S'initier au boulier en 10 leçons/Version imprimable

S'initier au boulier en 10 leçons

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Introduction

Boulier chinois représentant le nombre 37925

Le boulier est un instrument de calcul très ancien qui a été utilisé dans toutes les régions du monde. Actuellement, on le rencontre encore en Asie (Chine et Japon principalement) et même en Europe de l'Est, où il constitue toujours une méthode de calcul très courante, notamment sur les marchés. Une version différente dite boulier russe, avec 10 boules par ligne, a cours notamment en Russie, Iran, Turquie.

L'objectif de ce livre n'est pas de présenter l'histoire du boulier, mais son utilisation : vous trouverez ici une initiation au boulier en 10 leçons. La première partie est inspirée du livre Le Boulier - Initiation de Jean Cumin et Jean Hossenlopp.

Il existe plusieurs méthodes pour utiliser un boulier. Les méthodes présentées ici sont un mélange de méthodes personnelles et de méthodes très classiques, souvent japonaises (les méthodes japonaises sont réputées plus efficaces), et s'appliquent aux modèles chinois ou japonais, il faudra les adapter pour le boulier russe.

• 
  Illustration d'un boulier représentant le nombre 6302715408
• 
  Boulier d'école à 10 boules par chiffres représentant le nombre 37 925
• 
  Boulier russe (Schoty)
• 
  Boulier élémentaire de baby-foot pour le marquage du score de 0 à 10

Leçon 1

Leçon 1 - Bases et vocabulaire

Les types de bouliers

Il existe plusieurs types de bouliers, correspondant à des époques et des pays différents. Actuellement, on trouve principalement des bouliers russes, chinois et japonais. Les plus utilisés sont les bouliers chinois et japonais :

• Boulier chinois dit suanpan (算盘) ; 7, 9, 11 ou 13 colonnes ; 2 boules supérieures (boules ciel ou quinaires) par colonnes et 5 boules inférieures (boules terre ou unaires) séparées par une barre transversale.
• Boulier japonais dit soroban ; 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 ou 31 colonnes ; 1 quinaire et 4 unaires ; points de repères
• Soroban moderne (1922, de plus en plus utilisé au Japon depuis 1945) ; 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 ou 31 colonnes ; 1 quinaire et 4 unaires ; points de repères
• Boulier russe dit stchoty (Счёты) ; 10 colonnes dont la 3^e n'a que 4 boules, les plus grands ont davantage de colonnes, parfois une 2^e ligne à 4 boules ; les 2 boules centrales sont de couleur différente.

Les points de repères des sorobans permettent de repérer une colonne comme colonne des unités. C'est utile pour les opérations à virgules ou pour les opérations entières avec des 0. Le choix d'une colonne des unités est bien sûr libre mais ces points de repères peuvent être une aide précieuse.

Les colonnes à 4 boules des bouliers russes pouvaient servir pour les 1/4 de roubles et 1/4 de kopecks, mais sont le plus souvent inutilisées autrement que comme simple marque de la virgule.

• 
  Boulier chinois
• 
  Boulier russe
• 
  Boulier en chiffres romains

Dans ce cours, nous utiliserons un soroban moderne avec un nombre de colonnes réduit au minimum exigé par les exemples étudiés.

Unaires, quinaires et décadaires

Les unaires sont les boules inférieures. Lorsqu'elles sont collées à la barre transversale (on dit qu'elles sont activées), elles valent chacune 1.

Les quinaires, les boules supérieures, valent 5.

Écriture

des chiffres

Ce système permet d'écrire les chiffres de 0 à 9 de la manière suivante :

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Légende

Dans ce tableau comme dans les leçons suivantes, on utilise la convention ci-dessous :

• Boule activée
• Boule à déplacer
• Boule désactivée

Des nombres

Pour écrire un nombre, il suffit de considérer, comme dans l'écriture décimale, que chaque colonne correspond à une puissance de 10

La première colonne à droite étant la colonne des unités, la seconde celle des dizaines, etc.

L'écriture de 3572 s'effectue alors de la manière suivante :

0	3	5	7	2

On peut aussi écrire des nombres décimaux, à condition d'identifier la colonne qui représente celle des unités. Certains bouliers ont d'ailleurs un marqueur prévu à cet effet.

Pour écrire 35,72 par exemple, il suffit de préciser que la troisième colonne sera celle des unités. Les deux colonnes à droite de celle-ci deviennent alors la colonne des dixièmes et la colonne des centièmes. L'écriture sera alors identique à la précédente.

Variantes

Il faut noter que le soroban ancien et le suanpan, parce qu'ils disposent de plus de boules, offrent plusieurs possibilités pour écrire un même nombre. Il est conseillé d'en choisir une et de s'y tenir. On peut également utiliser ces boules supplémentaires pour compter dans d'autres bases que la base 10 (bases 11 à 12 pour le soroban ancien, bases 11 à 18 pour le suanpan, base 11 pour le boulier russe). Les quatre formes de bouliers permettent en tout cas de compter dans les bases 2 à 10. Évidemment, ce cours se concentrera sur la base 10.

