Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Polynômes harmoniques sphériques

décompte

Dénombrer le nombre de polynômes sphériques de degré l : réponse : 2l+1 .

Énoncé plus précis : soit l'espace vectoriel des polynômes P(x,y,z) de 3 variables réelles. On se limite au sous-ev des polynômes homogènes de degré l : quel est sa dimension ?

réponse : 1/2 (l+1)(l+2).

On se restreint au sous-ev des polynômes harmoniques (càd ceux dont le Laplacien est nul): montrer qu'il n'y en a que 2l+1.

réponse : en dérivant deux fois on obtient tous les polynômes de degré l-2 , et on veut qu'ils soient tous nuls . On vous laisse conclure.

• Recommencer pour les polynômes harmoniques du plan :

Là cela devient très facile : quel que soit l , il n'y en a que 2 ! En effet ce polynôme doit s'écrire à partir de (x+ iy)^l : et il y a la partie réelle et la partie imaginaire ! Dit en coordonnées polaires r^l .cos(l theta) et r^l . sin (l theta). Appliquer ensuite la formule de Moivre. En fait cos (n theta) = Tn[cos(theta)]et sin (n theta)/ sin (theta) = Un (cos(theta) ; les polynômes Tn(x) et Un(x) s'appellent les polynômes de Tchebychev. On doit connaître par cœur T3(x) , U3(x) et son carré , et leur tracé (cours de terminale S sur les fentes d'Young).

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En chimie,

• l=0 , s'appelle harmonique s
• l=1 , p
• l=2 , d
• l=3 , f
• l=4 , g

Et , pour décrire le tableau périodique, on n'a pas besoin de plus. Écrire tous les polynômes sphériques qui interviennent en chimie (ou physique atomique!):

Expression explicite

• Orbitale s : une seule : P(x,y,z) = 1

• Orbitales p : 3 : x, y, z

• Orbitales d : 5 : x^2-y^2, xy , y^2-z^2 , yz et on choisit enfin 3z^2-r^2 : montrer qu'on obtient par combinaison (hybridation en chimie) z^2-x^2 et zx , heureusement. Évidemment le choix d'une base dans un ev a quelque chose d'arbitraire : on est LIBRE . Cette liberté est malheureusement source de controverses et de confusions.

• Orbitales f : 7 : on est déjà en train de décrire les lanthanides et les actinides(produits que l'on ne voit pas beaucoup dans la nature, vu leur durée de vie ( seul l'isotope 238U est assez stable)); quant aux lanthanides, on commence à les voir apparaître, mais ce sont des produits encore coûteux. : z(5z^2-3r^2) , x(5z^2-r^2), y(5z^2-r^2), z(x^2-y^2), zxy, y(3x^2-y^2),x(3y^2-x^2)
• Orbitales g : 9 : on a pour l'instant peu d'espoir de faire de la chimie avec. Inutile donc de les écrire sinon par un souci de curiosité. On pourra consulter la toile.

Remarque : bien sûr, dans les étoiles, on peut trouver de l'hydrogène à des niveaux d'excitation extrêmes (il n'y a que peu de collisions , densité faible, et les nuages sont très froids): on parle alors d'états de Rydberg. L'état de Rydberg le plus étudié est celui dit "circulaire", avec l = n-1 . Si n = 300 , cela donne quand même un ev de 599 orbitales ! Souvent on ne s'intéresse qu'à celle de nombre magnétique m nul . Ouf!

Remarque : bien sûr, souvent les coordonnées choisies ne sont pas cartésiennes, mais sphériques { $r,\theta ,\phi$} : on pourra alors réécrire ces polynômes en termes des $Y_{lm}(\theta ,\phi )$ : l s'appelle l'ordre et m le degré en géodésie spatiale, mais il s'agit bien du même espace vectoriel. Simplement les Ylm sont orthonormées sur la sphère unité , ce qui permet de trouver les "composantes de Fourier " dans cette base de n'importe quelle "fonction vertueuse" : par exemple l'écart de la terre à la "rotondité".

Théorème de Whittaker(1908)

Dans le plan , toute fonction f(x,y) peut se réécrire g(z , z*) avec z := x + i y et z* = x - i y.

Si g ne dépend pas de z* , alors on dit que f est harmonique. Cauchy est un des tous premiers à avoir étudier la théorie de z -> g(z) , théorie dite de la variable complexe , OUTIL EXTRÊMEMENT PUISSANT.

