, la dérivée s’interprète comme la vitesse de l'expansion de l'univers, la vitesse à laquelle croît le facteur d'échelle. Plus la vitesse de l'expansion est grande, plus l'univers grandit vite et s'étend rapidement. De même, la dérivée seconde de est l'accélération de l'expansion de l'univers : plus elle est grande, plus l'expansion devient de plus en plus rapide avec le temps. Le facteur de Hubble est donc la vitesse de l’expansion divisée par le facteur d'échelle, soit le taux de variation du facteur d'échelle. Intuitivement, il indique approximativement si le facteur d'échelle augmente de 5%, 10% ou 20% par unité de temps. Si H vaut 0.015, cela signifie que les distances augmentent de 1.5% par seconde.

Faites attention à ne pas confondre la vitesse de l'expansion avec la vitesse d'expansion qui est elle la vitesse d'un objet acquiert à cause de l'expansion.

Le lien entre expansion et facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

L'expansion, de part son action sur les distances, entraine naturellement une variation des surfaces, volumes et densités. Prenons par exemple une sphère de rayon et de volume  : son rayon augmentant avec le facteur d'échelle, son volume fera de même. Quelques calculs triviaux nous disent que son volume évolue avec le facteur d'échelle selon la formule suivante, avec le volume de la sphère à l'instant .

Cette équation nous permet de déduire le rapport entre le facteur de Hubble et l'expansion des volumes. Pour cela, commençons par calculer la dérivée du volume :

Divisons ensuite par V, ce qui revient à diviser par :  :

On simplifie par et par  :

On utilise ensuite l'identité : pour simplifier le terme de droite, ce qui donne :

, qui peut aussi s'écrire de manière moins compacte comme ceci : .

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous démontrerons l'équation du fluide de Friedmann.

L'accélération de l'expansion de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Il est intéressant de savoir si l'expansion se fait à vitesse constante, ou si l'expansion accélère/décélère. Pour simplifier les calculs, nous allons omettre la vitesse de la lumière et nous concentrer sur la vitesse de l'expansion de l'univers. Cela ne change rien aux résultats que nous allons obtenir vu que la vitesse de la lumière est constante : sa dérivée est donc nulle, ce qui la rend inutile dans les calculs de dérivée qui vont suivre.

La vitesse de l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

Une première étape pour savoir si l'expansion ralentit ou accélère, est de calculer l'accélération de l'expansion de l'univers. Cette accélération est simplement égale à la dérivée de la vitesse de l'expansion.

On peut alors appliquer la loi de Hubble pour déterminer la vitesse de l'expansion. En injectant dans l'équation précédente, on a :

Or, est simplement la vitesse d'expansion .

La vitesse de l'expansion peut se calculer avec la loi de Hubble, ce qui donne :

Le facteur de décélération[modifier | modifier le wikicode]

Il est courant que les cosmologistes utilisent ce qu'on appelle le facteur de décélération, un nombre calculé partir du facteur de Hubble. Celui-ci est positif si l'expansion est décélérée, négatif si elle accélère, et reste constante si la vitesse d'expansion reste constante. Par définition, ce facteur de décélération q vaut :

Pour le calculer, on part de l'équation . Quelques manipulations algébriques donnent alors :


Le décalage vers le rouge (redshift)

Illustration du redshift. La lumière émise par l'objet est à gauche, alors que la lumière reçue par l'observateur est à droite. On voit que la lumière émise est perçue comme décalée, du point de vue du spectre, entre émetteur et observateur.

Si vous regardez une galaxie ou une étoile au loin, sa lumière semble être décalée vers les basses fréquences (le rouge), comparé à sa couleur d'émission. Le fait est que, comme on le verra juste après, il existe une relation entre la vitesse d'un objet et le décalage de la fréquence de sa lumière. La lumière est émise par l'objet à une certaine fréquence, mais la fréquence reçue par l'observateur n'est pas la même. C'est ce décalage vers le rouge qui était utilisé pour mesurer la vitesse des galaxies par Hubble et ses collègues. Ce phénomène s'appelle le décalage vers le rouge, noté .

Quantifier ce phénomène est assez facile. Pour cela, les physiciens utilisent le rapport entre le décalage des longueur d'onde causé par l'expansion, et la longueur d'onde d'émission :

Cette quantité, notée , est appelée le décalage vers le rouge, ou encore le redshift. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelle est la relation entre la vitesse d'une galaxie et son décalage vers le rouge. Nous verrons ensuite que le redshift a un lien très fort avec l'expansion de l'univers.

Par souci de lisibilité, nous noterons parfois la dérivée première d'une variable , à savoir , comme ceci : . Le remplacement ne sera pas systématique, la notation étant plus courante et donc plus claire. La notation sera utilisée quand la notation est trop lourde, par exemple pour simplifier les formules de ce style : en .

La relation entre redshift et vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Les étudiants en physique apprennent que le décalage vers le rouge peut être causé par le mouvement d'un objet dans l'espace. Quand un objet s'éloigne de nous, à une certaine vitesse propre, la fréquence de la lumière qu'il émet baisse. Et réciproquement, un objet qui s'approche émettra une lumière plus bleuie, dont la fréquence a légèrement augmenté. C'est l'effet Doppler-Fizeau.

Illustration de l'effet Doppler-Fizeau.

En utilisant la physique de l'effet Doppler, on peut trouver une relation entre la vitesse de l'objet et le redshift. Suivant que l'on travaille en physique newtonienne, en relativité restreinte ou en relativité générale, les formules ne sont cependant pas les mêmes.

Le calcul du redshift en fonction de la vitesse[modifier | modifier le wikicode]

La physique classique donne la formule suivante, entre la vitesse de l'objet en mouvement et le décalage vers le rouge qui en découle. Cette relation est cependant une approximation, dérivée des équations de Newton, valide uniquement pour des objets dont la vitesse d'éloignement est faible. En clair, cette formule ne vaut que pour des objets cosmologiques "proches". Les astres lointains vont avoir une vitesse élevée du fait de , ce qui fait que la formule n'est alors plus utilisable.

La relativité restreinte donne une formule encore plus précise, histoire d'obtenir des résultats corrects pour des objets lointains. Voici la formule en question :

, ou encore

Enfin la relativité générale nous donne une formule encore plus générale, qui est cependant rarement applicable telle quelle.

Le calcul de la vitesse en fonction du redshift[modifier | modifier le wikicode]

On peut réécrire ces formules de manière à obtenir la vitesse de l'objet à partir de son redshift. La formule de la physique classique devient alors :

La relativité restreinte nous donne la formule suivante :

Enfin, la relativité générale nous donne la formule suivante :

La relation entre redshift et expansion de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

Relation théorique entre vitesse et redshift.

Appliquées de manière naïve à des galaxies lointaines, les formules précédentes donnent des vitesses supérieures à la vitesse de la lumière au-delà du rayon de Hubble. L’interprétation en terme d'effet Doppler impliquerait donc que les galaxies lointaines se déplacent plus vite que la lumière, en totale contradiction avec la relativité. La seule interprétation correcte de ce décalage vers le rouge cosmologique n'est donc pas une vitesse de déplacement dans l'espace, mais une modification du facteur d'échelle, valable quel que soit le référentiel. En clair, une partie du redshift est causée par l'effet Doppler proprement dit, mais une autre partie est liée à l'expansion de lumière. Cette dernière est un redshift un peu spécial dans le sens où il ne correspond pas à une vitesse propre, mais à une vitesse de fuite liée à l'expansion. Nous avons déjà vu dans les chapitres précédents que cette vitesse de fuite peut dépasser la vitesse de la lumière, vu que ce n'est pas une vraie vitesse, mais une modification de la géométrie de l'espace.

Le décalage vers le rouge cosmologique est la somme de deux effets : un effet Doppler et un redshift lié à l'expansion.

Une explication claire de ce processus demande d'utiliser le facteur d'échelle. Pour cela, on doit combiner étudier l'effet de l'expansion sur la longueur d'onde de la lumière.

L'effet de l'expansion sur la lumière[modifier | modifier le wikicode]

Effect of the stretching of light on the light wavefront.

L'effet de l'expansion influe non seulement sur les distances entre corps matériels, mais aussi sur la lumière. La longueur d'onde de la lumière est une distance comme une autre, qui est modifiée par l'expansion de l'univers. Si une onde lumineuse est émise avec la longueur d'onde à un instant , sa longueur d'onde à un instant sera égale à :

Cela nous permet de calculer la fréquence d'une onde lumineuse en fonction du facteur d'échelle. En effet, il existe une relation entre la longueur d'onde et la fréquence pour la lumière (comme pour toute onde), les deux étant inversement proportionnels. De cette relation, on peut déduire la relation suivante :

On peut utiliser cette relation entre longueur d'onde de la lumière et facteur d'échelle, pour calculer sa variation en fonction de l'expansion. Le fait est que le facteur d'échelle augmentant avec le temps, la longueur d'onde de la lumière augmente.

La relation entre redshift et facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, rappelons les deux équations suivantes :

En utilisant combinant les deux équations précédentes, on déduit la valeur du décalage vers le rouge en fonction du facteur d'échelle. Dans ce qui suit, on suppose que est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant .

Posons que le facteur d'échelle actuel vaut 1. L'équation obtenue est alors la suivante :

La relation entre redshift et paramètre de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Quelques manipulations algébriques à partir des équations précédentes permettent d'exprimer le facteur de Hubble en fonction du redshift. Pour cela, partons de l'équation suivante :

Prenons la dérivée par rapport au temps :

Le calcul de la dérivée donne :

On applique la formule  :

On multiplie deux cotés par

Maintenant, utilisons l'équation  :


L'univers observable

L'univers observable est la portion de l'univers que nous pouvons observer, compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière. Des objets situés très loin ne peuvent pas être vu pour une raison très simple : la lumière qu'ils émettent n'a pas eu le temps de nous parvenir. La distance maximale à laquelle nous pouvons voir des objets (sans tenir compte d'éventuelles limitations techniques) dépend de l'âge de l'univers. S'il faut un temps supérieur à l'âge de l'univers pour nous parvenir, il nous est actuellement impossible de les voir, ce qui n'est pas le cas pour des objets situés plus près. Cette distance maximale est donc le rayon de l'univers observable. L'ensemble des points situés à la distance maximale des objets observables, à savoir la surface de l'univers observable, porte un nom : c'est l'horizon cosmologique.

Le rayon de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui suit, on note le rayon de l'univers à l'instant t.

