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Calcul tensoriel

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Sections

Objectifs du livre

Ce wikibook sur le calcul tensoriel est destiné au lecteur qui a déjà quelques notions d'analyse, notamment par la connaissance des opérateurs différentiels usuels : gradient, divergence, rotationnel et laplacien. Ces opérateurs différentiels auront probablement jusqu'ici été définis au travers de formules valables uniquement dans un système orthonormé de coordonnées, peut-être parfois dans le système de coordonnées sphériques. Par exemple, en coordonnées orthonormées, la divergence aura été définie par la formule .

Mais le champ scalaire , dérivé du champ vectoriel , a une signification physique indépendante du système de coordonnés choisi pour mesurer l'espace. Le calcul tensoriel est un outil qui permet d'écrire de manière simple, rigoureuse et uniforme les formules des opérateurs différentiels dans un système de coordonnées quelconque. Lorsqu'il retrouvera aisément les formules classiques dans le système cylindrique ou dans le système sphérique, le lecteur sera probablement convaincu de l'intérêt du calcul tensoriel !

Lorsque le lecteur travaillera facilement dans l'espace bidimensionnel ou tridimensionnel avec des tenseurs métriques divers et variés, il ne verra pas de difficulté à mesurer l'espace-temps de la relativité restreinte. Dans cet espace quadridimensionnel, les équations de Maxwell prennent une forme particulièrement simple. Ainsi les deux équations et impliquant une divergence tridimensionnelle, un rotationnel et une dérivée partielle par rapport au temps se résument à une unique équation de Gauss quadridimensionnelle.

La notion de géodésique dans l'espace-temps permettra au lecteur de retrouver les formules classiques d'accélération centrifuge et accélération de Coriolis dans un référentiel tournant.

Le lecteur pourra aborder les espaces courbes en commençant par un espace à deux dimensions, la sphère.

Sans concept supplémentaire, le lecteur pourra calculer pour n'importe quelle métrique la courbure de l'espace-temps. Il verra qu'il est facile de construire à partir de la courbure un tenseur symétrique, le tenseur d'Einstein, dont la divergence quadridimensionnelle est nulle. Il est tentant d'identifier ce tenseur avec un autre tenseur symétrique de divergence nulle, qui décrit l'énergie et la quantité de mouvement des particules et des champs. Le faire, c'est écrire l'équation fondamentale de la relativité générale et comprendre la gravitation.


Notions élémentaires

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Pour les besoins du calcul tensoriel, nous serons amenés a utiliser une notation indicielle, ces indices pouvant êtres aussi bien des indices bas que hauts. Il faudra particulièrement faire attention au fait que les indices hauts ne représentent pas une puissance (en cas de réelle utilisation de puissance on peut toujours écrire ).

Il faudra faire aussi faire attention au fait que l'on va utiliser des conventions de simplification pour alléger l'écriture. En particulier, la convention d'Einstein: si on a un vecteur:

On omettra le signe "somme" et on écrira juste:

Remarquez la convention d'écrire les composantes avec un indice haut, et les vecteurs de bases avec un indice inférieurs (lorsque l'on utilise les composantes contravariantes - nous verrons ce que c'est précisément plus tard).

Exemples:

  • le vecteur: s'écrira (en spécifiant évidemment que )
  • le système:

s'écrira (: attention que l'indice de sommation est j dans ce cas et non pas i.)

Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations

Transformations entre systèmes de coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.

Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement et dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :

Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :

Ainsi on a:

Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant le symbole de Kronecker, on a

Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:

Base naturelle[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".

Par définition, la base naturelle au point est la base formée par les vecteurs:

représente évidemment l'origine.

est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque . Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:

On a par définition:

  • Remarques
    1. La lettre étant muette, on voit parfois écrit , avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
    2. Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole , , etc. représente en fait un champ de vecteurs.
    3. Les vecteurs de base se transforment selon la formule . Démonstration

composantes covariantes et contravariantes[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace vectoriel, et soit et une base de .

On note, avec la convention d'Einstein:

Tout simplement, les nombres sont les composantes contravariantes du vecteur . Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

ou la base est la base duale de , définie par:

Remarques:

  • Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
  • Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
  • On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
  • La base duale de la base duale est la base de départ.

Tenseurs[modifier | modifier le wikicode]

Dans un espace de dimension N, un tableau à P indices , chaque indice pouvant prendre N valeurs représente les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les vecteurs de base locale lors d'un changement de système de coordonnées.

Un tableau représente les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les variations infinitésimales des coordonnées lors d'un changement de système de coordonnées.

On verra plus bas que des composantes contravariantes et covariantes peuvent correspondre au même tenseur, la transformation étant obtenue au moyen du tenseur métrique.

De la même manière qu'on définit un champ vectoriel comme un vecteur fonction de la position dans l'espace, on définit un champ tensoriel comme un tenseur fonction de la position dans l'espace. Dans la suite, on utilisera le simple mot tenseur, alors qu'on considérera en général un champ tensoriel.

Il n'y a pas de difficulté à définir un tenseur en composantes mixtes. On aura par exemple

Produit tensoriel[modifier | modifier le wikicode]

Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs et composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de composantes. Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre , appelé produit tensoriel de A et B.