Lors d'un calcul faisant intervenir plusieurs colonnes, on appelle décadaires les unaires de la colonne immédiatement à gauche de la colonne choisie pour les unités.

Le doigté

Le doigté est la manière de manipuler les boules. Il est très important d'apprendre un doigté car de celui-ci dépend beaucoup la rapidité d'utilisation du boulier.

Il existe plusieurs techniques à deux ou trois doigts.

Voici le doigté le plus utilisé au Japon, à deux doigts :

• Les quinaires sont manipulées avec l'index.
• Les unaires sont activées avec le pouce et désactivées avec l'index.
• Les deux doigts utilisés doivent former avec la table un angle d'environ 45 degrés. Les autres doigts doivent être repliés pour ne pas gêner.

Leçon 2

Leçon 2 - L'ADDITION

Maintenant que l'écriture des nombres est bien acquise, il est possible de commencer les additions.

Les 8 techniques de l'addition à un chiffre

Les additions dont les opérandes ne disposent que d'un chiffre se réalisent en différentes étapes qu'il convient d'apprendre. Par exemple, 8 correspondant à 10-2, 3+8 correspond à 3-2+10. Les techniques d'addition nécessitent donc d'avoir au préalable bien compris (et appris) le tableau de correspondances suivant :

1	2	3	4	5	6	7	8	9
5 - 4	5 - 3	5 - 2	5 - 1	..	...	...	...	...
10 - 9	10 - 8	10 - 7	10 - 6	10 - 5	10 - 4	10 - 3	10 - 2	10 - 1

Les opérations à plusieurs chiffres sont simplement des opérations à un chiffre successives (du chiffre de poids le plus fort [gauche] au chiffre de poids le plus faible [droite]).

En tout, on compte pour l'addition 8 techniques.

Technique 1 - Doigté : activer des unaires avec le pouce

Cette technique s'applique lorsqu'il reste suffisamment d'unaires désactivées, c'est-à-dire pour les sommes suivantes :
0+1 ; 0+2 ; 0+3 ; 0+4 ;
1+1 ; 1+2 ; 1+3 ;
2+1 ; 2+2 ;
3+1 ;
5+1 ; 5+2 ; 5+3 ; 5+4 ;
6+1 ; 6+2 ; 6+3 ;
7+1 ; 7+2 ;
8+1

Exemple : 6+2=8

Début				Fin

Note : les deux boules sont déplacées d'un seul geste.

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 2 - Doigté : activer une quinaire avec l'index

Cette technique s'applique pour ajouter 5 à condition que la quinaire soit désactivée, c'est-à-dire les cas suivants :
0+5 ;
1+5 ;
2+5 ;
3+5 ;
4+5

Exemple : 2+5=7

Début				Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 3 - Doigté : activer simultanément des unaires avec le pouce et une quinaire avec l'index

Cette technique s'applique lorsque la quinaire est désactivée et qu'il reste suffisamment d'unaires désactivées, c'est-à-dire dans les cas suivants :
0+6 ; 0+7 ; 0+8 ; 0+9 ;
1+6 ; 1+7 ; 1+8 ;
2+6 ; 2+7 ;
3+6

Exemple : 1+7=8 (équivaut à 1+(2+5))

Début				Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 4 - Doigté : activer une quinaire avec l'index puis désactiver des unaires avec l'index

Note : on peut aussi utiliser le doigté suivant (qui demande un peu plus de pratique) : activer la quinaire avec l'index et désactiver simultanément les unaires avec le pouce.

Cette technique s'applique pour ajouter 1, 2, 3 ou 4 alors que le nombre de unaires désactivées est insuffisant et que la quinaire est désactivée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
1+4 ;
2+3 ; 2+4 ;
3+2 ; 3+3 ; 3+4 ;
4+1 ; 4+2 ; 4+3 ; 4+4

Exemple : 4+3=7 (équivaut à 4+(5-2))

Début						Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 5 - Doigté : désactiver des unaires avec l'index puis activer une décadaire avec le pouce

Cette technique s'applique lorsque le nombre d'unaires désactivées est insuffisant pour ajouter 9, 8, 7, ou 6. On prend alors le complément à 10 (voir tableau de correspondances), c'est-à-dire dans les cas suivants :
1+9 ;
2+8 ; 2+9 ;
3+7 ; 3+8 ; 3+9 ;
4+6 ; 4+7 ; 4+8 ; 4+9 ;
6+9 ;
7+8 ; 7+9 ;
8+7 ; 8+8 ; 8+9 ;
9+6 ; 9+7 ; 9+8 ; 9+9

Exemple : 4+7=11 (équivaut à 4+(10-3))

Début									Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 6 - Doigté : désactiver une quinaire avec l'index puis activer une décadaire avec le pouce

Cette technique s'applique quand on ajoute 5 et que la quinaire est déjà activée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
5+5 ;
6+5 ;
7+5 ;
8+5 ;
9+5

Exemple : 8+5=13

Début									Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 7 - Doigté : désactiver des unaires avec l'index, désactiver une quinaire avec l'index puis activer une décadaire avec le pouce