Le rayon de Hubble n'est malheureusement pas une bonne estimation du rayon de l'univers observable, pas plus que le temps de Hubble ne donne l'âge de l'univers. Pour calculer ces deux valeurs, il faut utiliser des développements mathématiques différents. Le calcul du rayon cosmologique actuel est assez simple sur le principe, mais compliqué en pratique. Une méthode assez simple se base sur la vitesse d'éloignement de l'horizon, à savoir la vitesse à laquelle l'horizon cosmologique s'éloigne de nous. Une fois cette vitesse connue, il suffit de l'intégrer sur l'âge de l'univers.

La vitesse d'éloignement du rayon observable est définie par :

On réutilise l'équation du chapitre précédent, qui donne la vitesse en fonction de la distance: . Dans le cas de l'horizon cosmologique, la distance est égale au rayon de l'univers et la vitesse locale est égale à la vitesse de la lumière, ce qui donne :

On peut reformuler le tout en divisant par , ce qui donne :

On peut alors intégrer cette expression sur l'âge de l'univers pour obtenir le rayon de l'horizon cosmologique, du moins dans certaines conditions. Faire les calculs demande de connaitre la loi d'évolution du facteur de Hubble . Mais dans les faits, elle nous est inconnue et on n'en a que quelques bribes. La théorie ne nous est pas d'un grand secours et le seul cas que l'on peut calculer simplement est celui où le facteur de Hubble est constant. En général, les modèles cosmologiques les plus simples supposent que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, de type , ce qui fait que l'équation peut se résoudre avec quelques développement analytiques. Mais des modèles plus réalistes ne suivent pas vraiment une loi de puissance, ce qui complique les calculs. Pour nous éviter de longs calculs fastidieux, nous allons étudier le cas général, en utilisant quelques raisonnement astucieux.

Le rayon comobile de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

Une autre façon de faire les calculs est de passer par l'intermédiaire du rayon comobile. Pour rappel, ce rayon comobile est le rayon corrigé de l'influence du facteur d'échelle (et donc de l'expansion). Il vaut, par définition : .

La vitesse comobile est la dérivée de ce rayon comobile, qui est égale à :

On peut alors factoriser le rayon comobile  :

On simplifie :

En injectant l'équation dans la précédente, on a :

En développant, on trouve :

On voit que la dérivée est égale à ce qu'on appelle la vitesse comobile de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est de , mais il s'agit d'une vitesse propre. On peut calculer sa vitesse comobile en divisant par le facteur d'échelle, ce qui n'est autre que le premier terme de l'équation précédente. . En intégrant l'équation précédente sur l'âge de l'univers, on a la distance comobile de l'horizon, celle à laquelle se situait l'horizon cosmologique quand la lumière de l'horizon a été émise. On se retrouve alors avec une équation très générale, qui marche même quand le facteur de Hubble est variable.

Seule la vitesse comobile de la lumière devant être prise en compte. On trouve alors que le rayon comobile se calcule avec la formule suivante, avec l'âge de l'univers :

Il est possible de simplifier fortement la formule précédente en faisant intervenir une variable particulière, appelée le temps conforme, définie par . On peut voir ce temps conforme comme l'équivalent de la distance comobile, mais pour les durées. Il n'a pas vraiment d'interprétation physique digne de ce nom et sert plus d'intermédiaire pour les calculs. Avec le temps conforme, la formule précédente devient alors :

On peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule , mais où le temps est remplacé par le temps conforme.

Le rayon actuel de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

On peut obtenir la distance propre par un calcul très simple, à partir de la distance comobile. Le passage de la distance comobile à la distance propre se fait simplement en multipliant par . On obtient alors la distance propre suivante :

Dans l'équation précédente, on peut factoriser la vitesse de la lumière, ce qui donne :

Comme pour le rayon comobile, on peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule , mais où la durée est remplacée par la valeur temporelle .

Les intégrales précédentes ne sont pas solubles telles quelles. Il faut préciser comment le facteur d'échelle évolue avec le temps, sans quoi les intégrales ne peuvent pas être calculées exactement. Manque de chance, la loi d'évolution du facteur d'échelle nous est inconnue. Nous sommes obligés de postuler des fonctions particulières, en espérant qu'elles collent au mieux aux observations. Nous ferons cela plus en détail dans le chapitre sur les modèles cosmologiques.

Au passage, le facteur de décélération est relié au rayon de l'univers observable de la manière suivante :


Une introduction aux modèles cosmologiques

Les chapitres précédents nous ont appris beaucoup de choses. Ils ont fourni une description de l'expansion de l'univers basée sur le facteur d'échelle, de quoi calculer le rayon de l'univers observable, et ont décrit comment la matière et le rayonnement réagissent à l'expansion. Maintenant, nous allons voir une portion bien plus intéressante de la cosmologie. Nous allons étudier les modèles cosmologiques, des modèles théoriques qui décrivent comment l'univers lui-même a évolué au cours du temps. Les modèles cosmologiques que nous allons voir dans ce cours donnent au minimum les résultats suivants : l'évolution du facteur d'échelle au cours du temps (la fonction , le rayon observable de l'univers, son âge (s'il en a un), une formule pour le facteur de Hubble, et parfois d'autres données supplémentaires (T(t) : température à tout instant, ...).

Dans ce chapitre, nous allons voir quelques modèles cosmologiques ad hoc. Par ad hoc, on veut dire qu'on fait des hypothèses purement arbitraires pour démontrer le modèle. De tels modèles sont à contraster avec des modèles démontrés à partir de principes physiques fondamentaux. Les modèles démontrés à partir de lois physiques plus fondamentales sont en effet un peu plus compliqués et seront vus dans les chapitres qui suivent. Le prochain chapitre porte d'ailleurs sur les modèles de Friedmann, qui sont les modèles les plus utilisés en cosmologie physique. Dans ce chapitre, nous allons voir des modèles plus simples. La démarche de ce chapitre consistera simplement à postuler une loi d'évolution pour le facteur d'échelle, à postuler la fonction . Une fois cela fait, nous pourrons établir une formule pour le facteur de Hubble, le rayon cosmologique, etc. Une telle démarche demande de choisir une fonction en fonction de ses propriétés mathématiques, de sa facilité pour faire les calculs, etc. Dans les modèles cosmologiques physiques, cette loi est démontrée à partir de principes physiques plus fondamentaux.

Dans ce chapitre, nous allons voir plusieurs modèles. Le premier est celui pour lequel la loi est linéaire. Il s'agit d'un modèle très simple, mais qui n'est pas réaliste du tout. Cependant, ce modèle permet d'introduire deux grandeurs fondamentales : le temps et le rayon de Hubble. De plus, il sert de point de comparaison avec le second type de modèle : ceux pour lesquels la loi est une loi de puissance. Enfin, nous verrons ce qui se passe quand le facteur d'échelle croit de façon exponentielle. En soit, ces trois modèles font que l'univers est en expansion, mais de manière différente. Une croissance linéaire n'a rien à voir avec une croissance exponentielle, ni avec une croissance en loi de puissance. Nous verrons cependant que les modèles cosmologiques physiques, ceux de Friedmann, donnent une croissance soit exponentielle, soit en loi de puissance. Nous pourrons donc réutiliser les résultats de ce chapitre dans les chapitres ultérieurs sur les modèles physiques. Les modèles ad hoc que nous allons voir vont nous donner des résultats qui faciliteront l'étude de modèles plus physiques, plus compliqués.

Le modèle à croissance linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons étudier un premier modèle : le modèle à croissance linéaire. Il est aussi appelé modèle , en raison d'une des équations du modèle[1]. Les cosmologistes ont étudié ce modèle à partir de l'année 2012, car il possède quelques propriétés intéressantes. De nombreux problèmes des autres modèles disparaissent dans ce modèle, mais il semble qu'il ne colle pas trop aux observations actuelles[2]. On sait avec les observations actuelles que l'univers n'a pas grossi à un rythme constant, mais que son expansion semble s'accélérer avec le temps. Quoi qu’il en soit, ce modèle est intéressant à étudier et il sert de bonne introduction, avant de passer à des modèles plus compliqués.

Avec ce modèle, on suppose que l'univers gonfle de manière relativement constante avec le temps. Mathématiquement, cela se traduit par la loi d'évolution suivante pour le facteur d'échelle :

, avec le temps, une constante quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

, avec l'origine de temps choisie arbitrairement et le facteur d'échelle à ce même instant.

Notons que les deux sont équivalentes, sous réserve que .

Dans ce qui va suivre, nous utiliserons la première formulation, sauf pour ce qui est l'étude du décalage vers le rouge. Avec ces formules, nous allons calculer quelle est la valeur du facteur de Hubble qui correspond, quel est l'âge de l'univers, quel est son rayon, la vitesse de l'expansion de l'univers, etc.

Le calcul du facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de sa définition, qui est :

La dérivée du facteur d'échelle est égale à :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

On peut alors comparer cette équation avec l'identité vue dans le second chapitre.

On obtient alors :

L'âge de l'univers est égal au temps de Hubble dans ce modèle.

Le rayon de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Par définition, le rayon de Hubble est égal à :

En combinant avec l'équation , on a :

Le modèle à expansion linéaire est aussi appelé modèle , en raison de ce résultat. D'ailleurs, c'est le seul modèle dans lequel cette égalité est vraie. Si l'on a pas une expansion linéaire, alors le rayon de Hubble n'est pas égal à , avec l'âge de l'univers.

En utilisant la formule , on peut réécrire la formule comme ceci :

En divisant par , on trouve le rayon comobile de Hubble, qui vaut :

Par définition, on a , qui est une constante.

On remarque que tous le terme de droite ne contient que des termes constants (c et k sont tous deux constants). Ce qui signifie que le rayon comobile de l'univers est lui aussi constant. Certes, le rayon de Hubble grandit, mais il le fait au rythme que le facteur d'échelle. Les deux se compensent, donnant un rayon comobile constant.

Le calcul du rayon de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce modèle, calculer le rayon de l'univers observable n'est pas une mince affaire. On a vu dans le chapitre sur l'univers observable qu'il faudrait idéalement utiliser cette formule :

Malheureusement, si on se met à faire les calculs à la main, on s’aperçoit rapidement que l'intégrale ne converge pas ! Et quand les calculs nous donnent un résultat, c'est le signe que quelque chose ne va pas... Mais ici, ce modèle nous dit que le rayon observable de l'univers est infini. Cela est un avantage, car cela résout un problème majeur, appelé problème de l'horizon, qui touche les autres modèles cosmologiques. Nous en reparlerons vers la fin du cours plus en détail.

