Mathématiques avec Python et Ruby/Ensembles en Ruby

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Les évènements sont décrits en probabilité par des ensembles. Si ces ensembles sont finis, Ruby les gère.

Construction d'évènements[modifier | modifier le wikicode]

Évènements certain et impossible[modifier | modifier le wikicode]

L'évènement impossible, noté , est entré en Ruby avec des crochets vides:

impossible=[]
puts(impossible.length())
puts(impossible.empty?)

L'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire, appelé univers, est noté .

Pour savoir si un élément se trouve dans un ensemble, on utilise include? comme dans omega.include?(6) pour savoir si l'évènement peut donner un 6.

Avec un dé[modifier | modifier le wikicode]

Dice01.jpg

On s'apprête à lancer un dé. Alors l'évènement "le résultat sera plus petit que 5" est décrit par l'ensemble . De même, l'évènement "le résultat sera pair" est représenté par . On construit aisément ces évènements avec la notation ensembliste de Ruby qui se fait avec des crochets au lieu des accolades. Mais la définition d'ensembles par description est possible avec Ruby:

univers=(1..6).to_a
petit=univers.select { |r| r<5 }
pair=univers.select { |r| r%2==0 }
impossible=[]

Pour construire l'univers, on peut prend la liste des nombres allant de 1 à 6, et on la transforme en tableau avec to_a. Pour avoir les petits résultats (moins que 5), on choisit dans l'univers les éléments qui sont inférieurs à 5. select est une méthode de l'objet univers, qui se crée une variable r (entre traits verticaux) et lui fait parcourir les éléments du tableau (car univers en est un) et lui fait passer ou non par un filtre. En bref, on sélectionne les éléments de l'univers qui sont inférieurs à 5. De même, pour avoir les résultats pairs, on sélectionne les éléments de l'univers dont le quotient par 2 tombe juste (reste nul).

Avec des cartes[modifier | modifier le wikicode]

Carte française pique 10.png

Cette fois-ci, on extrait au hasard une carte parmi un jeu de 32 cartes.

On construit l'univers par un produit cartésien (des cartes avec Descartes !) entre l'ensemble des valeurs et celui des couleurs:

valeurs=[1,7,8,9,10,'Valet','Dame','Roi']
couleurs=['carreau','coeur','pique','trèfle']
valeurs=valeurs.collect { |v| v.to_s }
univers=[]
valeurs.collect { |v| couleurs.collect { |c| univers.push(v+' '+c) }}
puts(univers)

La troisième ligne transforme toutes les cartes en chaînes de caractères; en effet certaines d'entre elles étaient des chiffres. La suite du script consiste à créer un univers initialement vide, puis, avec la méthode collect du tableau des valeurs de cartes, à placer dans le jeu de cartes, l'une après l'autre, toutes les cartes (il est nécessaire de mettre une boucle à l'intérieur de la première, pour les différentes couleurs associées à chaque valeur de carte).

Carte française carreau 12.png

L'évènement "la carte est une figure" (pas un nombre) se construit en choisissant les cartes dont le début du nom n'est pas un nombre entier (donc se transforme en 0 lorsqu'on le convertit en entier):

figure=univers.select { |carte| carte[0..1].to_i==0 }
puts(figure)

Et pour construire l'évènement "la carte est un pique", on extrait les cartes de pique du jeu entier:

pique=univers.select { |carte| carte[-2..-1]=='ue'}
puts(pique)

(on extrait les cartes dont le nom termine par ue, puisque seul le mot pique se termine ainsi).

Évènements simultanés[modifier | modifier le wikicode]

Notation[modifier | modifier le wikicode]

L'évènement "A et B" se note , et l'opération se note en Ruby par une esperluette (&).

Avec le dé[modifier | modifier le wikicode]

petit=[1,2,3,4]
pair=[2,4,6]
puts(petit&pair)

Avec les cartes[modifier | modifier le wikicode]

Le script suivant montre que dans un jeu de 32 cartes, il y en a 3 qui sont à la fois des figures et des piques: Les trois figures de pique:

puts(figure&pique)


Le "ou" inclusif[modifier | modifier le wikicode]

Notation[modifier | modifier le wikicode]

De même l'évènement "A ou B" se note , et en Ruby, le symbole pipe (trait vertical). Ruby enlève automatiquement les doublons.

Avec le dé[modifier | modifier le wikicode]

petit=[1,2,3,4]
pair=[2,4,6]
puts(petit|pair)

Avec les cartes[modifier | modifier le wikicode]

On peut compter les cartes qui sont des figures ou des piques:

puts(figure|pique)
puts((figure|pique).size)

...mais on peut aussi laisser Ruby les compter, il en trouve 17. Ce comptage est à la base des calculs de probabilité.

Contraire[modifier | modifier le wikicode]

Pour calculer le contraire d'un évènement, on le soustrait à l'univers.

Avec le dé[modifier | modifier le wikicode]

univers=[1,2,3,4,5,6]
petit=[1,2,3,4]
pair=[2,4,6]
puts(univers-petit)
puts(univers-pair)

Ce qui montre que le contraire de "pair" est "impair".

Avec les cartes[modifier | modifier le wikicode]

puts(univers-figure)
puts(univers-pique)

Probabilités[modifier | modifier le wikicode]

La probabilité d'un évènement est définie comme le quotient de sa taille (en Ruby, size) par celle de l'univers.

On peut associer une probabilité à un évènement seul, en baptisant l'univers $univers ce qui fait qu'il est une variable globale, et en définissant une probabilité par

require 'mathn'
def proba(e)
    return Rational(e.size,$univers.size)
end

Mais pour éviter l'usage d'une variable globale, on peut aussi associer une probabilité à l'évènement et à son univers:


Avec le dé[modifier | modifier le wikicode]

require 'mathn'
univers=[1,2,3,4,5,6]
petit=[1,2,3,4]
pair=[2,4,6]
puts(Rational(petit.size,univers.size))
puts(Rational(pair.size,univers.size))


def proba(e,u)
    return Rational(e.size,u.size)
end

p1=proba(petit,univers)+proba(pair,univers)-proba(petit&pair,univers)
puts(p1)
p2=proba(petit|pair,univers)
puts(p1==p2)


Avec les cartes[modifier | modifier le wikicode]

require 'mathn'

puts(Rational(figure.size,univers.size))
puts(Rational(pique.size,univers.size))


def proba(e,u)
    return Rational(e.size,u.size)
end

p1=proba(figure,univers)+proba(pique,univers)-proba(figure&pique,univers)
puts(p1)
p2=proba(figure|pique,univers)
puts(p1==p2)

Probabilités conditionnelles[modifier | modifier le wikicode]

Ci-dessus, on a défini les probabilités avec comme paramètre l'univers. En effet, cette variable est globale, donc inaccessible a priori dans le corps de la fonction. Ceci permet de remplacer l'univers par un autre évènement, et donc de définir la probabilité conditionnelle. Par exemple, avec le dé:

require 'mathn'
univers=[1,2,3,4,5,6]
petit=[1,2,3,4]
pair=[2,4,6]

def proba(e,u)
    return Rational(e.size,u.size)
end

p1=proba(petit&pair,petit)
puts(p1)
p2=proba(petit&pair,pair)
puts(p1==p2)

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

On peut alors définir des booléens concernant des évènements, en utilisant les propriétés de leurs probabilités:

require 'mathn'

def incompatibles(a,b)
    return proba(a&b)==0
end


def indépendants(a,b)
    return proba(a&b)==proba(a)*proba(b)
end