Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur métrique

En coordonnées sphériques $\left(r,\theta ,\phi \right)$, où $\phi$ est l'angle azimutal et $\theta \in \left[0,\pi \right]$ est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r^{2}\sin \theta$.

L'inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{-2}&0\\0&0&r^{-2}\sin ^{-2}\theta &\end{matrix}}\right)$

• Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\phi }\right)$ est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\theta }}{r}},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r\sin \theta }}\right)$.