Le calcul du paramètre de décélération[modifier | modifier le wikicode]

De l'équation , on peut déduire comment le facteur de Hubble H évolue au cours du temps. Pour cela, il suffit d'étudier ce qui se passe quand l'âge de l'univers augmente. Au fur et à mesure que le temps passe, l'âge de l'univers augmente. Ce faisant, le dénominateur de croit et le facteur de Hubble diminue donc. Pour le dire en termes mathématiques, le facteur de Hubble est une fonction décroissante du temps. Mais on peut faire encore mieux !

A partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour rappel, celui-ci est un nombre qui dit à quelle vitesse l'expansion de l'univers accélère ou ralentit. L'expansion est décélérée s'il est positif, accélère s'il est négatif et reste constante sinon. Il se calcule en utilisant la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

La dérivée du facteur de Hubble est égale à :

En injectant dans l'équation précédente, on trouve :

On injecte alors l'équation , ce qui donne :

Ce qui se simplifie en :

En clair, l'expansion garde un rythme constant, elle n’accélère pas et ne ralentit pas.

Le calcul du décalage vers le rouge[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance émet de la lumière à un instant , lumière qui est reçue par l'observateur à un instant . Nous allons calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift. Pour gérer ce cas, nous allons devoir utiliser la formule :

, avec l'origine de temps choisie arbitrairement et le facteur d'échelle à ce même instant.

Remarquez que l'on peut réécrire cette formule comme suit, en divisant par et en prenant l'inverse :

Nous avons vu dans le chapitre sur le rayonnement que le redshift est égal à :

En combinant les deux équations précédentes, on trouve :

Il est aussi possible d'écrire le facteur de Hubble en fonction du décalage vers le rouge et réciproquement. Par exemple, imaginons qu'un objet émette de la lumière à un instant , quand le facteur de Hubble est égal à et le facteur d'échelle à . Sa lumière est reçue par l'observateur à l'instant , quand le paramètre de Hubble et le facteur d'échelle valent et . On peut alors démontrer l'équation suivante :

Qui peut se reformuler comme suit :


Démonstration

Pour démontre la formule précédente, partons de la relation :

Or, on sait que . On a donc et

En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

En réarrangeant les termes, on trouve la formule à démontrer, mais sous une forme légèrement différente :

La validité de ce modèle est encore en débat[modifier | modifier le wikicode]

Bizarrement, ces formules semblent bien respectées dans l'univers actuel. Les scientifiques ont estimé le rayon de l'univers observable, et leurs résultats semblent relativement proches du rayon de Hubble. Là encore, comme pour la coïncidence entre âge de l'univers estimé et temps de Hubble, personne ne sait si c'est une coïncidence ou quelque chose de plus important. En théorie, l'égalité est respectée en permanence dans le modèle linéaire. Par contre, elle n'est respectée que pour un instant bien précis dans les autres et violée dans tous les autres cas. Le fait que l'égalité soit respectée dans notre monde est donc soit une grosse coïncidence, soit elle trahit quelque chose de fondamental qui est encore mal compris. Par contre, les observations nous disent que l'égalité n'est pas non plus parfaitement respectée. Divers résultats théoriques sembleraient indiquer que ce modèle n'est théoriquement crédible qu'en absence de matière, toute présence de matière biaisant les résultats du modèle[3]. De plus, les résultats empiriques concernant les mesures de redshift, ou via d'autres mesures indirectes, ne sont pas forcément si concluantes. Affaire à suivre...

Le modèle à croissance en loi de puissance[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, nous allons étudier le cas d'une expansion en loi de puissance. En clair, nous allons étudier le cas où le facteur d'échelle est égal à :

, avec le temps, une constante quelconque et une puissance quelconque.

Une autre formulation, souvent utilisée, est la suivante :

, avec l'origine de temps choisie arbitrairement et le facteur d'échelle à ce même instant.

Les deux formulations sont équivalentes si l'on postule .

Dans ce qui suit, nous utiliserons la première formulation.

On peut d'or et déjà remarquer que l'expansion linéaire n'est qu'un cas particulier d'expansion en loi de puissance, où . Ne vous étonnez donc pas si les calculs se ressemblent quelque peu.

Le calcul du facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer le facteur de Hubble, nous allons partir de sa définition, qui est :

La dérivée du facteur d'échelle est égale à :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

Pour résumer :

Le calcul du paramètre de décélération[modifier | modifier le wikicode]

A partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour le calculer, on applique la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

La dérivée du facteur de Hubble est égale à :

En injectant dans l'équation précédente, on trouve :

On injecte alors l'équation , ce qui donne :

Ce qui se simplifie en :

On peut réécrire le tout comme suit :

En clair, l'expansion dépend du coefficient .

  • Si , alors on retombe sur le cas de l'expansion linéaire. L'expansion a un rythme constant : elle n’accélère pas et ne ralentit pas.
  • Si , l'expansion accélère.
  • Enfin, si , l'expansion de l'univers ralentit.

Le calcul de l'âge de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

L'équation : permet de calculer l'âge de l'univers à partir du facteur de Hubble. En isolant dans l'équation précédente, on trouve en effet :

Reformulons en utilisant le temps de Hubble :

On voit que l'âge de l'univers est un multiple du temps de Hubble, le coefficient de proportionnalité n'étant autre que l'exposant de la loi de puissance.

Le calcul du rayon de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible, à partir des résultats précédents, de calculer le rayon de Hubble assez facilement. Pour rappel, celui-ci est la distance à partir de laquelle les objets semblent aller plus vite que la lumière à cause de l'expansion. Pour rappel, il vaut :

On injecte alors l'équation :  :

Dans ce modèle, le rayon de Hubble augmente avec le temps.

Le calcul du rayon de l'univers observable[modifier | modifier le wikicode]

A partir des résultats précédents, nous pouvons trouver le rayon de l'univers observable, qui n'est pas le même que le rayon de Hubble. Pour cela, il faut cependant se rappeler de ce qu'on a vu dans le chapitre sur l'univers observable. Pour calculer le rayon de l'univers observable, il faut procéder en deux étapes. Premièrement, il faut calculer le rayon comobile, le rayon calculé en supprimant l'effet de l'expansion. Ensuite, on corrige ce rayon comobile pour ajouter l'expansion de l'univers. Si on note le rayon de l'univers à l'instant t, alors le rayon comobile est égal à . Le passage du rayon comobile au rayon observé se fait donc simplement en multipliant par le facteur d'échelle . La deuxième étape est donc triviale. Par contre, la première étape, le calcul du rayon comobile, fait intervenir une intégrale assez compliquée. Pour rappel, le rayon comobile se calcule avec la formule suivante :

, avec l'âge de l'univers (s'il existe).

Pour calculer le rayon comobile, nous allons introduire l'équation dans la précédente, ce qui donne :

La constante k peut être sortie de l'intégrale, ce qui donne :

On utilise alors la formule  :

On utilise alors la formule  :

On regroupe les termes comme suit :

Par définition, le terme est égal à , ce qui donne :

On peut donc en déduire le rayon propre de l'univers observable en multipliant des deux cotés par  :

Cette valeur ressemble beaucoup au rayon de l'univers observable que l'on aurait dans un univers sans expansion, à savoir . La seule différence étant le facteur de proportionnalité , qui trahit la présence de l'expansion de l'univers.

Si on prend , on retombe sur les résultats du modèle vue précédemment. Et encore une fois, on voit que le rayon de l'univers diverge : l'application de la formule précédente donne une division par zéro.

On voit aussi que le rayon de l'univers observable n'est pas égal au rayon de Hubble ! Il y a une différence entre et le rayon de l'univers observable . On peut aussi remarquer que l'on a .

Le calcul du décalage vers le rouge[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui suit, nous allons supposer qu'un objet à une distance émet de la lumière à un instant , lumière qui est reçue par l'observateur à un instant . Nous allons calculer le décalage vers le rouge de cette lumière, le redshift. Pour gérer ce cas, nous allons devoir utiliser la formule :

, avec l'origine de temps choisie arbitrairement et le facteur d'échelle à ce même instant.

On peut réécrire cette équation comme suit, en divisant par et en prenant l'inverse :

Nous avons vu dans le chapitre sur le rayonnement que le redshift est égal à :

En combinant les deux équations précédentes, on trouve :

Sachant que , on a aussi :

Le modèle à croissance exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

Pour terminer, nous allons étudier le cas d'une expansion exponentielle, décrite par :

, avec le temps, et deux constantes quelconques.

Précisons que nous prenons , sans quoi la fonction serait décroissante, ainsi que , pour garantir que l'univers n'a pas de volume négatif. Voir le graphique ci-dessous pour comprendre pourquoi.

Illustration de la courbe de la fonction exponentielle.

Précisons que les propriétés mathématiques de l'exponentielle ont une conséquence assez intéressante. En effet, une exponentielle ne peut pas s'annuler, ce qui fait qu'il n'existe pas de temps t où le facteur d'échelle s'annule. En conséquence, on n'a pas d'instant où tout l'univers est rassemblé en un unique point, on n'a pas de singularité initiale. L'univers n'a donc pas d'âge, il existe depuis un temps infini. Ce modèle est donc un petit peu particulier, dans le sens où il n'y a pas de big-bang dedans. Cela peu sembler bizarre que les cosmologistes utilisent un tel modèle, mais nous verrons dans certains chapitres que ce modèle est plus réaliste qu'il n'y parait. Et à bien y penser, l'absence de singularité est plus un avantage qu'un inconvénient.

Le calcul du paramètre de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer le paramètre de Hubble, nous allons partir de sa définition, qui est :

La dérivée du facteur d'échelle est égale à :

En combinant les deux équations précédentes, on a :

Le paramètre de Hubble est donc une constante, égale à la constante t dans l'exponentielle. On peut donc reformuler la loi d'expansion comme suit :

Le calcul du temps et du rayon de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

A partir du facteur de Hubble calculé juste avant, on peut calculer le temps de Hubble :

Même chose pour le rayon de Hubble :

On voit que vu que le paramètre de Hubble est constant, le temps de Hubble et le rayon de Hubble le sont aussi. Cela peut paraitre bizarre que le rayon de Hubble soit constant, mais rappelez-vous qu'il ne s'agit que du rayon au-delà duquel la vitesse de fuite d'un objet est égale à . Il n'a pas de signification physique.

