Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Géodésie spatiale

la géodésie-gravimétrie terrestre n'est pas moribonde du tout : car à des échelles locales (20km), elle complète utilement les renseignements donnés par la géodésie spatiale.

Développement multipolaire du potentiel de gravité terrestre

SUPPOSONS concentrée l'atmosphère sur une couche de 76cm de mercure ou 10.33m d'eau. Alors à l'extérieur, le potentiel est harmonique et décroît hormis le terme -GM/r comme 1/r^3 ( on place usuellement l'origine au barycentre des masses.

SUPPOSONS la symétrie de révolution ; alors en vertu du théorème de Whittaker (cf plus haut), le potentiel terrestre est simplement tel que :

$V(r)+{GM \over r}={\frac {GM}{r}}\Sigma _{n=2}{\frac {J_{n}\cdot P_{n}(cos\theta )\cdot a^{n}}{r^{n}}}$

où a est, en général choisi comme le rayon équatorial.

Exercice : montrer que si de plus la symétrie équatoriale existe, alors seuls les termes pairs existent, et donc J2, J4 , J6 ,etc. suffisent.

potentiel EXACT du GRS 1980

Le système Geodetic reference System 1980 a été choisi, CONVENTIONNELLEMENT, parce que tous les calculs peuvent être faits à la précision infinie. Il s'agit du potentiel de gravité d'un ellipsoïde de révolution:

*de demi-grand axe équatorial  : 6 378 137 m
*de J2 = 1.08263 10^(-3)
*de GM = 3 986 005 10^8 m^3/s^2 (WGS84 : 3 986 004 .418)
*la Terre tournant en 86164.1 secondes sidérales

On peut immédiatement en déduire avec autant de ChS que l'on désire TOUTE DONNÉE gravimétrique-géodésique concernant cet ellipsoïde.

Voici quelques valeurs, que l'on peut calculer en exercice :

• 1/f = 1/ 298, 257 222 101 (WGS84 : 1/ 298. 257 223 563 par définition)
• donc b = 6 356, 752 314 1 km
• donc le méridien : 40 007, 243 508 3 km (l'étalon platine-iridié n'était pas si mauvais!)
• Le potentiel normal : Uo = [7914.345 257 19 m/s]^2
• On peut en déduire les J4 , J6 etc.

J4 = -0.0024 10^(-3); J6 = +6 10^(-10), etc.

• Autre paramètre important :

m  : = w^2a^2 b /GM = 3.449 786 003 08 10^(-3) (en gros w^2 a/g)

• Notes du cours Balmino 1974(Lannion) :

GM = 3 98 6 00(3) ... on a donc gagné en chS, pour le WGS 3 98 6 00 ,4 418 km^3/s² Puis p414 : J2 = 1082,66(2) au lieu de 1082.63 J4 = -1.52 alors que GRS donne -2.4 etc. p.417 : Gaposchkin est au degré 23 en 1973 comparé à Cazenave : 1082.637(4) , -1.619(10) p.428 : résonances p434 : incorporation des gravity data p442 : gradiometry p450 : Low-Low tracking, twin satellite p464 : altimetry

La formule de Somigliana(1929)

• g(équateur) = 9.780 326 771 5 m/s² (il faudrait les reprendre : la précision des gravimètres étant maintenant vers 10^(-12)

g(polaire) = 9.832 186 368 5 m/s².

$g(\theta )={\frac {ag_{p}cos^{2}\theta +bg_{e}sin^{2}\theta }{\sqrt {a^{2}cos^{2}\theta +b^{2}sin^{2}\theta }}}$

Exercice : montrer qu' en fonction de l'angle $\phi$ de la normale en P à l'ellipsoïde, la formule de Somigliana se mémorise mieux :

$g(\phi )={\frac {ag_{e}\cdot cos^{2}\phi +bg_{p}\cdot sin^{2}\phi }{\sqrt {a^{2}\cdot cos^{2}\phi +b^{2}\cdot sin^{2}\phi }}}$.

