S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7

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Leçon 7 - La division

En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.

Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :

  • 17 - 5 = 12 (une fois)
  • 12 - 5 = 7 (deux fois)
  • 7 - 5 = 2 (trois fois)

Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.

Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.

Tableau des quotients et restes[modifier | modifier le wikicode]

On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r). Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.

dd\dv 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (5 ; 0) (3 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 0) (1 ; 4) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1)
2 (1 ; 0) (6 ; 2) (5 ; 0) (4 ; 0) (3 ; 2) (2 ; 6) (2 ; 4) (2 ; 2)
3 (1 ; 1) (1 ; 0) (7 ; 2) (6 ; 0) (5 ; 0) (4 ; 2) (3 ; 6) (3 ; 3)
4 (2 ; 0) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 0) (6 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 0) (4 ; 4)
5 (2 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 2) (7 ; 1) (6 ; 2) (5 ; 5)
6 (3 ; 0) (2 ; 0) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 4) (7 ; 4) (6 ; 6)
7 (3 ; 1) (2 ; 1) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 6) (7 ; 7)
8 (4 ; 0) (2 ; 2) (2 ; 0) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0) (8 ; 8)
9 (4 ; 1) (3 ; 0) (2 ; 1) (1 ; 4) (1 ; 3) (1 ; 2) (1 ; 1) (1 ; 0)
Exemple : Dans la ligne 2 et la colonne 3, on lit le couple (6 ; 2). Cela signifie que, dans la division de 20 par 3, le quotient est 6 et le reste est 2.

Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.

Division par un nombre à un chiffre[modifier | modifier le wikicode]

Avec le tableau[modifier | modifier le wikicode]

La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.

Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.

On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.

9 5 7 3 ... 4
Bouliernb9.png Bouliernb5.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Dans le tableau, 9/4 donne 2 avec pour reste 1. On écrit 2 à gauche et on remplace 9 par 1.
2 ... ... ... ... 1 5 7 3 ... 4
Bouliernb2.png ... ... ... ... Bouliernb1.png Bouliernb5.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 2 ... ... ... 0 7 7 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb2.png ... ... ... Bouliernb0.png Bouliernb7.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Le poids fort est maintenant 7. Dans le tableau, 7/4 donne (1 ; 3). On ajoute donc 1 dans la rangée du quotient et on remplace 7 par 3.
2 3 ... ... ... 0 3 7 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png ... ... ... Bouliernb0.png Bouliernb3.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Dans le tableau, 3/4 donne (7 ; 2).On change donc de rangée pour inscrire le quotient 7. On remplace alors 3 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 3 7 ... ... 0 0 9 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb7.png ... ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb9.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Le poids fort est maintenant 9. Dans le tableau, 9/4 donne (2 ; 1). On ajoute alors 2 dans le quotient dans la rangée du 7. On remplace 9 par 1.
2 3 9 ... ... 0 0 1 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb9.png ... ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb1.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Dans le tableau, 1/4 donne (2 ; 2). On change donc de rangée pour inscrire le quotient 2. On remplace alors 1 par 0 et on ajoute 2 à la rangée de droite.
2 3 9 2 ... 0 0 0 5 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb9.png Bouliernb2.png ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb5.png ... Bouliernb4.png
  • Le dernier nombre est 5. Dans le tableau, 5/4 donne (1 ; 1). On ajoute alors 1 dans le quotient dans la rangée du 2. On remplace 5 par 1.
2 3 9 3 ... 0 0 0 1 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb9.png Bouliernb3.png ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb1.png ... Bouliernb4.png


Dans la division de 9573 par 4, le quotient est 2393 et le reste est 1.

Pour aller plus vite[modifier | modifier le wikicode]

Si on connaît bien la technique de division vue dans notre enfance, on peut réduire un peu les étapes :

9 5 7 3 ... 4
Bouliernb9.png Bouliernb5.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • 9/4 donne (2 ; 1).
2 ... ... ... ... 1 5 7 3 ... 4
Bouliernb2.png ... ... ... ... Bouliernb1.png Bouliernb5.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Puis 15/4 donne (3 ; 3) en changeant de colonne.
2 3 ... ... ... 0 3 7 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png ... ... ... Bouliernb0.png Bouliernb3.png Bouliernb7.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Puis 37/4 donne (9 ; 1) en changeant de colonne.
2 3 9 ... ... 0 0 1 3 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb9.png ... ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb1.png Bouliernb3.png ... Bouliernb4.png
  • Puis 13/4 donne (3 ; 1) en changeant de colonne.
2 3 9 3 ... 0 0 0 1 ... 4
Bouliernb2.png Bouliernb3.png Bouliernb9.png Bouliernb3.png ... Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb0.png Bouliernb1.png ... Bouliernb4.png

Le quotient est toujours 2393 et le reste est toujours 1.

Division par un nombre à plusieurs chiffres[modifier | modifier le wikicode]

C'est la technique la plus compliquée. Il s'agit d'ôter le maximum de fois le diviseur du dividende. On peut s'y reprendre à plusieurs fois pour déterminer le quotient tant que le quotient est déterminé par défaut. Il faut donc arrondir par excès le diviseur. Dans ce cas, le tableau établi précédemment n'est plus vraiment d'utilité.

Voir l'exemple : Comment diviser 57 683 par 157.

Pour les nombres à virgule[modifier | modifier le wikicode]

On peut rencontrer des virgules dans 3 types de situations :

  • quand le dividende et le diviseur sont entiers et que l'on veut prolonger le calcul du quotient au delà de la virgule. (cas 1)
  • quand le diviseur est entier et que le dividende est à virgule. (cas 2)
  • quand le diviseur est à virgule. (cas 3)

Quotient à virgule[modifier | modifier le wikicode]

Pour prolonger une division entière au delà de la virgule, il faut réserver, à droite du dividende, autant de colonnes que de chiffres après la virgule que l'on souhaite. On identifie alors la colonne des unités par un marqueur. Et on opère la division comme dans les entiers. A l'instant où l'on passe au delà de la colonne unité, il faut identifier la colonne unité dans le quotient par un marqueur.

Voir l'exemple : division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule.

Dividende à virgule[modifier | modifier le wikicode]

Si le dividende est à virgule, la technique est la même que précédemment. La difficulté consiste comme dans le cas précédent à bien identifier les colonnes unités dans le dividende et dans le quotient. On peut pour s'entraîner reprendre l'exemple de la division de 57 683 par 157 et effectuer la division de 576,83 par 157 pour repérer la colonne unité (le quotient doit être de 3,67).

Diviseur à virgule[modifier | modifier le wikicode]

On ne sait pas faire au boulier une division par un nombre non entier. Il faut effectuer la division par le nombre entier puis multiplier le nombre final par la puissance de 10 adéquate.

Exemple : Pour diviser 576,83 par 15,7, il faut diviser 576,83 par 157, puis multiplier le résultat par 10 car on a divisé par un nombre 10 fois trop grand (le résultat est 36,7).