Le calcul du paramètre de décélération[modifier | modifier le wikicode]

A partir des résultats précédents, on peut calculer la valeur du paramètre de décélération. Pour le calcule,r on applique la formule suivante, vue dans le chapitre sur l'univers observable :

Le facteur de Hubble est constant, ce qui fait que sa dérivée est nulle. En injectant dans l'équation précédente, on trouve :

Ce résultat nous dit que l'expansion de l'univers accélère.

References[modifier | modifier le wikicode]

  1. The rh=ct universe
  2. Whe don't live in the Rh = ct universe
  3. Matter matters : unphysical properties of the Rh=ct model


L'équation de Friedmann

Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Elles décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope), et permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle. Elles sont au nombre de trois et portent les noms de "première équation de Friedmann", "seconde équation de Friedmann" et "équation du fluide cosmologique". Il existe plusieurs écritures alternatives de ces équations, mais nous allons en présenter deux : une qui utilise la densité de matière, l'autre qui utilise la densité d'énergie.

Dans ce qui suit, les notations sont les suivantes : est la densité d'énergie, est la densité de matière, est la pression et est un terme de courbure, qui décrit la géométrie de l'univers (nous reviendrons sur l'interprétation de ce terme dans ce qui suit).

Les trois équations de Friedmann sont les suivantes :

Écriture avec la densité d'énergie Écriture avec la densité de matière
Première équation de Friedmann
Équation du fluide cosmologique de Friedmann
Seconde équation de Friedmann

La première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Une démonstration de cette équation demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Cette première équation de Friedmann est la suivante :

L'interprétation de cette formule est assez simple à comprendre. Elle nous dit que l'expansion de l'univers dépend de deux forces opposées. Le premier terme correspond à l'influence gravitationnelle de la matière, alors que l'autre traduit l'effet de la courbure de l'univers.

La version Newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée . Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à et , ce qui donne :

Modifions l'ordre des termes :

Nous pouvons alors utiliser la loi de Hubble , pour remplacer la vitesse de la galaxie.

Isolons maintenant en divisant des deux membres par .

Ensuite, rappelons-nous que par définition, . En posant qu'à l'instant t0, le facteur d'échelle est égal à 1, nous avons : . Nous n'allons cependant faire le remplacement que dans le second terme et pas dans le premier. Quelques simplifications ultérieures permettront de se débarrasser du rayon dans le premier terme.

Nous allons maintenant poser que est une constante, que nous allons appeler le paramètre de courbure. Prenez garde au signe de cette formule !

Exprimons maintenant la masse de l'univers comme étant égale à sa masse volumique multipliée par le volume : . On a alors :

Après quelques simplifications algébriques, nous obtenons la première équation de Friedmann.

La version de la relativité générale[modifier | modifier le wikicode]

La version plus générale de l'équation, tirée de la relativité générale, peut se « déduire » de la formule précédente en utilisant l'équivalence masse-énergie d'Einstein, même si cette démonstration est loin d'être rigoureuse. Cette équivalence dit que l'énergie d'un corps (ici l'univers) est proportionnelle à sa masse, selon l'équation :

, avec E l'énergie, M la masse et c la vitesse de la lumière.

En divisant des deux cotés par le volume, on trouve la relation entre densité de matière et densité d'énergie :

On peut alors injecter cette équation dans l'équation de Friedmann newtonienne. La masse volumique est simplement remplacée par la densité d'énergie de l'univers , avec un coefficient pour normaliser les unités.

Formellement, cette densité d'énergie prend en compte aussi bien la densité de matière que la densité d'énergie liée au rayonnement (lumière) , et potentiellement d'autres formes d'énergie. Pour simplifier, la densité d'énergie est la somme de la densité de matière, la densité de rayonnement, et quelques autres termes.

Il est possible aussi de rendre compte de la courbure via une densité d'énergie de courbure. En effet, nous avons vu que celle-ci est proportionnelle à une énergie dans la démonstration newtonienne. En appliquant l'équivalence masse-énergie, nous nous retrouvons donc avec une densité d'énergie de courbure dans l'équation de Friedmann. En injectant le tout dans l'équation de Friedmann, nous trouvons :

, avec

Si on pose , on peut reformuler cette équation comme ceci :

On verra dans les chapitres suivants que les densités de rayonnement et de matière dépendent du facteur d'échelle.

  • La densité de matière varie selon l'équation : .
  • Pour la densité d'énergie du rayonnement, l'équation a été vue dans le chapitre sur le rayonnement : .

La première équation de Friedmann se reformule ainsi, quand on injecte les relations précédentes dans l'équation :

La géométrie de l'univers peut prendre trois formes, selon que le paramètre de densité est nul, positif ou négatif.

Précisons que l'interprétation du paramètre de courbure diffère sensiblement dans l'interprétation de la relativité générale. Cette courbure, en relativité générale, est liée à la géométrie de l'espace-temps :

  • un espace de courbure nulle a une géométrie euclidienne ;
  • un espace de courbure positive a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une sphère en deux dimensions ;
  • un espace de courbure négative a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une « selle de cheval » en deux dimensions (cette selle de cheval étant à une hyperbole ce que la sphère est au cercle).

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut décrire l'univers observable du point de vue de la thermodynamique sans trop de problèmes. Pour cela, il suffit de modéliser l'univers observable comme une sphère centrée sur le centre de la Terre et de postuler qu'il est homogène. Par homogène, on veut dire que sa température est la même partout, de même que la densité, la pression, et toutes les variables du même genre. Cette dernière équation s'appelle l'équation du fluide de Friedmann.

, où ρ est la densité de matière.


Démonstration

Dans cette section, nous allons donner une dérivation de la version relativiste, qui n'est cependant pas très rigoureuse. En faire une véritable dérivation demanderait de passer par les mathématiques de la relativité générale, ce que nous ne ferons pas dans ce cours.

Nous allons considérer que l'univers est un système isolé, à savoir qu'il n'y a pas d'échange de matière ou d'énergie avec l'extérieur (il est en effet difficile de donner un sens à l'« extérieur de l'univers »). Dans ces conditions, la première loi de la thermodynamique s'applique. Celle-ci dit que toute variation de l'énergie interne de l'univers provient des variations de chaleur et de volume/pression. De plus, on va supposer que l'expansion est adiabatique : il n'y a pas d'échange de chaleur entre l'univers observable et un éventuel extérieur. Dans ces conditions, toute variation de l'énergie interne de l'univers se calcule avec la formule suivante, avec P la pression et V le volume de l'univers.

Utilisons ensuite la relation  :

Le facteur étant constant, nous pouvons le sortir de la dérivée.

Divisons par  :

Reformulons la masse de l'univers en fonction du volume et de la densité de matière

Appliquons la formule sur la dérivée d'un produit.

Factorisons maintenant le terme .

Divisons maintenant par V.

Puis divisons par dt.

Appliquons maintenant l'égalité suivante, vue dans le premier chapitre : .

On peut la récrire de la manière suivante, sous certaines hypothèses :

, où est la densité d'énergie.


Démonstration

Démonstration de la deuxième version. Considérant la première équation de Friedmann

Et la deuxième

Prenant la dérivée temporelle de la première des deux équations.

Que l'on peut mettre sous la forme:

Et donc:

En identifiant avec la seconde équation de Friedmann:

On bouge un peu les termes et en identifiant le dernier terme de l'équation ci-dessus avec la première équation de Friedmann donne

Il reste à simplifier comme

On trouve donc enfin

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

A partir de la première équation de Friedmann, ainsi que de l'équation du fluide, nous pouvons déduire une troisième équation, appelée seconde équation de Friedmann.

Celle-ci nous dit comment varie la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui elle-même dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Il s'agit donc d'une équation très importante pour comprendre la dynamique de l'expansion et comment celle-ci évolue avec le temps.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann, écrite comme ceci :

Multiplions des deux côtés par  :

Dérivons maintenant par rapport au temps :

Divisons par 2 des deux membres de l'équation :

Calculons la dérivée dans le second terme :

Divisons par  :

On utilise alors la relation pour simplifier le second terme :

Simplifions par  :

Divisons par  :

Or, l'équation du fluide nous dit que . Nous pouvons donc faire la substitution dans l'équation précédente, ce qui donne :

En simplifiant, nous obtenons :

Cette seconde équation de Friedmann nous dit quelque chose d'assez contre-intuitif concernant la pression : celle-ci lutte contre l'expansion. L'intuition nous dirait pourtant le contraire, mais celle-ci est trompeuse. La pression de la matière ou du rayonnement ne pousse pas sur les bords de l'univers, et ne peut donc guider l'expansion. Rappelons que l'horizon cosmologique n'est pas une barrière matérielle sur laquelle la pression pourrait pousser, mais une simple limite liée à la vitesse de la lumière. L'effet de la pression sur l'expansion ne peut donc provenir de ce mécanisme intuitif. Pour comprendre l'effet contre-expansionniste de la pression, il faut se rappeler que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. Par exemple, on peut facilement démontrer que la pression d'un gaz parfait est égale aux deux tiers de sa densité d'énergie interne. Même chose pour le rayonnement, quoique le coefficient de proportionnalité soit différent. Or, rappelez-vous que l'énergie et la masse sont reliées dans la théorie de la relativité, l'équation en étant la plus simple expression. Pour simplifier, l'énergie a un poids, un effet gravitationnel qui va lutter contre l'expansion. Plus la pression, et donc la densité d'énergie sont grandes, plus cet effet gravitationnel sera fort, plus l'expansion sera contrecarrée.



L'évolution de la matière

L'univers est peuplé de matière et de rayonnement. La matière est essentiellement composée de particules massives : baryons, quarks, électrons, etc. Pour plus de simplicité, on peut supposer que la matière de l'univers est un gaz. Cette hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : 10% de la matière sert à fabriquer de étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc essentiellement composé de gaz. Évidemment, ce gaz de matière a une pression, un volume, une densité, une énergie, etc. Il reste de plus soumis aux lois de la thermodynamique. L'expansion va cependant faire varier continument sa densité (l'univers se dilue avec l'expansion), sa pression, sa température, etc. Dans ce chapitre, nous allons voir comment évolue ce gaz cosmologique en utilisant les relations de la thermodynamique, sous la contrainte de la loi de Hubble.

La densité de la matière et de l'énergie[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons commencer par étudier les différentes densités. Nous allons qu'en plus de la masse volumique, les cosmologistes utilisent plusieurs densités annexes : la densité d'énergie et la densité de particules.