Cette technique s'applique pour ajouter 1, 2, 3 ou 4 alors que le nombre de unaires désactivées est insuffisant et que la quinaire est activée, c'est-à-dire dans les cas suivants :

6+4 ;
7+3 ; 7+4 ;
8+2 ; 8+3 ; 8+4 ;
9+1 ; 9+2 ; 9+3 ; 9+4

Exemple : 8+3=11 (équivaut à 8+(5-2))

Début

Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 8 - Doigté : activer des unaires avec le pouce, désactiver une quinaire avec l'index puis activer une décadaire avec le pouce

Cette technique s'applique pour ajouter 6, 7, 8 ou 9 alors que le nombre d'unaires désactivées est suffisant et que la quinaire est activée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
5+6 ; 5+7 ; 5+8 ; 5+9 ;
6+6 ; 6+7 ; 6+8 ;
7+6 ; 7+7 ;
8+6

Exemple : 6+7=13 (équivaut à 6+2+(10-5))

Début

Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Addition à plusieurs chiffres

Les additions à plusieurs chiffres se décomposent en fait en additions à un chiffre, colonne par colonne, de gauche à droite (contrairement à ce qui se pratique en Occident pour les calculs sur papier), à ceci près que lorsqu'il est nécessaire d'activer une décadaire et que la colonne des décadaires représente déjà le chiffre 9, on représente 0 sur cette colonne puis on ajoute une centaine (et ainsi de suite si les centaines sont également égales à 9).

De telles additions peuvent mêler plusieurs techniques.

Exemple : 193+578

Départ	1+5 : technique 2 étape 1 (+q)	9+7 : technique 5 étape 1 (-3u)	9+7 : technique 5 étape 2 (+d)
3+8 : technique 5 étape 1 (-2u)	3+8 : technique 5 étape 2 (+d)	Fin

Additions à plus de deux opérandes

Lorsqu'une addition concerne plus de deux opérandes, il suffit d'ajouter un à un les opérandes au nombre représenté sur le boulier (d'abord le premier opérande, puis le résultat des précédentes additions).

Exercices

Voici quelques exercices (les résultats sont indiqués pour vous éviter de les calculer avec une machine ou un bout de papier pour vérification) :

6	75	456	752	856
+ 15	+ 96	+ 75	+ 49	+ 75
+ 203	+ 526	+ 12	+ 8560	+ 49
+ 56	+ 4398	+ 975	+ 905	+ 8426
+ 92	+ 2	+ 7562	+ 4519	+ 10243
= 372	= 5097	= 9080	= 14785	= 19649

D'autres exercices vous seront proposés dans la leçon 4.

Leçon 3

Leçon 3 - La soustraction

Les 8 techniques de la soustraction

Les soustractions ressemblent beaucoup aux additions : elles se calculent selon 8 techniques qui sont souvent les opposées des techniques de l'addition.

Technique 1 - Doigté : désactiver des unaires avec l'index

Cette technique s'applique pour ôter 1, 2, 3, ou 4 alors que le nombre de unaires activées est suffisant, c'est-à-dire dans les cas suivants :
1-1 ;
2-1 ; 2-2 ;
3-1 ; 3-2 ; 3-3 ;
4-1 ; 4-2 ; 4-3 ; 4-4 ;
6-1 ;
7-1 ; 7-2 ;
8-1 ; 8-2 ; 8-3 ;
9-1 ; 9-2 ; 9-3 ; 9-4

Exemple : 8-2=6

Début				Fin

Note : les deux boules sont déplacées d'un seul geste.

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 2 - Doigté : désactiver une quinaire avec l'index

Cette technique s'applique pour ôter 5 alors que la quinaire est activée c'est-à-dire dans les cas suivants :
5-5 ;
6-5 ;
7-5 ;
8-5 ;
9-5

Exemple : 7-5=2

Début				Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 3 - Doigté : désactiver des unaires avec l'index, puis une quinaire avec l'index

Cette technique s'applique pour ôter 6, 7, 8, 9 lorsque la quinaire est activée ainsi qu'un nombre suffisant de unaires, c'est-à-dire dans les cas suivants :
6-6 ;
7-6 ; 7-7 ;
8-6 ; 8-7 ; 8-8 ;
9-6 ; 9-7 ; 9-8 ; 9-9

Exemple : 8-7=1 (équivaut à 8-(2+5))

Début						Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 4 - Doigté : activer des unaires avec le pouce, puis désactiver une quinaire avec l'index

Note : on peut aussi utiliser le doigté suivant (qui demande un peu plus de pratique) : activer les unaires et désactiver simultanément la quinaire.

