Précis d'épistémologie/ZFC est fausse

Un livre de Wikilivres.
Aller à la navigation Aller à la recherche

Pour qu'une théorie soit fausse, il suffit qu'un seul de ses axiomes soit faux.

L'axiome de séparation de Zermelo : toute formule bien définie détermine une partie d'un ensemble qui contient tous ses éléments pour lesquels elle est vraie, et seulement eux.

Cet axiome est vrai par définition d'une formule bien définie : une formule est bien définie lorsque sa vérité, ou sa fausseté, est déterminée dans tous les cas où elle est appliquée.

Zermelo a formulé son axiome en se gardant bien de préciser quelles sont les formules bien définies, parce qu'il ne savait pas. Pour formaliser la théorie de Zermelo, Fraenkel l'a complétée avec le principe suivant, suggéré par Skolem : toutes les formules d'une théorie pure des ensembles, énoncées avec la logique du premier ordre, sont bien définies. Mais ce principe est faux, parce que ces formules peuvent contenir des expressions telles que "pour tout ensemble" ou "il existe un ensemble". Or ZFC ne détermine pas précisément le concept d'ensemble. Qu'est-ce qui est un ensemble ? Qu'est-ce qui n'en est pas un ? On peut définir de nombreuses façons différentes l'univers de tous les ensembles. La vérité d'une formule qui contient "pour tout ensemble" peut dépendre de l'interprétation choisie. Ces formules ne sont donc pas toujours bien définies. Par conséquent, la formulation par Fraenkel de l'axiome de séparation de Zermelo est fausse. ZFC est donc fausse.

Par exemple, ZFC permet de prouver l'existence de l'ensemble égal à {} si l'axiome de constructibilité est vrai et à {{}} s'il est faux. Comme la vérité de l'axiome de constructibilité dépend de la définition de l'univers de tous les ensembles, cet ensemble, dont ZFC permet de prouver l'existence, n'est pas bien défini. Un ensemble qui n'est pas bien défini n'est pas un ensemble du tout. Il n'existe pas. ZFC permet de prouver des théorèmes faux, donc elle est fausse.

Pour corriger l'erreur de Fraenkel, il suffit d'interdire les quantificateurs non-bornés dans la définition des ensembles. Pour l'axiome de remplacement on a besoin d'une théorie des relations fonctionnelles bien définies.

ZFC est la théorie standard adoptée jusqu'à présent, depuis plus de 70 ans, par presque tous les mathématiciens du monde, pour fonder le savoir mathématique.