Un petit exercice

Au village de Trokhafairtrade dans le Swazibwana occidental, on pratique un mélange de commerce équitable et de troc. Ainsi, un habitant a acquis 2 youkoulélés d'Hawaii contre 3 xylophones et 1 € et un écotouriste a acquis un xylophone et un youkoulélé pour la modique somme de 8 €. On demande le prix, en euros, d'un xylophone et le prix d'un youkoulélé sur le marché de Trokhafairtrade.

En notant x le prix d'un xylophone et y celui d'un youkoulélé, l'énoncé se traduit algébriquement par 2y=3x+1 et x+y=8.

On va donc voir comment résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant:

$\left\{{\begin{array}{rcl}3x-2y&=&-1\\x+y&=&8\end{array}}\right.$

Méthode itérative

Dans le cas présent, il se trouve que x et y sont entiers naturels. Si on sait que c'est le cas, on peut les chercher par tâtonnement avec une boucle sur x et sur y. On va successivement fabriquer un tableau bidimensionnel avec les entiers de 0 à 100 (deux premières lignes) puis regarder quels couples de ce tableau vérifient à la fois les deux conditions données par le système:

total=[[]]
(0..100).each{|x| (0..100).each{|y| total.push([x,y])}}
solutions=total.select{|c| 3*c[0].to_f-2*c[1].to_f==-1 and c[0].to_f+c[1].to_f==8}
puts(solutions)

Méthode algébrique

Le système $\left\{{\begin{array}{rcl}3x-2y&=&-1\\x+y&=&8\end{array}}\right.$ peut aussi s'écrire matriciellement $\left({\begin{array}{rr}3&-2\\1&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{r}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}-1\\8\end{array}}\right)$ soit $AX=B$ avec $A=\left({\begin{array}{rr}3&-2\\1&1\end{array}}\right)$ et $B=\left({\begin{array}{r}-1\\8\end{array}}\right)$ . Alors sa solution $X=\left({\begin{array}{r}x\\y\end{array}}\right)$ s'obtient par le calcul matriciel $X=A^{-1}B$ , ce qui se fait directement avec le module matrix de Ruby:

require 'matrix'
require 'mathn'

A=Matrix[[3,-2],[1,1]]
B=Matrix[[-1],[8]]
solution=A.inverse*B
puts(solution)

En ayant choisi mathn avec, les solutions s'écrivent automatiquement sous forme de fractions si elles ne sont pas entières.