• Bien sûr, ces calculs ne peuvent se faire que si l'on donne la valeur du potentiel de PESANTEUR de cet ellipsoïde (e= c/a) : en coordonnée ellipsoïdales u, $\theta$ (la longitude n'intervient pas bien sûr!),

$V(u,\theta )=-GM\cdot {\frac {1}{c}}\cdot Arctan(c/u)+V_{rotation}$, avec

$V_{rotation}=-1/2\cdot \omega ^{2}[(u^{2}+c^{2})sin^{2}\theta ]-1/3\cdot \omega ^{2}\cdot P_{2}(cos\theta )\cdot {\frac {q(u)}{q(b)}}$ , et puis

$2q(u)=(1+3{\frac {u^{2}}{c^{2}}})\cdot Arctan(c/u)-3{\frac {u}{c}}$.

fonctions de Legendre de deuxième espèce (higher level)

• Rappel : les coordonnées ellipsoïdales harmoniques d'un point M sont sa longitude , $\theta$, complément de l'anomalie excentrique de l'ellipse, de petit axe u , où il est situé ; toutes les ellipses étant confocales F1F2 = 2E.

[Ainsi z = u cos theta et rho = sqrt(u²+E²).sin theta ; u = cste est une ellipse et theta = cste est une hyperbole orthogonale : cfp 35 du Moritz)

• L'équation différentielle linéaire de Legendre étant du second ordre, aux Plm(x) sont associées les autres solutions , notées ici Qlm(x): on obtient toujours Qlm à partir de Qno(x) : = Qn(x)

en dérivant m fois et en multipliant par (1-x^2)^(m/2).

les Qn(x) s'expriment à l'aide des Pn(x). D'autre part la loi de récurrence est la même. Donc en pratique , il suffit de connaître les 3 premières :

• Qo(z) = Argcotanh(z)
• Q1(z) = z. Qo(z) -1
• Q2(z) = P2(z).Qo(x) -3z/2

expression du potentiel GRS1980 à l'aide de Qo et de Q2

Posons, as usual, c = sqrt(a^2-b^2), et e= c/a

V(u, $V(u,\theta )/(GM/a)={\frac {i}{c}}Q_{0}({\frac {iu}{c}})+{\frac {15i}{2}}Q_{2}({\frac {iu}{c}})\cdot P_{2}(cos\theta )\cdot [{\frac {J_{2}}{e^{3}}}-{\frac {1}{3e}}]$).

Il est remarquable que le potentiel V s'exprime de façon aussi simple, et ne fasse intervenir , AVEC CE JEU DE COORDONNÉES très particulières, que Po et P2. (cf Moritz, p 76). Il n'y a aucune approximation et la formule est simple !

le WGS84

La définition du WGS84 est importante car le GPS est calé sur cet ellipsoïde , qui convient mieux aux USA. En fait la définition du WGS n'a jamais changé, mais sa réalisation pratique en termes de "frame" , de base de coordonnées évolue avec la précision accrue des données : on est à la version G873!

De même, la RÉALISATION pratique de l'IERS est l'IRTF qui est changé environ tous les deux ans. Il est évident que lorsque les 3 constellations GPS, Glanost et Galileo seront opérationnelles , il faudra encore améliorer la réalisation pratique. Pourquoi ? parce que certaines mesures géodésiques requièrent le 1/10 mm. Comme une ns = vaut 30cm , on voit qu'il faut que les signaux d'horloges soient précis à 0.3ps : on en est loin , GLOBALEMENT (en 2007, environ 10-100 ps).

• moyennant tout cela, on peut commencer à faire quelques exercices de géodésie.

Exercices de géodésie-gravimétrie

élémentaire mais bluffant: R volumique

quel est le rayon de la sphère ayant même volume que l'ellipsoïde ? en déduire la valeur de m = w^2R^3/GM

solution :a^2.b = R^3 d'où R = 6 371,000 79 km

Comme on a une excellente précision sur w et sur GM , on obtient une excellente précision sur m

m = 4pi^2 R^3/T^2GM =0.003 449 786 003(5)

Huygens et Newton

L'un comme l'autre avaient compris l'aplatissement de la Terre comme dû à la force centrifuge et essayèrent d'évaluer l'aplatissement f .

Huygens prît une masse ponctuelle.

Newton une masse volumique uniforme.

Trouver 1/f dans les deux cas.

Solution :

Pour Huygens, la surface de la Terre étant équipotentielle, il écrivit (traduit en termes modernes !) : V(pôle) = V(équateur) = -GM/b = - GM/a -w^2a^2/2 ; soit en multipliant par ab :

(a-b)/a = m/2 soit f = m/2 = {{}} ! en-tête 0 |----- | f = m/2 |} 1/579.