La densité de particule[modifier | modifier le wikicode]

Le terme est appelé la densité de particules et est noté . Il correspond au nombre de particules par unité de volume. Vu que le volume de l'univers varie selon , la densité de particule varie donc comme :

La densité de matière[modifier | modifier le wikicode]

La densité (la masse volumique) est égale au produit densité d particule par masse d'une particule, par définition. Vu que la masse d'une particule ne varie pas, du fait de la conservation de la masse, on devine rapidement que la densité varie comme :

Si on pose , on a :

Cette équation sera réutilisée plus tard dans le cours, quand nous analyserons les modèles cosmologiques de Friedmann. IL faut cependant signaler que la densité d'énergie du rayonnement ne suit pas la même équation, comme nous le verrons dans le prochain chapitre.

La densité d'énergie[modifier | modifier le wikicode]

Passons maintenant à la densité d'énergie de l'univers, à savoir la quantité d'énergie par unité de volume. Nous n'allons nous concentrer sur la matière, le rayonnement étant étudié au prochain chapitre. On sait que la densité d'énergie est proportionnelle à la densité de particule multipliée par l'énergie (moyenne) d'une particule. Du fait de la conservation de l'énergie (qui est respectée pour la matière), on se doute que l'énergie moyenne d'une particule ne change pas avec le temps. On a donc :

On voit donc que la densité d'énergie varie comme la masse volumique et la densité de particule.

La pression et température de la matière cosmologique[modifier | modifier le wikicode]

Le gaz cosmologique reste naturellement soumis à la première loi de la thermodynamique, à la fameuse conservation de l'énergie. Celle-ci s'écrit, dans le domaine de la thermodynamique, comme suit avec Q le flux de chaleur qui quitte le gaz de photons, E son énergie, P sa pression et V son volume.

On va supposer que le flux de chaleur qui quitte le gaz est nul. On a alors :

Pour rappel, la température d'un gaz parfait est la somme des énergies cinétiques de chaque particule. La physique statistique nous dit que l'énergie moyenne d'une particule est égale à : . Pour un gaz de n particules et de température T : . En injectant la première équation dans la précédente, on a :

Vu que le nombre de particule est supposé constant, on a :

Pour rappel, un gaz parfait suit la loi suivante, avec P la pression, V le volume, n le nombre de particules, T la température et K la constante de Boltzmann : . On peut reformuler cette équation comme suit : . Ce qui fait qu'on a :

On divise alors par  :

On utilise alors la relation  :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

De cette équation, on peut déduire que :

La température de la matière varie donc comme l'inverse du carré du facteur d'échelle.


L'évolution du rayonnement

La majorité du rayonnement dans l'univers forme un gaz de photons homogène et isotrope (nous détaillerons cette remarque quand nous aborderons le rayonnement de fond diffus cosmologique). Autrement dit, c'est un rayonnement de corps noir. Ce gaz de photons possède divers propriétés, qui sont affectées par l'expansion : il possède une densité d'énergie, une température, et bien d'autres paramètres.

Rappel : les équations d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la loi de Planck.

Un gaz de photon est formellement décrit par la fameuse équation de Planck, que nous ne détaillerons pas ici. Celle-ci donne tout simplement la densité d'énergie des photons qui possèdent une fréquence f, dans un gaz de photons de température T. Et cette équation contient un terme, la fréquence, sensible au facteur d'échelle. Voici cette équation de Planck :

On peut reformuler cette équation en utilisant la longueur d'onde, ce qui donne :

Une illustration de la distribution des photons suivant leur fréquence est illustré dans le schéma de droite.Le schéma de droite montre que le pic d'intensité, à savoir la fréquence où le nombre de photons est maximal. Or, ce pic est proportionnel à la température moyenne du gaz de photon, d'après la relation suivante : .

L'énergie d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Un gaz de photons, ou rayonnement de corps noir a une densité d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume) à savoir la quantité d'énergie du rayonnement par unité de volume, que nous noterons . Cette densité d'énergie se calcule avec la loi de Stephan, qui se dérive de l'équation de Planck. Celle-ci dit que la densité d'énergie d'un gaz de photon est proportionnelle à puissance quatrième de sa température. Voici cette loi, avec une constante, la constante de Stephan, et la température :

Les lois de la physique nous disent que l'énergie d'un photon dans ce gaz est égale à , avec h la constante de Planck. Des équations précédentes, il est possible de dériver laborieusement la quantité moyenne d'énergie d'un photon dans un gaz de photons. Celle-ci est approximativement celle-ci, avec la constante de Boltzmann.:

.

Le nombre moyen de photons[modifier | modifier le wikicode]

Des équations précédentes, il est possible de déterminer le nombre de photons par unité de volume. Cette valeur est aussi appelée la densité de photons, par analogie avec la densité de matière, ce qui est un abus de langage. Pour la calculer, il suffit de diviser la densité d'énergie par l'énergie moyenne d'un photon. On obtient alors :

En simplifiant, on a :

La pression d'un gaz de photons[modifier | modifier le wikicode]

Peut-être savez-vous déjà que la pression d'un gaz est proportionnelle à sa quantité d'énergie. Un gaz de photons ne fait certainement pas exception à cette règle. Le coefficient de proportionnalité entre pression et densité d'énergie est de . Cela donne l'équation suivante :

Le comportement du gaz de photon suite à l'expansion[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons voir comme la pression, la densité d'énergie et la température du gaz de photon varie en fonction de l'expansion. Nous allons voir que la densité d'énergie et la température dépendent du facteur d'échelle (ou d'une de ses puissance).

La densité d'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons d'abord voir comment évolue la densité d'énergie en fonction de l'expansion. Il est facile de démontrer que :


Démonstration

Un gaz de photon reste naturellement soumis à la première loi de la thermodynamique, à la fameuse conservation de l'énergie. Celle-ci s'écrit, dans le domaine de la thermodynamique, comme suit :

Avec Q le flux de chaleur qui quitte le gaz de photons, E son énergie, P sa pression et V son volume.

On va supposer que le flux de chaleur qui quitte le gaz de photon est nul. On a alors :

Par définition, , avec la densité d'énergie. De plus, on a vu comment calculer la pression d'un gaz de photon dans les paragraphes précédents. En faisant le remplacement, on a :

On divise alors par dt :

On utilise alors la formule du produit d'une dérivée sur le terme de gauche :

En divisant par , on a :

On utilise alors la relation  :

De l'équation précédente, on peut déduire que la densité d'énergie du rayonnement varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle, en respectant l'équation :


Démonstration

Partons de l'équation précédente :

En simplifiant par dt, on trouve :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

Ce qui signifie que, d'après les règles des puissances :

De cette équation, on peut déduire que :

CQFD !

La température du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Après avoir vu la densité d'énergie, il est temps de voir ce qu'il en est pour la température. Il est facile de démontrer que la température est proportionnelle à l'inverse du facteur de Hubble. On voit donc que la température du rayonnement diminue au même rythme que l'augmentation du facteur d'échelle. Ainsi, le rayonnement né dans les premiers instants de l'univers, refroidit progressivement au fur et à mesure que l'univers s'étend.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

On peut alors remplacer la densité d'énergie par sa valeur calculée par la loi de Stephan, ce qui donne :

Vu que le facteur est constant, on peut le factoriser et simplifier, ce qui donne :

On peut alors calculer la dérivée de et l'injecter dans le numérateur :

Simplifions par  :

D'où il vient immédiatement :

De l'équation précédente, on peut facilement démontrer que :


Démonstration

Un premier argument assez qualitatif (et peu rigoureux) nous permet de dériver cette équation. Rappelons la formule qui donne la fréquence où l'intensité du rayonnement de corps noir est maximale : . On peut réécrire l'équation précédente comme suit :

Du fait de la diminution de la fréquence des photons du fait de l’expansion, la température du gaz de photon doit aussi diminuer proportionnellement au facteur d'échelle. On retrouve donc l'équation précédente. Cependant, cette dérivation n'est pas parfaite, vu qu'on mélange la fréquence d'un photon unique avec la température d'un gaz de plusieurs photons. Ce qui nuit à la généralité de l'argument. Une véritable dérivation part de l'équation de la densité d'énergie dérivée plus haut.


Démonstration

Repartons de l'équation vue plus haut, dans la démonstration :

Intégrons des deux cotés. Vu que  :

En prenant l'exponentielle, on trouve que :

Malheureusement, l'équation précédente est rarement utilisable telle quelle. En effet, les facteurs d'échelle et ne sont pas connus et ne peuvent pas se mesurer. L'idéal est de remplacer les facteurs d'échelle par une grandeur qui se mesure. Le redshift fonctionne à merveille, d'autant qu'on sait qu'il est relié au facteur d'échelle par les équations vvues il y a quelques chapitres. Dans ce qui suit, on suppose que est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant . Avec cette convention, on sait que . En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

Précisons que cette équation vient de la convention . Mais avec la convention inverse, à savoir , on trouverait l'équation inverse, à savoir :

L'interprétation physique de la variation de densité énergétique du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

On a vu que la densité d'énergie du rayonnement varie selon la puissance quatrième du facteur d'échelle :

On peut donner un sens physique à cette équation. Premièrement, l'énergie du rayonnement est diluée dans un volume plus grande, égal à la puissance troisième du volume initial. La densité est donc divisée par la puissance troisième. A cela, il faut ajouter la diminution de la longueur d'onde causée par le facteur d'échelle. La somme de ces deux contributions donne la formule précédente. Pour nous en rendre compte, on peut partie de la définition de la densité d'énergie du rayonnement :

La variation de la densité d'énergie provient de deux sources : une provenant de la variation du volume (l'expansion) et l'autre de la diminution de l'énergie du rayonnement.

La contribution du volume[modifier | modifier le wikicode]

Remplaçons le volume par sa valeur dépendant du facteur d'échelle, à savoir l'équation . On a donc :

Si l'énergie du rayonnement demeurait constante lors de l'expansion, on aurait l'équation suivante :

On le voit, il manque un facteur pour obtenir l'équation finale. L'expansion n'a donc pas qu'un effet sur le volume, mais aussi un effet sur l'énergie de rayonnement. Voyons quelle peut être son origine.

La contribution de l'énergie du rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Pour obtenir l'équation , on est obligé de supposer que l'énergie du rayonnement suit l'équation suivante :

On peut facilement deviner son origine. Rappelons qu'un photon de fréquence f a une énergie égale à , avec h la constante de Planck. Or, on a vu que la fréquence varie avec l'inverse du facteur d'échelle, l'énergie des photons d'un gaz de photons doit aussi varier. En clair, l'expansion étire la longueur d'onde des photons, ce qui leur fait perdre de l'énergie. De par la relation précédente, on obtient que l'énergie d'un photon varie inversement avec le facteur d'échelle.

