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Leçon 9 - La base hexadécimale avec le boulier chinois.
Le boulier japonais, avec sa quinaire et ses 4 unaires permet d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 9. Il permet donc d'écrire en base 10 (base décimale ).
Le boulier chinois, avec ses 2 quinaires et ses 5 unaires permet toujours d'écrire en base 10 (une quinaire et une unaire sont alors toujours désactivées). Mais il permet aussi d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 15. Il permet donc d'écrire en base 16 (base hexadécimale ).
Il existe 16 chiffres en base hexadécimale : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A (10) , B (11) , C (12) , D (13) , E (14) et F (15) qui se représentent sur le boulier de la manière suivante :
A(10)
B(11)
C(12)
D(13)
E(14)
F(15)
L'écriture des nombres s'effectue en affectant à chaque colonne son poids, comme dans l'écriture hexadécimale, la colonne de droite est la colonne des unités, à sa gauche, la colonne de 161 , à sa gauche la colonne de 162 ...
Le nombre 1DF3 (1/13/15/3)s'écrit alors
Les règles d'additions sont analogues à celles décrites dans la leçon 2 mais plus nombreuses. Elles peuvent se regrouper ainsi
Si le nombre d'unaires est suffisant, activer des unaires (remplacer éventuellement 5 unaires par une quinaire).
Sinon,
S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire et désactiver des unaires (complément à 5).
Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 6). S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire.
Sinon
Activer 5 unaires si cela est possible.
Sinon, activer la unaire de gauche et désactiver deux quinaires et une unaire. S'il y a assez d'unaires désactivées
S'il reste au moins une quinaire, activer la quinaire et les unaires.
Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver les deux quinaires, activer le nombre d'unaires moins une.
Sinon
S'il reste deux quinaires, activer les deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 10).
Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et des unaires (complément à 16). Si deux quinaires sont désactivées, activer deux quinaires.
Sinon :
S'il reste 5 unaires désactivées :
S'il reste une quinaire désactivée, activer 5 unaires et une quinaire.
Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et activer 4 unaires.
S'il ne reste pas 5 unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et une unaire. S'il reste assez d'unaires désactivées :
S'il reste assez de quinaires désactivées, activer les deux quinaires et les unaires.
Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire, activer le nombre d'unaires moins une.
S'il ne reste pas assez d'unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver des unaires (complément à 16). Il suffit de prendre les règles précédentes, de remplacer ajouter par ôter et de permuter les verbes activer/désactiver . Ce qui donne :
Si le nombre d'unaires activées est suffisant, désactiver des unaires.
Sinon :
S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et activer des unaires (complément à 5).
Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et activer des unaires (complément à 6). S'il y a 5 unaires activées, désactiver les 5 unaires.
Sinon :
s'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire.
Sinon, désactiver la unaire de gauche et activer deux quinaires et une unaire. S'il y a assez d'unaires activées :
S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et les unaires.
Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer les deux quinaires, désactiver le nombre d'unaires moins une.
Sinon :
S'il reste deux quinaires activées, désactiver les deux quinaires et activer des unaires (complément à 10).
Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et des unaires (complément à 16). Si deux quinaires sont activées, désactiver deux quinaires.
Sinon :
S'il y a 5 unaires activées :
S'il reste une quinaire activée, désactiver 5 unaires et une quinaire.
Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et désactiver 4 unaires.
S'il n'y a pas 5 unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et une unaire. S'il reste assez d'unaires activées :
S'il reste assez de quinaires activées, désactiver les deux quinaires et les unaires.
Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire, désactiver le nombre d'unaires moins une.
S'il ne reste pas assez d'unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer des unaires (complément à 16). Il importe de connaître la table de multiplication par 16 :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16
32
48
64
80
96
112
128
144
Pour la suite, les boules ne seront plus dessinées, on indiquera seulement le nombre écrit dans chaque colonne.
Exemple : Conversion de 3565 en base hexadécimale
Écrire le nombre décimal à droite : Effectuer la division de ce nombre 3565 par 16 : Convertir le reste en hexadécimal (il suffit pour cela de remplacer la unaire de gauche par deux quinaires à droite) et déplacer le quotient sur la droite : Effectuer la division du nouveau nombre décimal 222 par 16 : Convertir le reste et déplacer le quotient : Il n'y a plus de division à opérer, il suffit de convertir le dernier nombre en hexadécimal : Exemple : Conversion de 1DF3 en base décimale.
Écrire le nombre hexadécimal à droite : Convertir, éventuellement, le nombre le plus à gauche en décimal et le multiplier par 16, la colonne concernée devient alors colonne des unités : Convertir et ajouter le nombre suivant (D = 13) : Multiplier le nouveau nombre par 16 : Convertir et ajouter le nombre suivant (F = 15) : Multiplier le nouveau nombre par 16 : Ajouter 3 au résultat final : 
