Mathématiques avec Python et Ruby/Résolution de systèmes en Python

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Un petit exercice

Au village de Trokhafairtrade dans le Swazibwana occidental, on pratique un mélange de commerce équitable et de troc. Ainsi, un habitant a acquis 2 youkoulélés d'Hawaii contre 3 xylophones et 1 € et un écotouriste a acquis un xylophone et un youkoulélé pour la modique somme de 8 €. On demande le prix, en euros, d'un xylophone et le prix d'un youkoulélé sur le marché de Trokhafairtrade.

Female coffee farmer in Ethiopia (5762538117).jpg

Bien entendu, on va noter x le prix d'un xylophone, et y le prix d'un youkoulélé. Les données de l'énoncé se traduisant algébriquement par 2y=3x+1 et x+y=8.

On va donc voir comment résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :

Méthode graphique[modifier | modifier le wikicode]

Une méthode simple (surtout ici puisque la solution est formée d'entiers) consiste à tracer les deux droites d'équations respectives et et de lire sur le graphique les coordonnées de leur point d'intersection. Python tout seul ne sait pas faire ça mais PyKig lance le logiciel Kig et le laisse faire le travail, à condition de lui fournir les éléments nécessaires pour faire les constructions géométriques : Les coordonnées de points de chaque droite. Or la droite d'équation passe par les points de coordonnées et (intersections avec les axes de coordonnées) qui sont constructibles par Kig. Le script suivant colorie en bleu la première droite (le milieu M sert de point d'ancrage pour son équation réduite) et en rouge la seconde droite, puis affiche en mauve leur point d'intersection :

e1=[3.0,-2.0,-1.0]
e2=[1.0,1.0,8.0]


A=Point(e1[2]/e1[0],0,HIDDEN)
B=Point(0,e1[2]/e1[1],HIDDEN)
d1=Line(A,B)
d1.setcolor("blue")
M=MidPoints(A,B,HIDDEN)
t=Text(M,Equation(d1),0)
t.setcolor("blue")


C=Point(e2[2]/e2[0],0,HIDDEN)
D=Point(0,e2[2]/e2[1],HIDDEN)
d2=Line(C,D)
d2.setcolor("red")
N=MidPoints(C,D,HIDDEN)
u=Text(N,Equation(d2),0)
u.setcolor("red")


I=LineLineIntersection(d1,d2)
I.setcolor("magenta")

En enregistrant son contenu dans un fichier appelé system.kpy, et en exécutant dans une console ceci :

pykig.py system.kpy

On obtient, après lancement inopiné de Kig (à condition bien sûr que celui-ci soit installé, ce qui est très facile sous Linux, beaucoup moins sous les autres systèmes), la figure suivante (où il a été nécessaire de créer un Label donnant les coordonnées du point d'intersection, ce que PyKig ne sait pas faire) :

Systemkig1.svg

On lit les coordonnées du point d'intersection, qui constituent la solution du système. Il est possible de déplacer à la souris les points A, B, C et D et voir les coordonnées du point d'intersection se mettre à jour en temps réel : En effet Kig est un logiciel de géométrie dynamique.

Cette méthode n'est pas applicable à des systèmes de plus de deux inconnues mais elle est très visuelle pour des systèmes tels que pour lesquels on voit non seulement qu'il n'y a pas de solution, mais également pourquoi il n'y a pas de solution.

Si l'une des droites est verticale ou horizontale, le fichier ci-dessus doit être modifié avec des tests gérant ces cas. Ceci est laissé en exercice.

Méthode itérative[modifier | modifier le wikicode]

Si on sait que x et y sont entiers naturels, on peut résoudre le système par une double boucle sur x et y :

solutions=[(x,y) for x in range(100) for y in range(200) if 3*x-2*y==-1 and x+y==8]
print(solutions)

Pour "x"et"y" appartenant à R je propose le script suivant :


def systeme (a1,b1,c1,a2,b2,c2):

   x=float()
   y=float()
   'a1*x + b1*y =c1,a2*x + b2*y =c2'
   if a1*b2-a2*b1==0:
       print('Pas de solution')
   else:    
       y=(c2*a1-c1*a2)/(a1*b2-a2*b1)
       x=(c1-b1*y)/a1
       print('x =',round(x,2),"",'y =',round(y,2))

Méthode de Cramer[modifier | modifier le wikicode]

La méthode de Cramer est également implémentable en Python :

def affiche(e):
    print(str(e[0])+'x+('+str(e[1])+')y='+str(e[2]))

def resoudre(e1,e2):
    determinant=e1[0]*e2[1]-e1[1]*e2[0]
    if determinant==0:
        print('Pas de solution unique')
    else:
        x=(e1[2]*e2[1]-e1[1]*e2[2])/determinant
        y=(e1[0]*e2[2]-e1[2]*e2[0])/determinant
        print('La solution est ('+str(x)+','+str(y)+')')


e=[3,-2,-1]
f=[1,1,8]

affiche(e)
affiche(f)
resoudre(e,f)

Mais le module fractions permet d'avoir la valeur exacte de la solution chaque fois que les coefficients du système sont entiers :

from fractions import *

def resoudre(e1,e2):
    determinant=e1[0]*e2[1]-e1[1]*e2[0]
    if determinant==0:
        print('Pas de solution unique')
    else:
        x=Fraction(e1[2]*e2[1]-e1[1]*e2[2],determinant)
        y=Fraction(e1[0]*e2[2]-e1[2]*e2[0],determinant)
        print('La solution est ('+str(x)+','+str(y)+')')


e=[3,-2,-1]
f=[1,1,8]
resoudre(e,f)

Avec NumPy[modifier | modifier le wikicode]

Le module NumPy permet de faire du calcul avec Python, et même en étant à la fois rapide et précis (parce que ce module est précompilé).

Installation[modifier | modifier le wikicode]

Les principales distributions Linux sont fournies avec. Sur Windows, on peut le télécharger sur http://sourceforge.net/projects/numpy/files/.

Une fois le .zip décompressé, il faut l'installer en tapant dans la console :

python setup.py install

En cas d'erreur :

Utilisation[modifier | modifier le wikicode]

Pour résoudre le système, entrer le script suivant :

from numpy import *

A=matrix([[3,-2],[1,1]])
B=matrix([[-1],[8]])
solution=linalg.solve(A,B)
print(solution)