Une autre confirmation de cet état de faits tient que l'énergie moyenne d'un photon dans un gaz de photons est approximativement de :

On applique alors l'équation

En posant , on a :

Cette équation a une conséquence assez importante : l'énergie de l'univers ne se conserve pas, mais diminue avec le temps ! Et ce n'est pas un problème qui serait réglé en relativité générale : il y a réellement une perte d'énergie quel que soit le modèle utilisé. A l'heure actuelle, on ne sait pas comment résoudre ce problème (si tant est que ce soit vraiment un problème).


Big-bang et particules élèmentaires

Au tout début de sa formation, l'univers était clairement chaud et dense. Les températures quelques microsecondes après le big-bang dépassaient le million voire le milliard de degrés. L'univers était en première approximation un gaz parfait de particules très différentes : neutrons, protons, neutrinos, électrons, photons, quarks, et autres. Les températures étaient tellement fortes que toutes les populations de particules réagissaient entre elles. N'importe quelle particule pouvait échanger de l'énergie avec n'importe quelle autre, homogénéisant les températures. Le mélange était tel que l'on pouvait définir une température moyenne valable pour tous les types de particules : les neutrons avaient une température moyenne similaire à celle des protons, elle-même identiques à celle des quarks, etc. On dit que l'équilibre thermique est respecté.

Puis, l'univers s'est refroidit en raison de l'expansion. En se diluant avec l'expansion, sa densité a diminuée, les particules se sont espacées entre elles. Elles se sont éloignées au point que leurs interactions sont devenues plus rares. Leur proximité rendait leurs interactions faciles, chaque particules ayant rapidement accès à une voisine pour échanger de la quantité de mouvement. Mais avec la dilution, les particules se sont progressivement isolées les unes des autres, rendant les échanges de plus en plus difficiles. De nombreuses interactions ont disparues, perturbant les processus de mélange thermique. De plus, la température a aussi fortement baissé. Rappelez-vous le résultat du chapitre précédent : la température du rayonnement diminue comme l'inverse du facteur d'échelle (). Le gaz de particules élémentaires s'est alors progressivement condensé, donnant naissance à des particules composites. D'une soupe de particules se sont ainsi formés les nucléons, puis les noyaux et enfin les atomes. Ce chapitre vise à expliquer comment s'est produite cette condensation.

La baryogenèse[modifier | modifier le wikicode]

Au tout début, on pouvait voir l'univers comme un mélange de plusieurs gaz composés de particules élémentaires. Du temps des fortes températures, quelques micro-secondes avant le big-bang, les particules composites ne pouvaient pas se former à partir de quarks. La température trop intense faisait que les particules composites étaient brisées par le chaos ambiant quelques microsecondes après leur formation. C'était essentiellement les photons et neutrinos qui réagissaient avec la matière et brisaient les structures ainsi formées. Il a fallu attendre que la température du rayonnement baisse pour que les quarks puissent s'assembler en protons et neutrons sans interagir avec un photon qui passe sur le chemin. Ce processus de formation des protons et neutrons s'appelle la baryogenèse, ce qui signifie formation des baryons (les protons et neutrons sont des exemples de baryons, d'où le nom).

Le rapport protons/neutrons[modifier | modifier le wikicode]

La théorie du big-bang nous permet de déterminer comment s'est produit ce processus. Une réussite de la théorie tient dans le fait qu'elle prédit le rapport entre le nombre de protons et de neutrons dans l’univers. Celui-ci peut se calculer à partir du raisonnement suivant. Avant que les noyaux se forment, les protons et neutrons étaient libres et formaient un plasma de nucléons. La température de ce plasma a diminué progressivement avec l'expansion. Peu avant la formation des noyaux, la température était faible comparé à la masse des protons et neutrons (). Dans ces conditions, le gaz peut être décrit par ce qu'on appelle la distribution de Maxwell-Boltzmann. Celle-ci dit que la quantité de particules d'énergie par unité de volume est de :

Ainsi, on peut calculer le rapport entre protons et neutrons. Il suffit de faire le calcul de la densité de protons, et de la densité de neutrons séparément, et de diviser le premier par le second :

Les protons et neutrons forment un plasma tant que protons et neutrons peuvent interagir. Il arrive notamment que des protons se transforment en neutrons et réciproquement. Ces transformations, des réactions nucléaires, ont une probabilité d’occurrence qui dépend de la température. Quand le produit descend en-dessous de 0.8 Mev, ces réactions deviennent de plus en plus rares, au point que l'équilibre thermique du plasma est brisé. Les quantités de protons et de neutrons sont alors figées, de même que le rapport de leurs densités volumiques. Les calculs donnent 6 protons pour 1 neutron : . Dit autrement, ème de la matière baryonique est sous la forme de neutrons, alors que ème sont des protons. Cela correspond à environ 12% de neutrons pour 88% de protons.

Par la suite, ce rapport va cependant évoluer à cause de désintégrations de neutrons en protons (désintégration bêta). Précisons que ces désintégrations n'ont lieu qu'en-dehors des noyaux atomiques, et ne peut pas toucher l’abondance des éléments chimiques. Par contre, elle change l'abondance des protons et neutrons libres, isolés des atomes. Ces désintégrations suivent la fameuse loi de désintégration radioactive , avec égal à 880,3 s. On a alors :

La nucléosynthèse primordiale[modifier | modifier le wikicode]

Une fois les protons et neutrons formés, l'univers était rempli de protons, de neutrons, d'électrons et de neutrinos, qui formaient un gaz à haute température. Durant un temps assez court, protons et neutrons ne pouvaient pas s'assembler pour former des noyaux, la température brisant les noyaux qui avaient l'occasion de se former. Mais, la température diminuant, cela ne dura guère. Après un certain temps, protons et neutrons ont pu s'assembler pour former des noyaux, quand la température a atteint un certain seuil.

La formation des premiers noyaux porte le nom de nucléosynthèse primordiale. Un nom barbare assez simple à comprendre : nucléo-synthése veut dire "synthèse de noyaux atomiques", et primordiale pour dire qu'elle a eu lieu peu après le big-bang. Ce terme sert à la distinguer de la nucléosynthèse qui a lieu actuellement au cours des étoiles, la nucléosynthèse stellaire. Les différences entre les deux sont assez nombreuses. Déjà, la nucléosynthèse primordiale s'est faite sur un temps très court, d'à peine quelques secondes grand maximum, alors que la nucléosynthèse des étoiles est un processus continu qui dure durant plusieurs milliards d'années. Ensuite, la nucléosynthèse primordiale a majoritairement créé des éléments chimiques légers, mais guère plus. Elle a permit de fabriquer de l'hydrogène, de l'hélium, du béryllium et du lithium, mais pas plus. Les autres éléments chimiques ont été fabriqués ultérieurement par la nucléosynthèse stellaire, qui a donné naissance à du carbone, de l'oxygène, de l'azote, et d'autres noyaux lourds.

Isotopes de l'hydrogène.

Suite à la nucléosynthèse primordiale, la quasi-totalité de la matière est composée d’hydrogène et d'hélium : environ 3/4 d'hydrogène et 1/4 d'hélium, le reste étant présent en quantités négligeables. C'est pour cela que la quasi-totalité de la matière des étoiles et planètes est sous la forme d'hélium et d'hydrogène, des particules formées par l'assemblage de neutrons et de protons. Pour rappel, Un noyau d'hydrogène est formé d'un simple proton, le nombre de neutrons variant de zéro à deux neutrons. La plupart de l'hydrogène ne contient pas de neutron, cette forme d'hydrogène étant appelé du protium. L'isotope avec un neutron est appelé le deutérium, alors que celui avec deux neutrons est appelé le tritium. Le protium est de loin la forme d’hydrogène dominante, les autres formes n'étant présentes que dans les étoiles, rarement dans le milieu interstellaire. Quant à l'hélium, il possède deux protons, avec un nombre variable de neutrons. Ses deux isotopes les plus fréquents possédent deux neutrons pour l'hélium-4, un seul pour l'hélium-3.

Les réactions de la nucléosynthèse primordiale[modifier | modifier le wikicode]

Résumé des réactions nucléaires principales de la nucléosynthèse primordiale, sous forme de liste.

La nucléosynthèse commence avec la fabrication de deutérium, un des isotopes de l'hydrogène. C'est à partir du deutérium que peuvent s'enclencher les réactions qui donnent naissance au tritium, à l'hélium, au lithium et au béryllium.

Dans ce qui suit, on notera D un noyau de deutérium, T un noyau de tritium, p un proton et n un neutron.
Illustration des réactions nucléaires donnant naissance au deutérium, au tritium et à l'hélium (3 et 4).

Le deutérium se forme en fusionnant un proton avec un neutron. La formation du deutérium ne s'est produite qu'une fois la température suffisamment basse. Au-dessus de cette température, les noyaux de deutérium ne survivent pas bien longtemps, à cause de la photodissociation. Les photons énergétiques brisent ces noyaux en quelques microsecondes, ne laissant que des protons et des neutrons. Mais une fois que la température descend sous la température critique du deutérium, les photons ne sont plus assez énergétiques pour briser les noyaux de deutérium, qui survivent.

Une fois le deutérium formé, des réactions donnent naissance soit à de l'hélium-3, soit à du tritium. L'hélium-3 peut se former de deux manières : soit par addition d'un proton, soit par fusion de deux noyaux de deutérium.

Le tritium peut lui aussi se former de deux manières différentes. Dans le premier cas, il est formé par la fusion de deux noyaux de deutérium. Dans le second cas, il est formé à partir d'un noyau d'hélium-3, dans lequel on remplace un proton par un neutron (par désintégration bêta, ou par capture/émission de nucléons).

Une fois le tritium ou l'hélium-3 formé, l'hélium-4 peut enfin apparaitre. Il se forme soit à partir d'hélium-3, soit à partir de tritium. Et les méthodes pour se faire assez diverses. Dans les deux cas, il se forme en ajoutant un noyau de deutérium, suivi par l'émission d'un nucléon. Le nucléon émit est un proton pour la fusion avec l'hélium-3, un neutron pour la fusion avec le tritium. Une autre manière consiste à ajouter un proton à du tritium, ou du neutron à de l'hélium-3.

Enfin, les autres éléments légers peuvent se former à partir de l'hélium-4. En fusionnant de l'hélium-4 avec soit du tritium, soit de l'hélium-3, on obtient respectivement du lithium et du béryllium. Le lithium peut aussi se former à partir du béryllium, par remplacement d'un neutron en proton. De plus, le lithium peut fusionner avec un proton pour donner deux noyaux d'hélium-4.

