Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Système à deux états

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Recueil d'exercices de
mécanique élémentaire
Système à deux états
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Soit un système à deux états ( donc un espace vectoriel dont une base orthonormée est {|1> , |2>}. Un état quelconque est donc représenté par |psi(t)> = A1(t)|1> +A2(t)|2> .

On demande de trouver l'évolution de |psi(t)> sous l'action d'un hamiltonien H de trace nulle (ce qu'il est toujours possible de choisir, sans troubler la généralité , par choix d'origine des énergies).

Réponse[modifier | modifier le wikicode]

Niveau 1 : position du problème :

L'évolution est régie par le principe fondamental de la dynamique quantique :

soit deux équations différentielles, linéaires à coefficients constants, couplées en A1(t) et A2(t), qu'il s'agit d'écrire et de résoudre connaissant (A1(0), A2(0)).On appellera le [determinant de H], réel négatif = .


Niveau 2 : résolution mathématique :

il est assez facile formellement d'écrire que :

,

où U(t) est le traditionnel opérateur d'évolution.

et donc,{ puisque par le théorème de Cayley-Hamilton , }, le calcul de cet opérateur d'évoultion est simple :

Niveau 3 : pertinence :

1/.Si H est diagonal dans la base choisie , on trouve bien un état stationnaire :


2/. Si H n'est pas diagonal , il n'y a évidemment pas stationnarité : les deux équations sont couplées. Prenons le système initialement dans l'état |1> (A1(0) = 1), il va périodiquement se retrouver partiellement dans l'état |2> :

3/. Si l'état initial est vecteur propre de H , évidemment l'état est stationnaire : on le vérifiera en partant de chacun des deux vecteurs propres de H , soit |I> et |II>.