Calcul tensoriel/Espace euclidien

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Coordonnées cylindriques[modifier | modifier le wikicode]

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre à la place de la lettre . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées cylindriques , le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .

Symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est , et l'on a . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

Gradient[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit

Soit, dans la base orthonormée,

Divergence[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .

Dans la base naturelle, on a

et donc dans la base orthonormée :

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

  • pour un champ scalaire , le laplacien

s'écrit

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel

Tenseur de courbure[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure

Tenseur de Ricci[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci

Coordonnées sphériques[modifier | modifier le wikicode]

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles et , et on utilise la colatitude à la place de la latitude . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées sphériques , où est l'angle azimutal et est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .

L'inverse du tenseur métrique vaut

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .

Symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont , , et l'on a , , . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

Gradient[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit

Soit, dans la base orthonormée

Divergence[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .

Dans la base naturelle, on a

et donc dans la base orthonormée  :

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

  • pour un champ scalaire , le laplacien

s'écrit

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel

Tenseur de courbure[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure

Tenseur de Ricci[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci