Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux

Un livre de Wikilivres.
Aller à : navigation, rechercher
Cristallographie géométrique
Symbol cristallography2.svg
Table des matières
  1. Introduction
  2. Translations de réseau
  3. Calculs dans les réseaux
  4. Changement de base
  5. Projection stéréographique
  6. Symétrie ponctuelle
  7. Groupes ponctuels de symétrie
  8. Symétrie de corps simples et molécules
  9. Morphologie des cristaux
  10. Symétrie translatoire
  11. Réseaux de Bravais
  12. Groupes d'espace
  13. Propriétés physiques des cristaux
  14. Cristallochimie
  15. Transitions de phase

Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.

Systèmes de coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

Lecture des coordonnées d'un point dans un système non orthogonal.

Le système de coordonnées d'un réseau est défini par les vecteurs de base a, b et c de sa maille conventionnelle. Il n'est donc généralement pas orthogonal, à part dans les systèmes cristallins orthorhombique, tétragonal et cubique. Les vecteurs de base peuvent être de longueurs différentes et former des angles non égaux à 90°. Ils sont toujours choisis de façon à former un trièdre direct.

L'utilisation d'un système de coordonnées lié aux vecteurs de la maille conventionnelle du réseau plutôt que d'un système orthonormé permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. En particulier, l'écriture des matrices représentatrices des opérations de symétrie dans le cristal est facilitée (voir le chapitre sur la symétrie ponctuelle).

La position d'un point A quelconque dans un cristal est définie par son vecteur position rA :

Les coordonnées xA, yA et zA du point A sont des nombres réels. Dans un système de coordonnées non orthogonal, une coordonnée d'un point se lit sur l'axe correspondant en y projetant le point parallèlement aux autres axes.

Tout vecteur t s'écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau :

Si t est un vecteur du réseau, ses composantes u, v et w sont des nombres entiers.

Opérations sur les vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

De manière générale, le produit scalaire entre deux vecteurs t1 et t2 exprimés dans une base non orthogonale {a, b, c} s'écrit à l'aide du tenseur métrique G :

tt1 désigne la transposée du vecteur t1. Dans un système orthogonal, on retrouve la formule simple

D'autre part, le produit scalaire s'écrit aussi :

où θ est l'angle entre t1 et t2 et |t| représente la norme (ou longueur) d'un vecteur, donnée par :

Le produit scalaire permet de calculer l'angle θ entre deux vecteurs :

Le produit scalaire est commutatif : t2t1=t1t2.

Produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Produit vectoriel.

Le produit vectoriel entre deux vecteurs t1 et t2 de normes non nulles est noté t1t2. Son résultat est un troisième vecteur t3 tel que :

  • t3 est perpendiculaire au plan formé par t1 et t2 : les produits scalaires t1t3 et t2t3 sont nuls ;
  • la norme de t3 vaut |t1| |t2| sin θ, où θ est l'angle entre t1 et t2 ;
  • les vecteurs t1, t2 et t3 forment un trièdre direct.

Le produit vectoriel n'est pas commutatif. La permutation de t1 et t2 change le signe du produit vectoriel : t2t1=−(t1t2).

On remarque d'après la norme de t3 que :

  • si |t3| est nul, les deux vecteurs t1 et t2 sont parallèles : θ=0° ;
  • si |t3|=|t1| |t2|, les deux vecteurs t1 et t2 sont perpendiculaires : θ=90°.

Produit mixte[modifier | modifier le wikicode]

Le produit mixte de trois vecteurs t1, t2 et t3 est le produit scalaire d'un des vecteurs par le produit vectoriel des deux autres. Si t1, t2 et t3 forment un trièdre direct, le produit mixte des trois vecteurs est positif et est égal au volume V de la maille définie par ces vecteurs :

Le produit mixte est la racine carrée du déterminant du tenseur métrique défini par les vecteurs de bases t1, t2 et t3 :

Rangées réticulaires[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Une rangée réticulaire ou direction d'un réseau représente un ensemble de droites parallèles qui passent chacune par au moins deux nœuds du réseau.

Elle est définie par un vecteur primitif t tel que

où les indices de la rangée u, v et w sont des nombres entiers premiers entre eux : comme une rangée contient au moins deux nœuds, son vecteur primitif est un vecteur du réseau. Ce vecteur ne définit pas une seule droite dans le réseau mais une infinité de droites parallèles et équivalentes par translations du réseau.

Une rangée dans un cristal s'écrit avec ses indices entre crochets : [uvw]. Si une composante est négative, elle est notée avec un trait au-dessus : par exemple.

Deux rangées [u1 v1 w1] et [u2 v2 w2] sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs primitifs, notés t1 et t2, est nul : t1t2=0. D'autre part, les rangées et sont identiques.

Exemples de rangées.

