Mathématiques avec Python et Ruby/Vecteurs en Ruby

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Un vecteur peut être défini par ses deux coordonnées ou avec deux points (son origine et son extrémité). La seconde technique a été abordée dans le chapitre précédent; on utilisera donc ici la définition par les coordonnées:

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Le vecteur sera donc ici une classe Vecteur:

class Vecteur

    def initialize(x,y)
        @x, @y = x, y
    end

end

Créer un vecteur, c'est donc lui donner une abscisse et une ordonnée. Comme on l'a vu dans le chapitre précédent, on peut maintenant en créer en Ruby avec

v=Vecteur.new(2,3)

Coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

On gère les coordonnées et l'affichage comme avec les points; il y a beaucoup de ressemblance entre les vecteurs et les points, ce sont les méthodes qui ne seront pas les mêmes.

Abscisse[modifier | modifier le wikicode]

    def x
        @x
    end

Pour lire ou modifier l'abscisse d'un vecteur u, on invoque u.x.

Ordonnée[modifier | modifier le wikicode]

    def y
        @y
    end

Affichage[modifier | modifier le wikicode]

    def to_s
        '('+@x.to_s+';'+@y.to_s+')'
    end

Il suffit pour afficher un vecteur u, de faire

puts(u)

Norme[modifier | modifier le wikicode]

La norme d'un vecteur se calcule avec le théorème de Pythagore:

    def norme
        Math.hypot(@x,@y)
    end

On a utilisé la norme d'un vecteur pour calculer des distances au chapitre précédent.

Opérations[modifier | modifier le wikicode]

Il n'est pas d'usage de calculer le milieu de deux vecteurs, mais par contre, on n'additionne pas les points d'habitude (sauf avec GeoGebra). Mais les vecteurs, eux, on les additionne:

Somme[modifier | modifier le wikicode]

La somme de deux vecteurs est définie par la somme des coordonnées:

    def + (u)
        Vecteur.new(@x+u.x,@y+u.y)
    end

La notation est infixée ce qui fait que la somme de deux vecteurs u et v se note tout simplement u+v.

Produits[modifier | modifier le wikicode]

Il y a deux multiplications intéressantes:

Par un nombre[modifier | modifier le wikicode]

En multipliant un vecteur par un nombre, on obtient un vecteur:

    def * (r)
        Vecteur.new(@x*r,@y*r)
    end

Seulement on est obligé de mettre le nombre après le vecteur (u*3 pour avoir le triple de u, alors que d'habitude on fait plutôt le contraire: 3u), et ce produit est moins intéressant que le suivant:

Par un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

En multipliant un vecteur par un vecteur, on obtient un nombre. Comme les nombres sont disposés comme les barreaux d'une échelle, on appelle cette multiplication, le produit scalaire des deux vecteurs:

    def * (u)
        @x*u.x+@y*u.y
    end

On écrit u*v pour avoir le produit scalaire de u par v.

Tests[modifier | modifier le wikicode]

De colinéarité[modifier | modifier le wikicode]

Pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires, on compare deux produits:

    def colin(u)
        @x*u.y==@y*u.x
    end

Pour savoir si u et v sont colinéaires, on entre

puts(u.colin(v))

qui donnera true ou false selon que les vecteurs sont, ou non, colinéaires.

D'orthogonalité[modifier | modifier le wikicode]

Pour savoir si deux vecteurs sont orthogonaux, on compare leur produit scalaire à 0:

    def ortho(u)
        self * u ==0
    end

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'exemple du chapitre précédent, le produit scalaire permet plus rapidement de vérifier que le triangle ABC est rectangle:

a=Point.new(-1,3)
b=Point.new(5,1)
c=Point.new(1,5)


u=c.vecteur(a)
v=c.vecteur(b)


puts(u*v)
puts(u.ortho(v))