L'ensemble de ces réactions est résumé dans le schéma ci-dessous.

Réactions nucléaires principales de la nucléosynthèse primordiale, en schéma.

Le calcul de l'abondance de l'Hélium[modifier | modifier le wikicode]

Des calculs théoriques poussés, basés sur la physique nucléaire, nous disent que la concentration en éléments chimiques a évolué rapidement au cours de la nucléosynthèse primordiale, avant de stabiliser. Le résultat est que les deux éléments majoritaires sont l'hydrogène (le protium) et l'hélium-4. Le deutérium et l'hélium-3 sont plus rares et ont une concentration assez similaires. Le tritium et les neutrons libres sont eux encore plus rares. Enfin, le lithium et le béryllium ferment la marche et sont sont les éléments les plus rares. Pour simplifier, on peut dire que l'univers est rempli presque exclusivement d'hydrogène et d'hélium-4. Les autres éléments sont tellement rares qu'ils sont presque négligeables.

Évolution de la concentration de chaque élément chimique dans l'univers, au cours de la nucléosynthèse primordiale.

Sans recourir à ces calculs compliqués, on peut calculer l'abondance des éléments principaux. L'idéal est de se concentrer sur l'hydrogène (le protium) et l'hélium-4 uniquement. Négliger les autres éléments n'est pas un problème tant ils sont rares. En faisant cela, on doit considérer que tous les neutrons ont étés capturés dans les noyaux d'hélium-4, vu qu'il n'y en a pas dans les noyaux de protium.

Rappelons que le rapport protons/neutrons est de 1/7. Cela veut dire que sur 16 baryons, 2 sont des neutrons et 14 sont des protons (ce qui est équivalent à dire que sur 8 baryons, 1 est un neutron et 7 sont des protons). Avec ces 16 baryons, on peut créer un atome d'hélium-4 avec 2 neutrons et 2 protons, ce qui laisse 12 protons. On a donc 12 noyaux d’hydrogènes pour un noyau d'hélium-4. Vous avez peut-être vu d'autres chiffres dans la vulgarisation, notamment un rapport de 75% d'hydrogène contre 25% d'hélium. Mais ces pourcentages sont exprimé en terme de masse, non de nombre d'atomes. Pour retrouver ce rapport 75%/25%, il faut prendre en compte la masse relative des noyaux d'hélium-4 et d'hydrogène. Un noyau d'hélium-4 étant approximativement 4 fois plus massif qu'un noyau d'hydrogène, il faut diviser le nombre de noyaux d'hydrogène par 4 pour utiliser la même unité de masse. En faisant cela, on trouve alors que 75% de la masse de l'univers est composée d'hydrogène et les 25% restants d'hélium-4.

Abondance des éléments chimiques suite a la nucléosynthèse primordiale.

Il est possible de retrouver ces résultats par le calcul, ce que nous allons faire de ce pas. Dans les calculs qui vont suivre, nous noterons le nombre d'atomes d'hélium alors que le nombre d'atomes de protium sera noté . Les nombres de neutrons et de protons seront notés et . L'hypothèse comme quoi tous les neutrons sont capturés dans les noyaux d'hélium-4 signifie que :

, car il y a deux neutrons dans un noyau d'hélium-4.

La première étape est de calculer la quantité totale de baryons enfermés dans les noyaux d'hélium-4. Un atome d'hélium-4 contient 4 baryons, deux neutrons et deux protons. En multipliant par le nombre de noyaux, on obtient cette quantité totale, égale à :

Pour la seconde étape, on a besoin du nombre total de baryons dans l'univers. Par définition, il est égal à la somme (la somme du nombre de protons et de neutrons). En combinant les deux équations précédentes, on obtient le rapport entre le nombre de baryons dans les atomes d'hélium et le nombre total de noyaux, que nous noterons .

On utilise alors l'équation  :

On peut réécrire cette équation en utilisant uniquement le rapport protons/neutrons calculé dans la section précédente. Il suffit pour cela de diviser l'équation précédente par le nombre de protons. On a alors :

On a vu dans la section précédente que le le rapport protons/neutrons suite au big-bang est de . En utilisant cette valeur, on trouve que , ce qui veut dire que 75% de la masse de l'univers est composé d'hydrogène et 25% d'hélium-4. Cette valeur est très proche de la valeur observée. A l'heure actuelle, 74% de la masse de l'univers est composée d'hydrogène et 25% d'hélium-4, le reste se partageant le 1 % restant. Précisons qu'il s'agit d'un pourcentage en masse, non en nombre d'atomes.

Le découplage des photons et neutrinos[modifier | modifier le wikicode]

La température baissant avec l'expansion, certaines interactions entre particules deviennent de plus en plus rares. Par exemple, en-dessous d'une certaine température, certaines réactions entre neutrinos et matière deviennent rares, voire inexistantes. Ces populations de particules cessent alors d'interagir. Lorsque cela se produit, l'équilibre thermique est rompu : les deux populations de particules s'isolent thermiquement, et divergent en terme de température moyenne. On nomme découplage de telles situations où deux populations de particules n'interagissent plus à la suite d'une baisse de température. Après un découplage, chaque population de particule a sa propre équation d'état : un gaz monoatomique n'aura pas le même coefficient w qu'un gaz de protons ou un gaz d'électrons. Ainsi, une population de particule se refroidira différemment d'une autre. Par exemple, le rayonnement s'est refroidi plus vite que la matière, à cause de la diminution de fréquence des photons (la température du rayonnement n'est autre que la moyenne de l'énergie des photons, qui diminue avec le facteur d'échelle, comme vu précédemment).

La matière neutre est transparente, ce qui induit un découplage des photons.

Le cas le plus classique est celui du découplage des photons, qui s'est produit 380 000 ans après le big bang, lorsque la matière est passée de l'état de plasma à un gaz d'atomes. Avant le découplage, la matière était composée d'un plasma d'électrons libres, de baryons et de photons. Ce plasma formait un fluide unique, avec une pression, une température, une densité d'énergie, etc. Les photons interagissaient fortement avec les électrons, par diverses processus (diffusion Compton, et autres), ce qui redistribuait la température. Les photons chauffaient les électrons et réciproquement. Un équilibre thermique s'était ainsi installé entre photons et électrons libres, les deux ayant la même température/énergie cinétique moyenne. Cet équilibre incluait aussi les baryons, bien que les baryons n'interagissaient pas directement avec les photons. Les baryons interagissaient fortement avec les électrons, qui servaient d'intermédiaires avec les photons. Ce plasma avait naturellement des propriétés thermodynamiques simples : une pression, une température, un volume, etc. Sa pression était essentiellement causée par la pression de radiation des photons, avec une participation mineure de la pression des électrons libres et des baryons.

La température diminuant, les interactions entre matière et photons ont soudainement cessé lorsque la température est tombée sous les 3000 K. Les photons presque cessé d'interagir avec la matière et ont continué leur vie chacun dans leur coin. A cette température, les électrons se sont associés aux noyaux atomiques pour former des atomes. Ces atomes interagissant peu avec le rayonnement, le plasma s'est divisé en deux gaz indépendants : un gaz de matière, qui s'est condensé pour donner des galaxies et autres structures, et un gaz de photon. Ce dernier a subsisté jusqu’à aujourd'hui sous la forme d'un ensemble de photons de faible température, que l'on peut capter avec certains instruments. Ce gaz est appelé le fond diffus cosmologique, aussi appelé le rayonnement de fond diffus cosmologique, ou encore le CMB (Cosmic Microwave Background).

La même chose a eu lieu pour les neutrinos et anti-neutrinos qui se sont découplés de la matière et des photons un peu avant les photons. Ce fond diffus de neutrinos est malheureusement nettement moins étudié que le fond diffus cosmologique, car les neutrinos n'interagissent pas beaucoup avec la matière, et qu'ils sont donc difficiles à détecter. Nous n'en parlerons donc pas dans ce cours, par manque d'informations à leur sujet. Pour le moment, concentrons-nous sur le découplage des photons.

La découverte du CMB[modifier | modifier le wikicode]

Histoire de la découverte du fond diffus cosmologique.

Le CMB a été théorisé avant d'être découvert. Dans un article de 1948, Alpher et ses collègues théorisèrent l'existence du CMB à partir d'un modèle de big-bang usuel. Mais il fallut attendre 1965 pour que ce signal soit observé pour la première fois, par Penzias et Wilson. Ceux-ci utilisaient une antenne de grandes dimensions, pour tester la fiabilité des communications entre satellites, et étudiaient des interférences radio qui apparaissaient à haute fréquence. Leurs investigations leur ont permis de capter un signal dans la bande de 4Ghz, qui avait des caractéristiques étranges : isotrope, non-polarisé et libre de toute variation saisonnière. L'origine de ce signal est restée inconnue durant quelques années, mais les scientifiques (dont Pensias et Wilson) avaient éliminé toute origine terrestre. Il fallu que Dicke et ses collaborateurs fassent le lien avec l'article d'Arpher. Par la suite, diverses campagnes d'observation ont permis d'obtenir une carte assez détaillée du fond diffus. De nombreux projets d'observations scientifiques ont ainsi observé le fond diffus cosmologique avec une précision de plus en plus grande : COBE, puis WMAP, et enfin la mission PLANCK.

Les observations de Penzias et Wilson montraient un CMB relativement uniforme. Par la suite, les observations du satellite COBE ont montré que le CMB a l'air d'avoir une structure en forme de dipôle, à savoir qu'il a un pole chaud opposé à un pole froid. On pourrait croire que cela réfute l'idée d'un univers isotrope, mais il est rapidement apparu que cette structure en dipôle était liée au mouvement de la Terre par rapport au CMB. Ce mouvement est à l'origine d'un effet Doppler : les zones du CMB qui s'éloignent de nous sont vues comme refroidies, alors que les zones qui s'approchent (opposées, donc) sont vues comme plus chaudes. Les observations plus récentes éliminent cet effet Doppler par divers traitements informatiques, et montrent un CMB sans dipôle, mais avec quelques inhomogénéités. On observe notamment une zone plus chaude au niveau de l'équateur, liée à la présence de la voie lactée (notre galaxie), qui réchauffe quelque peu le CMB de par son rayonnement.

