Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres

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Puissances à exposant entier positif[modifier | modifier le wikicode]

La notion de puissance provient d'un cas particulier de produit : par exemple le produit a × b × c est obtenu en multipliant les nombres a, b et c. Si ces trois nombres sont égaux, ce produit devient alors a × a × a, la puissance cubique, ou cube, du nombre a, notée a3, qui se lit « a puissance 3 » ou encore « a au cube ».

Considérons un nombre quelconque a et multiplions n copies de lui-même :

Nous dirons que ce nombre a est élevé à la puissance n et nous écrirons :

Dans cette écriture le nombre n est appelé exposant.


Quand a est égal à 10, nous aurons des valeurs telles que :

101 = 10

102 = 10 × 10 = 100

103 = 10 × 10 × 10 = 1 000

etc.


L'intérêt de cette écriture est évident pour les grands nombres que l'on peut toujours écrire sous la forme d'un facteur allant de 1 à 9, 9999… multiplié par une puissance de 10, par exemple :

1 000 000 000 000 = 1 × 1012= 1012

61 327 000 000 000 000 = 6, 132 7 × 1016

Dans la plupart des cas, il est toutefois préférable d'utiliser des exposants multiples de 3 qui correspondent mieux aux habitudes de la numération : mille, un million, un milliard, etc.

61 327 000 000 000 000 = 61, 327 × 1015

Racines n-ièmes[modifier | modifier le wikicode]

Prenons maintenant le problème à l'envers. Au lieu de chercher ce qui se passe lorsque nous élevons un nombre à la puissance n, essayons de trouver quel est le nombre inconnu x qui, élevé à la puissance n, donnera un autre nombre N fixé à l'avance :

Par définition, x sera appelé racine n-ième de N. Si n = 2, nous aurons affaire à une racine carrée, si n = 3, à une racine cubique, si n = 4, à une racine quatrième, etc.

La notation habituelle d'une racine est la suivante :

si alors

Bien entendu, la définition que nous venons de donner nous permet d'écrire :

Pour les racines carrées, il est d'usage de ne pas préciser la valeur de n.

Voici quelques exemples numériques :

racines carrées :

(c'est une valeur usuelle !)

(celle-là aussi !)

racines cubiques :

racine sixième :

etc.

Remarques importantes :
  • sauf en faisant appel aux nombres complexes, qui sortent largement du cadre de cet exposé, on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
  • la racine carrée d'un nombre est PAR DÉFINITION un nombre positif.

Ainsi, et non pas

Produits de puissances[modifier | modifier le wikicode]

Cherchons à calculer le produit de puissances différentes d'un même nombre :


Retenons que


Par exemple : 102 × 103 = 100 × 1 000 = 100 000 = 105 = 102+3

Quotient de puissances[modifier | modifier le wikicode]

Calculons maintenant le quotient de puissances différentes d'un même nombre:


Si m > n, l'exposant est positif,

si m = n, l'exposant est nul et le rapport vaut 1

si m < n, l'exposant est négatif.


Par exemple :



Notons au passage que

et retenons que


Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :

...

103 = 1 000

102 = 100

101 = 10

100 = 1

10-1 = 1 / 10 = 0,1

10-2 = 1 / 100 = 0,01

10-3 = 1 / 1 000 = 0,001

...


Remarques :

  • puissances à exposant nul : pour tout nombre a non nul, on pose par convention que a0 = 1. Dans la plupart des cas on admet que c'est vrai également pour a = 0, et donc que 00 = 1 mais dans certaines circonstances on doit considérer que 00 est un nombre indéfini.
  • puissances à exposant négatif : on considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a-n, lu « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance n-ième de a, c'est-à-dire :
On comprend qu'il faut exclure 0 de cette définition car l'inclure reviendrait à diviser par 0, ce qui est impossible
Attention, une puissance de a à exposant négatif n'est pas forcément négative ; par exemple 3-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, est bien une puissance à exposant négatif, car -4 est un entier négatif, mais :

Puissances d'une puissance[modifier | modifier le wikicode]

Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :


Il en résulte que


Par exemple :


Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :


n'est autre que la racine n-ième de a.


D'où


Par exemple :

Formulaire[modifier | modifier le wikicode]

  • produit de puissances :
  • quotient de puissances : pour tout non nul
  • puissance d'une puissance :
  • puissance d'une produit :
  • puissance d'un quotient : pour tout non nul
  • produit d'une puissance par son inverse :


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