Cette technique s'applique pour ôter 1, 2, 3, ou 4 alors que la quinaire est activée mais que le nombre d'unaires activées est insuffisant, on prend alors le complément à 5, ce qui correspond aux cas suivants :
5-1 ; 5-2 ; 5-3 ; 5-4 ;
6-2 ; 6-3 ; 6-4 ;
7-3 ; 7-4 ;
8-4

Exemple : 7-3=4 (équivaut à 7-(5-2)=7-5+2)

Début						Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 5 - Doigté : désactiver une décadaire avec l'index, puis activer des unaires avec le pouce

Cette technique s'applique pour ôter 6, 7, 8, 9 lorsque le nombre d'unaires activées est insuffisant, on prend alors le complément à 10, ce qui correspond aux cas suivants :
10-6 ; 10-7 ; 10-8 ; 10-9 ;
11-7 ; 11-8 ; 11-9 ;
12-8 ; 12-9 ;
13-9 ;
15-6 ; 15-7 ; 15-8 ; 15-9 ;
16-7 ; 16-8 ; 16-9 ;
17-8 ; 17-9 ;
18-9

Exemple : 11-7=4 (équivaut à 11-(10-3)=11-10+3)

Début									Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 6 - Doigté : désactiver une décadaire avec l'index, puis activer une quinaire avec l'index

Cette technique s'applique pour ôter 5 si la quinaire n'est pas activée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
10-5 ;
11-5 ;
12-5 ;
13-5 ;
14-5

Exemple : 13-5=8 (équivaut à 13-(10-5)=13-10+5)

Début									Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 7 - Doigté : désactiver une décadaire avec l'index, puis activer simultanément une quinaire avec l'index et des unaires avec le pouce

Cette technique s'applique pour ôter 1, 2, 3, 4 quand le nombre de unaires activées est insuffisant et que la quinaire est désactivée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
10-1 ; 10-2 ; 10-3 ; 10-4 ;
11-2 ; 11-3 ; 11-4 ;
12-3 ; 12-4 ;
13-4

Exemple : 11-3=8 (équivaut à 11-(10-7) ou 11-(10-(5+2))=11-10+5+2)

Début									Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Technique 8 - Doigté : désactiver une décadaire avec l'index, activer une quinaire avec l'index puis désactiver des unaires avec l'index

Cette technique s'applique pour ôter 6, 7, 8, 9 quand le nombre de unaires activées est suffisant mais que la quinaire est désactivée, c'est-à-dire dans les cas suivants :
11-6 ;
12-6 ; 12-7 ;
13-6 ; 13-7 ; 13-8 ;
14-6 ; 14-7 ; 14-8 ; 14-9

Exemple : 13-7=6 (équivaut à 13-(10-3) ou 13-(10-(5-2))=13-10+5-2)

Début

Fin

Exercices : calculez les autres cas.

Soustraction à plusieurs chiffres

Elle s'opère comme plusieurs soustractions à un chiffre. On peut commencer indifféremment par les poids forts ou les poids faibles.

Exemple : 578-193

Départ				5-1 : technique 4 - étape 1 (+4u)				5-1 : technique 4 - étape 2 (-q)
17-9 : technique 5 - étape 1 (-d)				17-9 : technique 5 - étape 2 (+u)				8-3 : technique 1 - étape 1 (-u)
Fin

Exercices

Voici quelques exercices (les résultats sont indiqués pour vous éviter de les calculer avec une machine ou un bout de papier pour vérification) :

376	5123	5423	12509	15326
- 96	- 152	- 2456	- 5637	- 9560
- 53	- 85	- 853	- 523	- 2356
- 12	- 32	- 95	- 4398	- 1284
- 76	- 2145	- 1265	- 995	- 1901
= 139	= 2709	= 754	= 956	= 225

D'autres exercices vous seront proposés dans la leçon 4.

Leçon 4

Leçon 4 - Exercices

Avant de passer aux multiplications et divisions, il est nécessaire de maîtriser les techniques d'addition et de soustraction. Cette leçon contient pour cela uniquement des exercices. Il est en effet important de pratiquer pour assimiler les leçons précédentes avant de passer aux techniques plus compliquées abordées dans les leçons suivantes. Un maximum de pratique permet de plus de transformer en automatismes les techniques de bases du boulier et donc de l'utiliser de plus en plus aisément et rapidement. D'ailleurs, seule la pratique permet réellement d'apprendre le boulier. Dans les différentes leçons, quelques exercices sont proposés mais ils sont loin d'être suffisants. Aussi vous ne devez pas hésitez à réaliser vos propres calculs. En attendant, les exercices de cette leçon peuvent constituer un bon départ.