Plusieurs rangées non parallèles entre elles peuvent être équivalentes à cause de la symétrie du réseau. Elles forment alors une famille de rangées équivalentes, notée <uvw>. Par exemple, la famille <100> désigne les rangées :

  • [100] et [010] dans le système tétragonal (directions a et b) ;
  • [100], [010] et [001] dans le système cubique (directions a, b et c).

Plans réticulaires[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Un plan réticulaire est un plan qui passe par au moins trois nœuds du réseau.

Plan (632).

Un plan réticulaire P est défini par son intersection avec les axes du système de coordonnées. Les coordonnées des points d'intersections sont (xP,0,0), (0,yP,0) et (0,0,zP). Comme le plan P contient des nœuds du réseau, les coordonnées xP, yP et zP sont des nombres rationnels. Dans l'exemple de la figure ci-contre, xP=1, yP=2 et zP=3. Si un plan est parallèle à un axe du système de coordonnées, son intersection avec cet axe a lieu à l'infini : la coordonnée correspondante est .

Un plan réticulaire est noté par des indices h, k et l entre parenthèses : (hkl). Il ne s'agit pas directement des coordonnées xP, yP et zP des points d'intersection du plan avec les axes : h, k et l sont des nombres entiers. Comme pour les rangées, si un indice est négatif, il est écrit avec un trait au-dessus.

Les indices h, k et l sont appelés « indices de Miller » ou « indices de Laue ». La différence entre les deux est expliquée dans les sections suivantes.

Indices de Miller[modifier | modifier le wikicode]

Les indices de Miller h, k et l d'un plan P sont des nombres entiers premiers entre eux. Ils sont définis par les coordonnées xP, yP et zP des points d'intersection du plan avec les axes du système de coordonnées.

La première étape pour obtenir les indices de Miller consiste à inverser les coordonnées des points d'intersection : 1/xP, 1/yP et 1/zP. Si le plan est parallèle à un axe, l'indice correspondant est égal à 0. Dans l'exemple de la figure, les inverses des coordonnées sont donnés par 1/xP=1/1=1, 1/yP=1/2 et 1/zP=1/3. Afin d'obtenir des indices h, k et l entiers, il suffit de multiplier les inverses des coordonnées par le produit de leurs dénominateurs. Dans notre exemple, ce produit vaut 6 : on obtient h=6, k=3 et l=2, qui sont premiers entre eux. Le plan P est donc le plan (632). Si les indices obtenus ne sont pas premiers entre eux, il faut ensuite les diviser par leur plus grand diviseur commun.

Du fait de la périodicité du réseau, (hkl) désigne en réalité une infinité de plans parallèles entre eux, dont un passe toujours par l'origine.

Plusieurs plans d'indices de Miller différents peuvent être équivalents par symétrie. Ils forment alors une famille de plans équivalents, notée avec des accolades : {hkl}. Par exemple, la famille {100} désigne les plans :

  • et dans le système orthorhombique ;
  • et dans la famille tétragonale.

Indices de Laue[modifier | modifier le wikicode]

Les indices de Laue sont utilisés pour la diffraction par les cristaux et pour la description des formes cristallines. Alors que les indices de Miller d'un plan sont forcément premiers entre eux, ce n'est pas le cas pour les indices de Laue. Le contexte d'utilisation des indices h, k et l permet de distinguer entre ces deux notations.

Par exemple, les faces délimitant un cristal de symétrie et de morphologie cubique sont les faces et  : on utilise ici les indices de Laue pour distinguer les faces opposées du cristal. Les faces et sont des faces parallèles mais différentes du cristal, alors que les plans réticulaires et sont identiques et sont notés avec les indices de Miller.

Notation de Miller-Bravais[modifier | modifier le wikicode]

Dans le système réticulaire hexagonal, on utilise parfois quatre indices pour désigner un plan : (hkil). L'introduction du quatrième indice i n'est pas nécessaire puisque trois indices suffisent pour désigner un plan, mais elle est utile pour trouver facilement les plans équivalents entre eux par symétrie.

L'indice i est défini par i=−(h+k).

Dans le système hexagonal, il existe trois rangées équivalentes par symétrie, les rangées et . Les vecteurs primitifs de ces trois rangées sont les vecteurs a1=a, a2=b et a3=−(a+b), respectivement. À vecteur c égal, il existe trois possibilités équivalentes pour choisir les vecteurs de base de la maille conventionnelle : {a1, a2, c}, {a2, a3, c} et {a3, a1, c}.

Indices de Miller-Bravais.

Les rangées et étant équivalentes, les plans qui leur sont perpendiculaires, par exemple, sont aussi équivalents. Ces plans ont pour indices de Miller et .