La température de recombinaison[modifier | modifier le wikicode]

Les observations montrent que le CMB est un rayonnement de corps noir quasiment parfait, ce qui est en accord avec la théorie. Le fait que le CMB soit un rayonnement de corps noir signifie que l'on peut lui attribuer une température. Au moment du découplage, on sait que le gaz de photons devait avoir la même température que le plasma. Sans expansion, cette température serait égale à la température du plasma au moment du découplage, qui a été conservée par le gaz de photons. Mais l'expansion a décalé ce rayonnement de corps noir vers le rouge, diminuant sa température. La température du fond diffus a donc diminuée en conséquence. De nos jours, les mesures donnent une température d'environ 2,735 Kelvin. Mais on est en droit de se demander quelle était sa température au moment de sa formation.

Comparaison du CMB avec un rayonnement de corps noir.

La recombinaison a eu lieu quand l'univers a atteint une certaine température, qu'il est important de connaitre. En effet, grâce à elle, on peut calculer quand a eu lieu le découplage, et donc dater le CMB. Autant dire que calculer celle-ci est d'une importance primordiale. En théorie, la température du CMB est la température à laquelle un plasma se condense en atome quand on le refroidit. Dit autrement, c'est la température d'une transition de phase. Vous avez peut-être déjà entendu que cette température est d'environ 3000 degrés Kelvin, ce qui est la température mesurée sur Terre. Reste qu'il vaut mieux la calculer et en rendre compte théoriquement. Les mesures réalisées sur Terre ne sont peut-être pas représentatives des conditions de l'univers primordial : la pression étant plus élevée, la densité différente et j'en passe. Dans cette section, nous allons calculer la température théorique à laquelle le découplage a eu lieu.

L'approximation par l'énergie photonique moyenne[modifier | modifier le wikicode]

Une première méthode est de comparer l'énergie d'ionisation de l'hydrogène avec l'énergie d'un photon. Dans un gaz de photons de température , l'énergie moyenne d'un photon est de . L'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène (la plus faible de toutes) est de 13,6 électrons-Volts (l'EV est une unité d'énergie). On peut alors calculer une approximation de la température de découplage avec le quotient suivant :

On voit que la température obtenue est diablement haute, comparé aux valeurs réelles : plus de 10 fois la valeur réelle. Cela vient d'un phénomène simple : l'énergie moyenne n'est qu'une moyenne, qui cache le fait que certains photons sont plus énergétiques que la moyenne. Même si l'énergie moyenne d'un photon est de 13,6 eV, de nombreux photons ont une énergie suffisante pour ioniser un atome dans le gaz de photon.

L'approximation par l'équation de Saha[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible d'obtenir une approximation plus précise avec l'équation de Saha. Celle-ci permet de déduire le degré d'ionisation d'un gaz. Le gaz en question correspond à un gaz d'hydrogène, composant principal de l'univers, qui s'est justement formé lors du découplage. Avant le découplage, on peut considérer que l'univers était rempli d'un plasma formé par ionisation du gaz d'hydrogène, à savoir un gaz qui mélangeait protons et électrons. L'équation de Saha nous dit que, si on note :

  • , et La concentration en électrons, protons et hydrogène ;
  • la masse de l'électron ;
  • l'énergie d'ionisation d'un atome d'hydrogène.
Vous remarquerez que l'équation de Saha ressemble beaucoup à la distribution de Boltzmann.

Pour diverses raisons techniques, les physiciens décrivent souvent l'ionisation d'un gaz en utilisant la fraction d'électrons libres. Elle correspond au rapport en nombre d'électrons libres et nombre de protons (libre ou appartenant à un atome d'hydrogène). Elle vaut donc :

Le plasma primordial est neutre électriquement. Or, la neutralité électrique de la matière signifie que . Avec cette contrainte, l'équation de Saha se réécrit comme suit :

L'équation nous dit que le découplage n'est pas un évènement qui a eu lieu à une température bien précise, mais un processus continu dans lequel l'ionisation a baissé lentement. A 5000 Kelvins, la matière est ionisée à près de 99%. Le taux d'ionisation chute ensuite progressivement avec la température, pour atteindre 50% à 4000 Kelvins, puis 1% à 3000 Kelvins. Les scientifiques estiment, par pure convention, que le découplage a eu lieu quand le degré d'ionisation descend en-dessous de 1%, c'est à dire à une température d'environ 3700 Kelvin.

Les approximations plus précises[modifier | modifier le wikicode]

Les observations ne sont pas complètement compatibles avec cette approximation, bien que le modèle de Saha colle à-peu-près. Les mesures semblent indiquer non seulement que la température calculée n'est pas tout à fait exacte, mais qu'en plus, le découplage a pris plus de temps, s'est déroulé plus lentement. Pour obtenir des résultats plus précis, divers modèles ont étés inventés par les physiciens. Le plus simple de ces modèles est le modèle de Peebles, aussi connu sous le nom de modèle d'atome à trois étages. Il a été complété par de nombreux modèles, qui sont devenus de plus en plus complexes avec le temps, incluant de plus en plus d'acquis théoriques provenant de la physique atomique. Nous ne parlerons pas de ces modèles, qui sont assez compliqués pour ce cours (ils font notamment appel à quelques concepts de physique quantique).

L'âge de la recombinaison[modifier | modifier le wikicode]

La température du fond diffus au moment du découplage est estimée à 3000 degrés Kelvin, température de condensation d'un plasma en atomes. A partir de la température mesurée actuellement, et de la valeur théorique de formation d'un plasma, on peut déduire l'âge qui s'est écoulé depuis la formation du CMB. En théorie, on peut déduire la température du CMB en utilisant la formule suivante, établie dans le chapitre "L'évolution du rayonnement" :

Mais utiliser cette formule présuppose de connaitre et . Cependant, on peut ruser en remplaçant le facteur d'échelle par le redshift. Pour cela, on utilise la formule vue dans le chapitre "L'évolution du rayonnement". Le décalage vers le rouge est mesuré entre l'époque actuelle et la recombinaison, ce qui fait qu'on le notera .

Rappelons que cette formule utilise la convention . Ici, le temps d'émission est l'instant où à eu lieu la recombinaison. En clair, la température est la température de découplage .

La température au moment du découplage était d'environ 3000 degrés Kelvin, alors que la température actuelle du fond diffus est d'environ 2,735 degrés Kelvin.

Le redshift calculé ainsi est de :

.

En utilisant un modèle cosmologique, on peut déduire une relation âge-redshift, et donc calculer combien d'années se sont écoulées entre le big-bang et la formation du CMB.



L'énergie noire

Il a longtemps été cru que l'expansion de l'univers devait décélérer avec le temps. Mais quelques observations ont remis cette affirmation en cause. Deux expériences ont fait voler en éclat ce consensus, en faisant état d'une accélération de l'expansion : le Supernova Cosmology Project et le High-Z supernovae search team. Ces observations ont été confirmée par des observations faites avec le télescope Hubble, à l'heure où j'écris ces lignes (fin 2016). Cela pourrait s'expliquer par une courbure non-nulle, mais les diverses observations stipulent que la courbure est bien nulle ! Or, les équations de Friedmann sans courbure et sans termes additionnels nous disent que l'univers est censé se contracter de moins en moins vite : l'expansion devrait ralentir, pas accélérer.

Illustration schématique de l'accélération de l'expansion de l'univers.

L'énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

Pour comprendre pourquoi les scientifiques furent étonnés par l'accélération de l'expansion, nous devons repartir de la seconde équation de Friedmann. Pour rappel, celle-ci nous donne le taux d'accélération de l'expansion de l'univers.

A l'époque, on pensait que la densité et la pression devaient forcément être positives toutes les deux. En raison du signe moins, la dérivée seconde était alors négative : l'expansion devait obligatoirement décélérer. Autant dire que la découverte de l'accélération de l'univers ne semblait pas compatible avec la seconde équation de Friedmann. Pour résoudre le problème, les physiciens devaient permettre à la densité ou à la pression de devenir négatives. Si l'hypothèse d'une densité/masse négative n'a pas été retenue, ce n'est pas le cas de l'autre possibilité. Les physiciens ont donc supposé qu'il existe, dans l'univers, quelque chose qui a une énergie positive, mais dont la pression est négative. Ce quelque chose, il l'ont appelé l'énergie noire.

Une description rapide de l'énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

L'énergie noire a une masse positive, mais a aussi une pression positive. Or, la relativité générale nous dit que la pression est une forme d'énergie, qui a donc un effet gravitationnel. Dans cette théorie, toute énergie a un poids, une sorte de masse fictive, et la pression ne fait pas exception. Mais pour la matière ordinaire, la pression est positive, c'est à dire qu'elle a un effet gravitationnel normal, similaire à une masse positive. Elle a donc tendance à ralentir l'expansion, dans une certaine mesure. Mais l'énergie noire a une pression négative, ce qui est particulièrement original (même si on observe des phénomènes similaires dans certains cristaux ou lors de changements de phases). Du point de vue de la relativité générale, une pression négative implique un effet anti-gravitationnel, une attraction gravitaire dirigée vers l'extérieur. En clair, elle agit comme une force répulsive qui contrecarre la gravité et augmente l'expansion au lui de la ralentir.

L'énergie noire se caractériserait par une densité constante au cours du temps. On peut remarquer que cela implique que l'énergie de l'univers ne se conserve pas, vu que cette densité constante est couplée à une augmentation du volume de l'univers par l'expansion. Aussi improbable que cette hypothèse puisse paraitre, elle correspond cependant bien aux observations.

Les scientifiques ont tenté d'expliquer cette énergie noire de plusieurs manières. La tentative la plus connue se base sur une prédiction assez singulière de la théorie quantique des champs. D'après cette théorie, le vide est censé être rempli d'une énergie appelé énergie du vide. On pensait autrefois qu'il s'agissait du candidat idéal pour expliquer l'énergie noire. Jusqu'à ce que des physiciens fassent les calculs et montrent que l'énergie du vide donne des valeurs aberrantes pour la densité d'énergie noire. Leurs résultats donnaient une énergie du vide près de fois plus grandes qu'observée, ce qui est aujourd'hui considéré comme la "pire prédiction théorique de l'histoire de la physique".

Contenu de l'univers.

Les observations semblent indiquer que 30% de l'univers est composé de matière, tandis que le reste de la densité d'énergie est intégralement composé d'énergie noire.

Une reformulation de la première équation de Friedmann avec énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

La constante de la densité d'énergie noire permet de simplifier la première équation de Friedmann, en utilisant la densité d'énergie noire .

Rappelons que la densité de matière, de rayonnement et de courbure suivent les relations suivantes : ,