Additions seules

164	478	983	476	1468	2211	2753	6182	6966	8532
+ 83	+ 324	+ 1521	+ 923	+ 5148	+ 3696	+ 1219	+ 2052	+ 9855	+ 3737
+ 430	+ 780	+ 730	+ 2327	+ 4059	+ 80	+ 527	+ 9847	+ 6327	+ 5974
+ 56	+ 903	+ 2349	+ 50	+ 7339	+ 9352	+ 7225	+ 7246	+ 3124	+ 6064
+ 13	+ 76	+ 527	+ 7802	+ 441	+ 1082	+ 127	+ 3019	+ 859	+ 773
+ 107	+ 818	+ 982	+ 470	+ 3395	+ 64	+ 4212	+ 2494	+ 9972	+ 171
+ 49	+ 52	+ 1528	+ 3026	+ 9955	+ 5491	+ 3078	+ 9462	+ 1982	+ 126
+ 951	+ 429	+ 792	+ 529	+ 2005	+ 8556	+ 9723	+ 9253	+ 3985	+ 6961
+ 61	+ 83	+ 1051	+ 47	+ 7981	+ 9771	+ 290	+ 429	+ 1172	+ 7012
+ 48	+ 651	+ 772	+ 1572	+ 9520	+ 2784	+ 8379	+ 1140	+ 2405	+ 8823
= 1962	= 4594	= 11235	= 17222	= 51311	= 43087	= 37533	= 51124	= 46647	48173
3710	5523	9817	6245	949	8360	1896	3739	11343	19257
+ 1177	+ 3378	+ 4921	+ 3336	+ 3615	+ 2555	+ 8041	+ 4707	+ 11668	+ 18493
+ 4507	+ 2189	+ 4043	+ 4548	+ 6348	+ 7258	+ 12912	+ 15683	+ 6763	+ 12972
+ 9891	+ 6218	+ 2292	+ 8049	+ 1376	+ 2467	+ 7033	+ 9031	+ 4457	+ 13954
+ 6978	+ 8812	+ 6280	+ 8677	+ 6666	+ 1010	+ 16293	+ 6624	+ 5592	+ 305
+ 5442	+ 1244	+ 6175	+ 2572	+ 127	+ 7310	+ 14588	+ 14353	+ 17948	+ 2038
+ 6379	+ 4501	+ 8069	+ 7171	+ 5978	+ 2217	+ 407	+ 18842	+ 3807	+ 15833
+ 9296	+ 4667	+ 7735	+ 4682	+ 113	+ 5940	+ 7772	+ 14595	+ 10437	+ 7378
+ 6773	+ 2862	+ 4639	+ 4773	+ 9207	+ 8197	+ 7346	+ 2643	+ 6533	+ 10139
+ 7981	+ 8170	+ 9252	+ 2130	+ 2773	+ 9343	+ 4662	+ 7546	+ 14002	+ 9734
= 62134	= 47564	= 63223	= 52183	= 37152	= 54657	= 80950	= 97763	= 92550	= 110103
18346	10029	12474	3073	2441	5033	19896	2863	8230	404
+ 7970	+ 8102	+ 4494	+ 15863	+ 10776	+ 17133	+ 2163	+ 19925	+ 17919	+ 17837
+ 3496	+ 4648	+ 11130	+ 8541	+ 4793	+ 14222	+ 1479	+ 11261	+ 10177	+ 19239
+ 8633	+ 2118	+ 5221	+ 11875	+ 1784	+ 320	+ 10317	+ 13115	+ 7004	+ 3427
+ 19763	+ 19214	+ 14705	+ 8175	+ 9162	+ 16906	+ 1000	+ 15499	+ 5720	+ 716
+ 4744	+ 4454	+ 8074	+ 3103	+ 4804	+ 7145	+ 16470	+ 14830	+ 18446	+ 12650
+ 9742	+ 3132	+ 10810	+ 7705	+ 18732	+ 4525	+ 18956	+ 19457	+ 10374	+ 8552
+ 1422	+ 18863	+ 2767	+ 5682	+ 10595	+ 16062	+ 14348	+ 16486	+ 16249	+ 5036
+ 19442	+ 7776	+ 7025	+ 2215	+ 5482	+ 2990	+ 18571	+ 19607	+ 1827	+ 4660
+ 6334	+ 7714	+ 14584	+ 2356	+ 16519	+ 114	+ 12143	+ 1668	+ 17877	+ 13510
= 99892	= 86050	= 91284	= 68588	= 85088	= 84450	= 115343	= 134711	= 113823	= 86031

