S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 9

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Leçon 9 - La base hexadécimale avec le boulier chinois.

Le boulier japonais, avec sa quinaire et ses 4 unaires permet d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 9. Il permet donc d'écrire en base 10 (base décimale).

Le boulier chinois, avec ses 2 quinaires et ses 5 unaires permet toujours d'écrire en base 10 (une quinaire et une unaire sont alors toujours désactivées). Mais il permet aussi d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 15. Il permet donc d'écrire en base 16 (base hexadécimale).

Ecriture en base hexadécimale[modifier | modifier le wikicode]

des chiffres[modifier | modifier le wikicode]

Il existe 16 chiffres en base hexadécimale : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A (10) , B (11) , C (12) , D (13) , E (14) et F (15) qui se représentent sur le boulier de la manière suivante :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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A(10) B(11) C(12) D(13) E(14) F(15)
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des nombres[modifier | modifier le wikicode]

L'écriture des nombres s'effectue en affectant à chaque colonne son poids, comme dans l'écriture hexadécimale, la colonne de droite est la colonne des unités, à sa gauche, la colonne de 161, à sa gauche la colonne de 162 ...

Le nombre 1DF3 (1/13/15/3)s'écrit alors

1 D(13) F(15) 3
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Addition en hexadécimal[modifier | modifier le wikicode]

Les règles d'additions sont analogues à celles décrites dans la leçon 2 mais plus nombreuses. Elles peuvent se regrouper ainsi

Ajouter 1, 2, 3, ou 4[modifier | modifier le wikicode]

  • Si le nombre d'unaires est suffisant, activer des unaires (remplacer éventuellement 5 unaires par une quinaire).
  • Sinon,
    • S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire et désactiver des unaires (complément à 5).
    • Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 6).

Ajouter 5[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire.
  • Sinon
    • Activer 5 unaires si cela est possible.
    • Sinon, activer la unaire de gauche et désactiver deux quinaires et une unaire.

Ajouter 6, 7, 8 ou 9[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il y a assez d'unaires désactivées
    • S'il reste au moins une quinaire, activer la quinaire et les unaires.
    • Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver les deux quinaires, activer le nombre d'unaires moins une.
  • Sinon
    • S'il reste deux quinaires, activer les deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 10).
    • Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et des unaires (complément à 16).

Ajouter A (10)[modifier | modifier le wikicode]

  • Si deux quinaires sont désactivées, activer deux quinaires.
  • Sinon :
    • S'il reste 5 unaires désactivées :
      • S'il reste une quinaire désactivée, activer 5 unaires et une quinaire.
      • Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et activer 4 unaires.
    • S'il ne reste pas 5 unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et une unaire.

Ajouter B (11), C (12), D(13), E (14) ou F (15)[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il reste assez d'unaires désactivées :
    • S'il reste assez de quinaires désactivées, activer les deux quinaires et les unaires.
    • Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire, activer le nombre d'unaires moins une.
  • S'il ne reste pas assez d'unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver des unaires (complément à 16).

Soustraction en hexadécimal[modifier | modifier le wikicode]

Il suffit de prendre les règles précédentes, de remplacer ajouter par ôter et de permuter les verbes activer/désactiver. Ce qui donne :

Oter 1, 2, 3, ou 4[modifier | modifier le wikicode]

  • Si le nombre d'unaires activées est suffisant, désactiver des unaires.
  • Sinon :
    • S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et activer des unaires (complément à 5).
    • Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et activer des unaires (complément à 6).

Oter 5[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il y a 5 unaires activées, désactiver les 5 unaires.
  • Sinon :
    • s'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire.
    • Sinon, désactiver la unaire de gauche et activer deux quinaires et une unaire.

Oter 6, 7, 8 ou 9[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il y a assez d'unaires activées :
    • S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et les unaires.
    • Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer les deux quinaires, désactiver le nombre d'unaires moins une.
  • Sinon :
    • S'il reste deux quinaires activées, désactiver les deux quinaires et activer des unaires (complément à 10).
    • Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et des unaires (complément à 16).

Oter A (10)[modifier | modifier le wikicode]

  • Si deux quinaires sont activées, désactiver deux quinaires.
  • Sinon :
    • S'il y a 5 unaires activées :
      • S'il reste une quinaire activée, désactiver 5 unaires et une quinaire.
      • Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et désactiver 4 unaires.
    • S'il n'y a pas 5 unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et une unaire.

Oter B (11), C (12), D (13), E (14) ou F (15)[modifier | modifier le wikicode]

  • S'il reste assez d'unaires activées :
    • S'il reste assez de quinaires activées, désactiver les deux quinaires et les unaires.
    • Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire, désactiver le nombre d'unaires moins une.
  • S'il ne reste pas assez d'unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer des unaires (complément à 16).

Conversion[modifier | modifier le wikicode]

Il importe de connaître la table de multiplication par 16 :

1 2 3 4 5 6 7 8 9
16 32 48 64 80 96 112 128 144


Conversion décimal vers hexadécimal[modifier | modifier le wikicode]

Pour la suite, les boules ne seront plus dessinées, on indiquera seulement le nombre écrit dans chaque colonne.

Exemple: Conversion de 3565 en base hexadécimale

  • Ecrire le nombre décimal à droite :
3 5 6 5
  • Effectuer la division de ce nombre 3565 par 16 :
2 2 2 1 3
  • Convertir le reste en hexadécimal (il suffit pour cela de remplacer la unaire de gauche par deux quinaires à droite) et déplacer le quotient sur la droite :
2 2 2 D
  • Effectuer la division du nouveau nombre décimal 222 par 16 :
1 3 1 4 D
  • Convertir le reste et déplacer le quotient :
1 3 E D
  • Il n'y a plus de division à opérer, il suffit de convertir le dernier nombre en hexadécimal :
D E D

Conversion hexadécimal vers décimal[modifier | modifier le wikicode]

Exemple: Conversion de 1DF3 en base décimale.

  • Ecrire le nombre hexadécimal à droite :
1 D F 3
  • Convertir, éventuellement, le nombre le plus à gauche en décimal et le multiplier par 16, la colonne concernée devient alors colonne des unités :
1 6 D F 3
  • Convertir et ajouter le nombre suivant (D = 13) :
2 9 F 3
  • Multiplier le nouveau nombre par 16 :
4 6 4 F 3
  • Convertir et ajouter le nombre suivant (F = 15) :
4 7 9 3
  • Multiplier le nouveau nombre par 16 :
7 6 6 4 3
  • Ajouter 3 au résultat final :
7 6 6 7