• Whittaker a généralisé à 3D : partant de la considération évidente que :

[z + i x cos(u) +i y sin(u)]^l est une somme harmonique , il en a déduit que toute fonction harmonique f(x,y,z) pouvait s'écrire sous la forme:

$f(x,y,z)=\int _{0}^{2\pi }F[(z+ix\cdot cos(u)+iy\cdot sin(u)),u]du$

Cette formule généralise en 3D l'étude des fonctions harmoniques en 2D. Elle est donc très importante, et sert moult fois (en particulier, si on connaît F[ z, u], pour x et y nuls , on a fini à une intégrale près !).

Polynômes de Legendre

Soit Oxyz un trièdre orthonormé. Sur l'axe Oz un point M très loin (z) et un point P (OP =a). Écrire le potentiel de P en M et le développer en série . Solution : 1/(z-a) = 1/z +a/z^2 + a^2/z^3 +...

Toute fonction analytique à symétrie de révolution de type :

${\frac {1}{z}}(1+\Sigma _{n=1}{\frac {c_{n}}{z^{n}}})$

sur l'axe, s'écrit en coordonnées sphériques :

${\frac {1}{r}}({1+\Sigma _{n=1}{{c_{n}P_{n}(cos\theta )} \over r^{n}}})$.

Montrer que 1/PM (fonction harmonique, sauf si M est en P !), avec OM (x,y,z) (||OM|| >a) développée en série de a/r redonne automatiquement tous les polynômes de Legendre , dont c'est une des définitions.

On pourra vérifier la formule de Rodrigues :

$P_{n}(x)=[(x^{2}-1)^{n}]^{((n))}\cdot A_{n}$

[Pour obtenir les fonctions de Legendre associées, $P_{n}^{m}(x)$, on dérive simplement m fois Pn(x) et on multiplie par (1-x^2)^(m/2)].

quelques propriétés des polynômes de Legendre

Pn(1) = Pn(-1) = 1 , mais évidemment P2k(0) n'est pas simple. Les Pn(x) sont orthogonaux sur le segment [-1,1] de mesure dx . Ils ne sont pas orthonormés. Les premiers sont : 1, x, (3x^2-1)/2 et (5x^3-3x)/2. Au-delà la formule de récurrence de Rodrigues est utile : $(n+1)\cdot P_{n+1}+n\cdot P_{n-1}=(2n+1)\cdot x\cdot P_{n}$

Expression explicite des Ylm en coordonnées sphériques

Les harmoniques sphériques sont orthonormées sur la sphère unité. On n'indiquera pas la constante de normalisation .

$P_{Legendre_{l}}(\cos \theta )$

: Orbitales zonales

$e^{i\phi }{d \over d\theta }P_{l}(\cos \theta )$

: Orbitales premier degré

$e^{i\cdot m\cdot \phi }\cdot P_{lm}deLegendreassocies$

: Orbitales tesserales

$e^{i\cdot l\cdot \phi }\cdot \sin ^{l}\theta$

: Orbitales en tranches sectorielles

• Pour l = 360 , il y a 2 orbitales sectorielles qui découpent la sphère par méridiens de degré en degré.

Il y a 1 orbitale zonale P360 qui a 360 zéros non équirépartis en parallèles. Ce qui quadrille déjà fort bien la sphère.

Si de plus on trace les 721-3=718 harmoniques tesserales , on voit que la Terre sera découpée en petits carrés positifs et négatifs , d'environ 100km de côté :

La décomposition d'une valeur scalaire sur la sphère , par exemple l'altitude = f(latitude, longitude) pourra donc se faire sur ce "maillage" à l'aide de 721 coefficients, ainsi que les 719 précédents , etc. soit au total 360^2 =19600 coefficients.C'est ce que peut facilement engranger un ordinateur aujourd'hui. Plus on voudra de précision et plus il faudra prendre d'harmoniques. Mais , attention, cette décomposition sur une base présente les mêmes phénomènes de Gibbs que dans l'analyse de Fourier. La parade est connue : si l'on veut se focaliser sur un endroit de la planète , il convient de généraliser les analyses temps-fréquence, c'est à dire les "ondelettes". Bien sûr ces outils sont fondamentaux en géographie, géodésie , gravimétrie, géophysique , etc. Bien sûr s'il s'agit de champs vectoriels, on a inventé les Harmoniques sphériques vectorielles.

• [Enfin, si la surface n'est pas une sphère mais plutôt un ellipsoïde, Lamé a su aussi décrire les fonctions adéquates].
• Évidemment, comme on peut construire les Ylm à partir de n'importe quel pôle "nord", et qu'elles forment une base complète sur la sphère unité , il existe des formules dites d'addition, trouvées par Rodrigues entre ces "différentes" fonctions.