Soustractions seules

1383	1362	2211	2429	3229	1913	3305	3124	2087	3176
- 87	- 128	- 169	- 53	- 274	- 27	- 126	- 46	- 309	- 119
- 78	- 141	- 168	- 23	- 22	- 92	- 285	- 433	- 277	- 340
- 16	- 110	- 30	- 59	- 120	- 331	- 328	- 46	- 179	- 313
- 94	- 114	- 183	- 70	- 285	- 107	- 337	- 165	- 289	- 127
- 36	- 77	- 131	- 168	- 38	- 24	- 106	- 268	- 85	- 87
- 87	- 91	- 63	- 144	- 99	- 313	- 47	- 435	- 404	- 545
- 93	- 127	- 124	- 207	- 225	- 271	- 130	- 15	- 152	- 340
- 50	- 23	- 68	- 12	- 216	- 247	- 114	- 394	- 255	- 196
- 22	- 137	- 136	- 43	- 271	- 32	- 258	- 51	- 61	- 521
= 820	= 414	= 1139	= 1650	= 1679	= 469	= 1574	= 1271	= 76	= 588
4434	6801	1031	8318	1183	9230	9416	10399	6894	2668
- 179	- 531	- 418	- 379	- 91	- 279	- 583	- 230	- 661	- 741
- 468	- 537	- 298	- 439	- 300	- 756	- 759	- 751	- 164	- 1046
- 202	- 592	- 76	- 370	- 173	- 121	- 825	- 869	- 200	- 327
- 498	- 366	- 68	- 418	- 326	- 37	- 538	- 272	- 982	- 417
- 303	- 440	- 107	- 168	- 45	- 595	- 763	- 874	- 900	- 41
- 118	- 295	- 29	- 247	- 140	- 627	- 825	- 782	- 997	- 14
- 493	- 570	- 4	- 75	- 5	- 273	- 1	- 932	- 960	- 18
- 53	- 91	- 19	- 244	- 23	- 66	- 337	- 381	- 774	- 25
- 357	- 230	- 5	- 721	- 62	- 9	- 153	- 184	- 814	- 1
= 1763	= 3149	= 7	= 5257	= 18	= 6467	= 4632	= 5124	= 442	= 38
2255	4753	7368	6363	12157	5550	11428	6839	2949	16062
- 161	- 549	- 730	- 1248	- 630	- 699	- 4	- 793	- 790	- 108
- 243	- 204	- 501	- 254	- 337	- 107	- 101	- 816	- 1368	- 1033
- 880	- 134	- 847	- 1143	- 661	- 1053	- 482	- 578	- 744	- 1349
- 194	- 84	- 589	- 187	- 215	- 495	- 248	- 1405	- 19	- 362
- 106	- 199	- 198	- 376	- 122	- 298	- 139	- 80	- 17	- 1018
- 268	- 291	- 1050	- 1153	- 1061	- 350	- 160	- 900	- 1	- 258
- 114	- 5	- 191	- 247	- 405	- 794	- 1152	- 1215	- 3	- 120
- 107	- 968	- 104	- 976	- 829	- 90	- 136	- 886	- 4	- 848
- 109	- 847	- 1034	- 439	- 728	- 153	- 335	- 22	- 1	- 870
= 73	= 1472	= 2124	= 340	= 7169	= 1511	= 8671	= 144	= 2	= 10096

Additions et soustractions

1383	1362	2211	2429	3229	1913	3305	3124	2087	3932
- 13	- 22	- 31	+ 53	+ 274	- 323	- 274	+ 46	+ 309	- 189
+ 78	+ 141	- 32	- 227	- 278	- 258	- 115	+ 433	- 223	+ 527
+ 16	+ 110	- 170	- 191	- 180	+ 331	- 72	- 404	- 321	+ 119
+ 94	+ 114	- 17	- 180	+ 285	+ 107	- 63	+ 165	+ 289	- 210
+ 36	+ 77	+ 131	- 82	+ 38	+ 24	- 294	- 182	+ 85	- 237
+ 87	+ 91	- 137	+ 144	+ 99	+ 313	+ 47	- 15	- 96	- 423
- 7	- 23	+ 124	+ 207	+ 225	- 79	- 270	+ 15	+ 152	- 463
- 50	+ 23	- 132	- 238	+ 216	+ 247	+ 114	+ 394	+ 255	+ 545
- 78	- 13	+ 136	- 207	+ 271	+ 32	- 142	- 399	- 100	- 210
= 1546	= 1860	= 2083	= 1708	= 4179	= 2307	= 2236	= 3177	= 2437	= 3391
1795	1152	2440	3067	4528	1340	2379	4124	2432	5529
+ 371	+ 507	- 570	+ 107	- 728	+ 100	- 811	+ 865	- 448	+ 488
+ 435	- 48	- 668	- 252	+ 133	+ 747	- 135	+ 338	- 562	- 614
+ 179	+ 531	+ 418	+ 604	+ 30	- 526	- 471	- 793	+ 229	- 256
+ 468	+ 537	- 402	+ 337	+ 704	+ 369	+ 542	- 306	+ 276	+ 669
- 398	+ 592	- 128	+ 216	- 380	+ 596	+ 51	+ 142	+ 408	+ 279
- 102	- 284	+ 382	+ 557	- 129	+ 97	- 106	- 722	+ 475	- 806
+ 303	+ 440	- 624	- 66	- 631	+ 102	+ 401	+ 316	- 878	- 38
- 482	+ 295	- 390	- 30	+ 509	- 528	+ 135	+ 110	- 141	- 821
- 107	+ 570	- 372	+ 375	- 484	- 194	- 535	- 613	- 604	- 320
= 2462	= 4292	= 86	= 4915	= 3552	= 2103	= 1450	= 3461	= 1187	= 4110
9776	10128	11490	8669	8622	1105	12258	10550	6163	3595
+ 305	+ 1039	- 900	- 667	- 471	- 748	- 475	+ 419	- 1300	+ 277
- 1056	+ 1120	- 1027	- 207	- 200	+ 212	- 1362	- 578	+ 1482	- 583
- 536	+ 168	+ 726	- 285	+ 644	- 513	- 537	+ 824	- 600	- 965
- 686	+ 768	- 355	- 1052	- 753	+ 877	+ 1025	+ 882	+ 497	+ 991
- 161	- 653	- 809	+ 758	+ 1069	- 227	+ 801	- 368	+ 460	+ 341
+ 907	- 325	+ 306	+ 606	+ 841	+ 1116	+ 1037	+ 1381	+ 274	+ 1235
+ 141	+ 294	+ 540	+ 55	- 1077	+ 159	+ 453	+ 684	+ 314	- 1473
+ 205	- 579	- 645	+ 99	- 1188	+ 767	+ 100	- 1155	+ 169	- 707
+ 519	- 566	+ 587	- 138	- 89	+ 133	- 820	- 1289	- 309	+ 187
= 9414	= 11394	= 9913	= 7838	= 7398	= 2881	= 12480	= 11350	= 7150	= 2898

Leçon 5

Leçon 5 - La multiplication

En théorie, une multiplication par n consiste à ajouter n fois le même nombre. Mais il parait peu approprié et certainement trop long d'ajouter 47 fois 283 à lui même pour obtenir 47 × 283.