Les indices de Miller-Bravais permettent de retrouver simplement par permutations circulaires dans le plan (a, b) les indices des plans équivalents :

  • le plan est perpendiculaire à la rangée  ;
  • le plan est perpendiculaire à la rangée  ;
  • le plan est perpendiculaire à la rangée

Rangée perpendiculaire à un plan[modifier | modifier le wikicode]

Un plan (hkl) coupe les directions a, b et c aux points A, B et C de coordonnées (1/h,0,0), (0,1/k,0) et (0,0,1/l), respectivement. Soient t1=AB et t2=AC deux vecteurs contenus dans ce plan :

Par définition, le produit vectoriel t1t2 est perpendiculaire aux vecteurs t1 et t2, donc au plan (hkl). Ce produit vectoriel s'écrit :

puisque aa est nul et le produit vectoriel est anticommutatif. Le vecteur t1t2 n'est pas un vecteur de réseau car ses composantes ne sont généralement pas des nombres entiers. On reconnaît dans son expression les vecteurs de base a*, b* et c* du réseau réciproque :

En multipliant les deux membres de l'égalité par , on obtient l'expression d'un vecteur du réseau réciproque, noté H :

Le vecteur H de composantes (h,k,l) du réseau réciproque définit la rangée perpendiculaire au plan (hkl). Les composantes de H ainsi calculées sont des nombres entiers qui ne sont pas forcément premiers entre eux.

Exemples :

  • dans le système hexagonal, la rangée perpendiculaire au plan (100) est la rangée [100]* du réseau réciproque, de vecteur primitif a* : il s'agit de la rangée [210] dans le réseau direct. Le plan (100) n'est donc pas perpendiculaire à la rangée [100] du réseau direct dans le système hexagonal ;
  • dans le système cubique, la rangée perpendiculaire au plan (100) est également parallèle à a* dans le réseau réciproque, qui est parallèle à a : il s'agit de la rangée [100] dans le réseau direct. Ici, le plan (100) est perpendiculaire à la rangée [100] du réseau direct.

Réciproquement, un plan du réseau réciproque est noté (uvw)* et a pour rangée perpendiculaire la rangée [uvw] du réseau direct.

Équation d'un plan[modifier | modifier le wikicode]

Une rangée [uvw] de vecteur primitif t est parallèle au plan (hkl) si elle est perpendiculaire au vecteur H déterminé dans la section précédente. Cette condition se traduit par :

soit, puisque  :

Cette équation est l'équation du plan (hkl) passant par l'origine. Tout nœud du réseau direct de coordonnées (u,v,w) appartient à ce plan réticulaire si il satisfait à cette équation.

Le plan le plus proche de l'origine parmi l'ensemble des plans parallèles (hkl) a pour équation

Il coupe les directions a, b et c en 1/h, 1/k et 1/l respectivement.

De façon générale, l'équation d'un plan s'écrit

n est un nombre entier représentant l'ordre du plan dans la famille de plans réticulaires considérée.

Distance interréticulaire[modifier | modifier le wikicode]

Définition

La distance interréticulaire dhkl est la plus courte distance qui sépare deux plans réticulaires d'une même famille {hkl}.

Elle est égale à l'inverse de la norme du vecteur H perpendiculaire aux plans (hkl) :

Dans le cas général du système cristallin triclinique, on obtient

ou, en fonction des paramètres de maille du réseau direct

Plus les indices h, k et l d'un plan sont petits, plus la distance dhkl entre les plans de la famille {hkl} est grande.

La distance interréticulaire est souvent donnée sous sa « forme quadratique » :

Angle entre deux plans[modifier | modifier le wikicode]

L'angle θ entre deux plans (h1k1l1) et (h2k2l2) est égal à l'angle entre les vecteurs H1 et H2 qui leur sont perpendiculaires.

Dans le système cubique par exemple, les rangées perpendiculaires aux plans (100) et (111) sont [100]* et [111]*. Le tenseur métrique du réseau réciproque est G*=a*2×II est la matrice identité de rang 3. On a donc

et l'angle θ entre les plans (100) et (111) vaut

Zones[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Une zone est une rangée réticulaire commune à au moins deux plans réticulaires.

D'après l'équation d'un plan, une zone [uvw] appartient aux plans (h1k1l1) et (h2k2l2) si elle remplit simultanément les conditions :

Les composantes de la rangée [uvw] sont des nombres entiers premiers entre eux qui satisfont les relations

La rangée [uvw] est appelée dans ce cas « axe de zone ». Les plans ayant un axe de zone en commun sont des « plans tautozonaux » ou « plans en zone ». Les normales à ces plans sont toutes parallèles au plan orthogonal à l'axe de zone, qui est le « plan zonal ».

Trois plans d'indices de Miller (h1k1l1), (h2k2l2) et (h3k3l3) sont tautozonaux si le déterminant de la matrice formée par leurs indices est nul.

Par exemple, dans tout système cristallin, les plans (100), (010), (110) et (210), entre autres, sont parallèles à la rangée [001], qui est l'axe de zone de ces plans. Les plans (hk0) sont des plans tautozonaux. Leurs normales sont parallèles au plan zonal (001)*.


Translations de réseau << Cristallographie géométrique >> Changement de base