Pour Newton le calcul fût plus subtil :

Par un argument géométrique, il avait compris que la gravité au pôle go(pôle) = go(équateur)(1+ f/5)

La pression au centre était pour lui via -grad P +rho.g = 0 -grad P + rho (-grad V) = 0 , soit P +rho V = cste

Il retrouvait donc V(pôle) = V(équateur)

soit go(pole).b = go(équateur)(1-m)

D'où 1-f = (1-m)/(1+f/5)

soit f = 5/4 m = 1/232

la vraie valeur était donc comprise entre 1/232 et 1/579 :

on sait aujourd'hui qu'elle vaut : 1/298. 257 222 101.

Sauriez-vous retrouver l'argument géométrique de Newton ?

la belle formule de Clairaut

on appelle f* = [g(pôle)-g(équateur)]/g(équateur).

Montrer qu'au plus bas ordre f + f* = 5/2 m pour tout ellipsoïde de définition (càd équipotentiel)[on partira donc de la formule de Mac Cullagh]

[on avait vu que Newton avait trouvé f = 5/4 m ET 1+f* = (1+f/5)(1-m) : donc il avait f= f* =5/4 m ; évidemment le raisonnement de Clairaut ne s'appuyait que sur l'hydrostatique quelle que soit la densité]

Solution :

V(M) = - GM/r + J2. GM a^2.P2/r^3 -1/2 .w^2 r^2 sin^2$\theta$ = cste

Écrire V(z) , puis g(z) ; donc V(b) et g(pôle)

Écrire dans le plan équatorial V(x), puis g(x) ; donc V(a) et g(équateur).

Ce qui donne 2f = 3 J2 + m et f* = 2f -9/2 .J2 + m

d'où le résultat en éliminant J2.

Il est étonnant que Newton n'ait pas fait ce calcul simple. Il devait quand même se douter que la masse volumique irait en augmentant avec la profondeur (?).

les valeurs numériques donnent :

f = 1/ 298.6

Évidemment ce calcul n'est valable qu'au premier ordre : inutile donc de pousser au-delà du 4ème ChS.

exercice de passage terminales-prépa (posé au concours général) :

Les satellites de Géodésie spatiale sont de simples boules miroir qui renvoient le rayon lumineux vers l'émetteur (lageos , starlette , etc.): le temps d'aller -retour permet de déterminer leur distance. Par triangulation , on observe leur trajectoire au cm près. La Terre n'étant pas ronde mais renflée à l'équateur (21 km), le premier problème de géodésie spatiale est de trouver le mouvement d'un satellite dans le potentiel:

$-{\mu \over r}+J_{2}\cdot {\mu \over r}\cdot ({R^{2} \over r^{2}})\cdot [(3cos^{2}\theta -1)/2]$ ,

avec J2 = 1E-3, terme correctif.

Réciproquement, le problème-inverse sera de déduire de l'orbitographie la valeur précise de J2.

Montrer que le grand axe 2a ne change pas en moyenne, ni e , ni l'inclinaison i . Par contre la ligne des nœuds récesse:

${d\psi \over dt}=-{3n \over 2}\cdot J_{2}\cdot f(e)\cdot cosi$

trouver f(e).

Le périgée dans le plan tournant défini précédemment n'est pas quiescent : il précesse à la vitesse :

${d\theta _{P} \over dt}=+{3n \over 2}\cdot J_{2}\cdot f(e)\cdot [(5cos^{2}i-1)/2]$

.

Le prouver.

Si i = 0 , la trajectoire est dans l'équateur du bourrelet et les deux effets se conjuguent. Vérifier par la théorie banale de perturbation qu'il en est bien ainsi.

Trouver i pour le satellite Spot, héliosynchrone, avec une altitude de 800km.

Réponse : $f(e)={R^{2} \over p^{2}}$

hint : on utilisera le théorème de Larmor (cf mouvement d'une particule chargée).

Solution : le théorème de Larmor permet aisément de comprendre le phénomène, puisque c'est une manière d'interpréter en Terminale-S le couple-gyroscopique (non au programme).

La figure se voit mieux quand le terme J2 est négatif (Terre en forme de cigare): on peut se la représenter comme 2 points attracteurs de masse M/2 , distants de 2d , tel que ce système ait le même J2(négatif). Le premier point sera appelé F1 (OF1 = d) le deuxième OF2 (OF2 = -d). Alors, il suffit de tracer la figure F1SF2 , pour s'apercevoir que le satellite S reçoit une force centrale + une perturbation dirigée vers le nord : comme un cerceau d'inclinaison i , que l'on pousserait de manière à le redresser : les enfants savent cela : le cerceau ne se redresse pas ! il tourne (il précesse) à droite. sans se redresser.