Exercice très souvent demandé

Soit f(r)= r^l ; alors $\Delta f(r)=K{\frac {f(r)}{r^{2}}}$ ; trouver K

Solution : f" +2/r f' = K f/r² donne K = l(l+1): l=-1 est le cas newtonien ; l=0 devait aussi être solution !

Inversion

Soit une fonction harmonique f(x,y,z) . Montrer que 1/r f(x/r,y/r,z/r) est harmonique. Rem : comme r^l.Ylm est harmonique , on peut aisément démontrer que 1/r^(l+1).Ylm est harmonique. Comme toute fonction harmonique "raisonnable" se décompose sur la base des polynômes harmoniques, on pressent que le théorème est vrai. La démonstration "à la main" est un peu longue, mais est un excellent exercice sur les dérivées partielles.

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la marée élémentaire de Proctor

La Lune est à d = 60 R , rayons terrestres et sa masse ~1/80 de celle de la Terre. Elle attire un point M de la mer avec l'accélération : (GM/80). [${\frac {\vec {ML}}{ML^{3}}}-{\frac {\vec {TL}}{TL^{3}}}$], soit grosso-modo :

(g/80) .R^2.[${\frac {\vec {ML}}{ML^{3}}}-{\frac {\vec {TL}}{TL^{3}}}$]= (g/80).R^2/ML^3.MK

Proctor a remarqué que si on portait tous ces vecteurs MK à partir de chaque point M d'un cercle, l'ensemble des points K se trouve sur la droite TL . Le démontrer.

Pour les petits (classe de 5ème), on fait faire la construction simple de Proctor (L est supposée très loin).

Pour les plus grands (classe de 4ème), on fait faire la construction vraie.

En seconde , on demande de démontrer la construction de 4ème .

• Remarque : parfois cette construction géométrique élémentaire n'est pas connue. Elle est rappelée ici :

Soit TL l'axe "horizontal" Tz , d'origine T.

Soit le cercle C(T, TM = R).

Tracer Mz, TM , puis la cote H de M (TH = z(M)). Tracer la parallèle en H au vecteur TM. Elle recoupe Mz en M1. Itérer cette construction , ce qui conduit au point M2 qui se projette en H2 : le vecteur MH2 est le vecteur MK cherché. c'est la construction facile avec la Lune à "l'infini".

Sinon, on doit tracer les arcs de cercle MH, M1H1, M2H2 de centre L. La construction est rigoureuse.

[Note : Ce problème est assez classique en électrostatique].

dans le cas simple (suffisant pour expliquer qualitativement), on constate aisément les faits suivants : le diagramme présente la symétrie de révolution et la symétrie équatoriale. Sous la lune , MK vaut 2R ; à 90° MK est intérieur et vaut R . Au point Mc, d'angle (109°27')/2, la force de marée est tangente.

Cela suffit pour montrer que la marée est zonale type P2(cos$\theta$); "haute" dans les deux calottes sous la Lune et anti-Lune , "basse" dans le "tonneau intermédiaire" ; évidemment la somme de l'eau dessus et dessous est nulle sur la sphère, et au total on a une "olive" , très , très peu prononcée. En réalité tout cela est à placer sur une terre aplatie(a-b = 21km >> 40cm de marée) et en réalité , tout tourne (la Terre pivote et la Lune révolutionne, et pas dans la même direction ; et les océans ne se laissent pas ballotter simplement par ce forçage. De plus il faut compter aussi avec le forçage du Soleil. Autant dire que même Doodson , le Grand Maître des marées n'a jamais réussi à finir les calculs, et que ce sont de gros ordinateurs qui ont réussi récemment à calculer la marée globale des océans.[références : Lefèvre (2000, thèse ToulouseII); Woppelmann(1997, thèse Paris); Poincaré (Vol III).

Les coefficients de Doodson sont là :[1], et pour plus ici : [2]

potentiel de marée statique

Pour ceux qui connaissent la notion de potentiel, il est évident qu'au champ de gravité différentielle précédent correspond un potentiel : - (GM/80)[1/LM - LT.TM/d^3](harmonique de révolution et donc on applique la formule de Whittaker), ce qui donne immédiatement,

-(GM/80)(R²/d^3).P2(cos$\theta$), 

ce qui correspond à une élévation de l'eau de z(theta) = R.P2(cos(theta)).(R/d)^3 /80 =~40cm.P2(cos(theta)).

Il convient d'y rajouter l'influence du Soleil dont le forçage est environ deux fois moindre, et le mouvement dans le ciel si différent !

Calculer le potentiel dépendant du temps ! (bonne galère!)

Solution :