Donc plusieurs aides sont à notre disposition

• la distributivité: $n\times (100x+10y+z)=100\times nx+10\times ny+nz$
• Multiplier un nombre par 10 revient à le décaler d'une rangée sur la gauche
• les tables de multiplication (à savoir)

Multiplication par un nombre à un chiffre

On commence par multiplier le poids le plus fort. Pour effectuer le produit 7 × 283 On écrit le multiplicateur à gauche sur le boulier, ou sur une feuille de papier, et on écrit 283 classiquement à droite. Ici la boule rouge représente le calcul non effectué.

0	2	8	3

• On effectue le produit de 2 par 7 (14) , que l'on met à la place de 2. Le chiffre 2 a alors disparu mais c'est sans importance car il n'est plus utile.

1	4	8	3

• On effectue le produit de 8 par 7 (56), que l'on met à la place de 8, le chiffre 5 venant s'ajouter au nombre précédent.

1	9	6	3

• On effectue le produit de 3 par 7 (21) que l'on met à la place de 3, le chiffre 2 venant s'ajouter au nombre précédent.

1	9	8	1

Le résultat final est alors : 1981

Pour s'exercer : leçon 6.

Multiplication par un nombre à deux chiffres

On effectuera aussi la multiplication en commençant par les termes de poids fort.

Exemple : Comment multiplier 283 par 47 ?

Pour multiplier 283 par 47, on écrit, à gauche du boulier ou sur une feuille de papier, le multiplicateur 47 et classiquement à droite sur le boulier le muliplicande 283 et on réserve à gauche de ce nombre autant de rangées qu'occupe le multiplicateur (ici deux rangées) :

0	0	2	8	3

• Il s'agit de multiplier d'abord 2 par 47. Opération que l'on fait en 2 temps :

• • On multiplie 2 par 4 (8) et on inscrit le résultat dans les deux cases de gauche. Ici comme le résultat est inférieur à 10 la dernière case de gauche est vide :

0	8	2	8	3

• • Puis on multiplie 2 par 7 (14) que l'on met en décalage d'une case sur la droite, le 1 venant s'ajouter au nombre précédent :

0	9	4	8	3

• Il s'agit maintenant de multiplier 8 par 47 :

• • On effectue le produit de 8 par 4 (32) que l'on ajoute dans les deux colonnes à gauche de 8 :

1	2	6	8	3

• • Puis on effectue le produit de 8 par 7 (56) que l'on met à la place de 8, le 5 venant s'ajouter dans la colonne de gauche :

1	3	1	6	3

• On effectue enfin le produit de 3 par 47 :

• • On effectue le produit de 3 par 4 (12) que l'on ajoute dans les deux colonnes à gauche de 3 :

1	3	2	8	3

• • Puis on effectue le produit de 3 par 7 (21) que l'on met à la place du 3, le 2 venant s'ajouter dans la colonne de gauche :

1	3	3	0	1

le résultat est donc : 13301

Pour s'exercer : leçon 6.

Encore plus fort

On peut faire le produit de nombres comportant encore plus de chiffres à condition que le nombre de rangées soit suffisant. Exemple : Comment multiplier 4807 par 326 ?

• Écriture de 4807 :

0	0	0	4	8	0	7

• 4 × 326
  • 4 × 3 = 12 :

1	2	0	4	8	0	7

• • 4 × 2 = 8 :

1	2	8	4	8	0	7

• • 4 × 6 = 24 :

1	3	0	4	8	0	7

• multiplication de 8 par 326
  • 8 × 3 = 24 :

1	5	4	4	8	0	7

• • 8 × 2 = 16 :

1	5	6	0	8	0	7

• • 8 × 6 = 48 :

1	5	6	4	8	0	7

• multiplication de 0 par 326 (rien à faire)

• multiplication de 7 par 326
  • 7 × 3 = 21 :

1	5	6	6	9	0	7

• • 7 × 2 = 14 :

1	5	6	7	0	4	7

• • 7 × 6 = 42 :

1	5	6	7	0	8	2

Le résultat est donc 1 567 082

Et pour les nombres à virgule ?

La multiplication d'un nombre à virgule par un entier est une opération simple. En écrivant le nombre à virgule, on choisit la colonne qui sera colonne unité. Le résultat final sera alors correctement écrit.

Exemple  : Pour multiplier 2,83 par 47. On repère la colonne des unités qui sera la troisième colonne et on écrit 283. On effectue le produit comme dans l'exemple. Le résultat final sera alors 133,01 car la troisième colonne est restée colonne des unités.

