Calcul tensoriel/Géodésiques

À RÉDIGER

Équation géodésique

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées $x^{i}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}$. Le signe optionnel $\left[-\right]$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit $ds={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$, où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc la somme

$\int {\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}d\tau$

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{l}}}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{l}}}\right)=0$

avec

${\dot {s}}={\sqrt {\left[-\right]g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}$

Paramétrisation canonique

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

${\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{il,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.

Expression au moyen du symbole de Christoffel

La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :

${\ddot {x}}^{k}=-\Gamma _{ij}^{k}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

où $\Gamma _{ij}^{k}$ est le symbole de Christoffel.

Démonstration.

Système accéléré uniformément

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