La multiplication d'un nombre à virgule par un autre nombre à virgule nécessite une étape supplémentaire.

Exemple : Pour multiplier 480,7 par 3,26, on multiplie 480,7 par 326 en repérant que la colonne des unités est la seconde. On effectue le produit comme dans l'exemple. Le résultat intermédiaire est alors 156 708,2. Comme, en réalité, on devait multiplier par 3,26 et non 326, il faut encore diviser ce nombre par 100, donc déplacer de deux rangées sur la gauche la rangée des unités. Le résultat final est alors 1567,082.

Leçon 6

Leçon 6 - Exercices de multiplication

Dans les exercices ci-dessous, les étapes de calcul sont fournies. Les chiffres en rouge sont les chiffres non encore traités.

Multiplications par un nombre à un chiffre

3 × 17	37	51
8 × 23	163	184
6 × 79	429	474
7 × 129	729	849	903
5 × 421	2021	2101	2105
7 × 318	2118	2178	2226
4 × 999	3699	3969	3996
9 × 192	992	1712	1728
8 × 6017	48017	48017	48087	48136
3 × 432701	1232701	1292701	1296701	1296701	1298101	1298101	1298103

Multiplications par un nombre à deux chiffres

15 ×128	1128	1528
	1728	1808
	1888	1920
17 ×432	4432	6832
	7132	7312
	7332	7344
72 ×128	7128	7228
	8628	8648
	9208	9216
83 ×704	56704	58104
	...	...
	58424	58432
67 ×849	48849	53649
	56049	56289
	56829	56883

Multiplications complexes

125 ×641	6.641	72641	75041
	79041	79841	80001
	80125
312 ×537	15.537	155537	156037
	165037	165337	167367
	167467	167537	167544
708 ×4312	28.4312	2832312
	3042312	3044412
	3051482
	3052882	3052896

Leçon 7

Leçon 7 - La division

En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.

Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :

• 17 - 5 = 12 (une fois)
• 12 - 5 = 7 (deux fois)
• 7 - 5 = 2 (trois fois)

Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.

Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.

Tableau des quotients et restes

On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r). Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.

dd\dv	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(5 ; 0)	(3 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 0)	(1 ; 4)	(1 ; 3)	(1 ; 2)	(1 ; 1)
2	(1 ; 0)	(6 ; 2)	(5 ; 0)	(4 ; 0)	(3 ; 2)	(2 ; 6)	(2 ; 4)	(2 ; 2)
3	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(7 ; 2)	(6 ; 0)	(5 ; 0)	(4 ; 2)	(3 ; 6)	(3 ; 3)
4	(2 ; 0)	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(8 ; 0)	(6 ; 4)	(5 ; 5)	(5 ; 0)	(4 ; 4)
5	(2 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(8 ; 2)	(7 ; 1)	(6 ; 2)	(5 ; 5)
6	(3 ; 0)	(2 ; 0)	(1 ; 2)	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(8 ; 4)	(7 ; 4)	(6 ; 6)
7	(3 ; 1)	(2 ; 1)	(1 ; 3)	(1 ; 2)	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(8 ; 6)	(7 ; 7)
8	(4 ; 0)	(2 ; 2)	(2 ; 0)	(1 ; 3)	(1 ; 2)	(1 ; 1)	(1 ; 0)	(8 ; 8)
9	(4 ; 1)	(3 ; 0)	(2 ; 1)	(1 ; 4)	(1 ; 3)	(1 ; 2)	(1 ; 1)	(1 ; 0)

Exemple : Dans la ligne 2 et la colonne 3, on lit le couple (6 ; 2). Cela signifie que, dans la division de 20 par 3, le quotient est 6 et le reste est 2.

Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.

Division par un nombre à un chiffre

Avec le tableau

La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.

Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.

On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.

9	5	7	3	...	4
				...

• Dans le tableau, 9/4 donne 2 avec pour reste 1. On écrit 2 à gauche et on remplace 9 par 1.

2	...	...	...	...	1	5	7	3	...	4
	...	...	...	...					...

• Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.

2	2	...	...	...	0	7	7	3	...	4
		...	...	...					...

• Le poids fort est maintenant 7. Dans le tableau, 7/4 donne (1 ; 3). On ajoute donc 1 dans la rangée du quotient et on remplace 7 par 3.

2	3	...	...	...	0	3	7	3	...	4
		...	...	...					...

• Dans le tableau, 3/4 donne (7 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 7. On remplace alors 3 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.

2	3	7	...	...	0	0	9	3	...	4
			...	...					...

• Le poids fort est maintenant 9. Dans le tableau, 9/4 donne (2 ; 1). On ajoute alors 2 dans le quotient dans la rangée du 7. On remplace 9 par 1.

2	3	9	...	...	0	0	1	3	...	4
			...	...					...

• Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.

2	3	9	2	...	0	0	0	5	...	4
				...					...

• Le dernier nombre est 5. Dans le tableau, 5/4 donne (1 ; 1). On ajoute alors 1 dans le quotient dans la rangée du 2. On remplace 5 par 1.

2	3	9	3	...	0	0	0	1	...	4
				...