On écrira par exemple .

Tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

Le tenseur métrique, noté , est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la base naturelle. Il est symétrique :

Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique

À RÉDIGER

Transformation contraco[modifier | modifier le wikicode]

On transforme les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

Étant donné que est la matrice inverse de , on a

  • Remarques
    1. Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi , et .
    2. Il y a une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de , on écrit .
    3. La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple .

Contraction[modifier | modifier le wikicode]

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.

Avec la convention d'Einstein, on écrit

Puisque l'on a , on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

Produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Le produit scalaire de deux vecteurs et est la contraction de leur produit tensoriel. Il s'exprime donc au moyen du tenseur métrique  :

C'est un tenseur d'ordre 0, indépendant du choix du système de coordonnées.

Tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un espace de dimension N, le symbole de Levi-Civita d'ordre N , aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Définition du tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantes[modifier | modifier le wikicode]

La formule

est le déterminant du tenseur métrique, définit bien un tenseur à partir du symbole de Levi-Civita d'ordre N. Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté est ici appelé tenseur dualiseur. Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées. Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.

Tenseur dualiseur en coordonnées covariantes[modifier | modifier le wikicode]

On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu N fois le tenseur métrique. Le produit de ces N termes avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique et l'on obtient

Détermination du signe[modifier | modifier le wikicode]

Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe des composantes du tenseur.

Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif. Deux possibilités s'offrent alors, considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur, ou remplacer g par -g. Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]

Propriétés du tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Produit de tenseurs dualiseurs[modifier | modifier le wikicode]

La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole est le symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.

résultat d'ordre 2[modifier | modifier le wikicode]
résultat d'ordre 4[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur dual[modifier | modifier le wikicode]

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre M dans un espace de dimension N définit un tenseur d'ordre N-M, son dual.

Le choix de faire la contraction sur les M derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire. La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de , avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.

Tenseurs duaux complètement antisymétriques[modifier | modifier le wikicode]

Si dans un espace à dimensions, est un tenseur à indices, avec , alors le dual est un tenseur à indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a

On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.

dimension 3[modifier | modifier le wikicode]

Le dual d'un vecteur est un tenseur antisymétrique à deux indices . Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique est un vecteur . Tous deux ont 3 composantes indépendantes.

Le dual d'un scalaire est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices . Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices est un scalaire . Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.

Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices est le tenseur lui-même. Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs , les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices .

En effet, pour un scalaire on a ; pour un vecteur on a  ; pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a  ; pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a

dimension 4[modifier | modifier le wikicode]

Le dual d'un scalaire est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire

Le dual d'un vecteur est le tenseur complètement antisymétrique . Tous deux ont 4 composantes indépendantes.

Le dual d'un tenseur antisymétrique est le tenseur antisymétrique . Tous deux ont 6 composantes indépendantes.

Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique est le vecteur

Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire est le scalaire

De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.

Produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux vecteurs dans un espace de dimension N. Le produit vectoriel de ces vecteurs est le tenseur défini par

  • en dimension 2, le produit vectoriel est le scalaire défini par
  • En dimension 3, le produit vectoriel est le vecteur défini par , ou, en composantes contravariantes .

Dérivée covariante[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée partielle d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Soit un champ vectoriel de coordonnées dans la base naturelle associée au système de coordonnées et de coordonnées dans la base naturelle associée au système de coordonnées .

La dérivée partielle ou dérivée virgule

n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées

on obtient

formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.

Symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la base naturelle :

Étant donné la définition de la base naturelle, on peut écrire pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :

  • Remarques
    1. Le symbole de Christoffel est aussi appelé connexion, avec un signe parfois différent.
    2. Ce symbole n'est pas un tenseur à cause du second terme de la formule de transformation. On définit néanmoins le symbole
    3. Ce symbole permet de calculer le tenseur dérivée covariante d'un tenseur.

Symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Christoffel s'écrit en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique:

Démonstration

Contraction du symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration

  • Remarques
    1. Le symbole de Christoffel étant symétrique, le résultat ne dépend de l'indice de contraction :
    2. Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs, par exemple dans la formule de la

divergence.

Transformation du symbole de Christoffel lors d'un changement de coordonnées[modifier | modifier le wikicode]

Pseudo-contraction de la dérivée partielle du tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme : . Démonstration.

  • Remarques
    1. Si était un tenseur, on aurait le signe +.
    2. On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.

Dérivée covariante[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée covariante, définie par

etc. est un tenseur. La présence des symboles de Christoffel permet d'anihiler le jacobien dans la formule de transformation de la dérivée virgule.

Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Nullité de la dérivée covariante

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

.

Démonstration.

Système de coordonnées localement géodésique[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel en un point donné, sans modifier le tenseur métrique en ce point. Démonstration.

Il est possible de construire un système de coordonnées qui annule les dérivées partielles du tenseur métrique, et donc le symbole de Christoffel sur une ligne donnée.

Opérateurs différentiels[modifier | modifier le wikicode]

Gradient[modifier | modifier le wikicode]

Si f est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : , aussi appelée gradient de f. Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le gradient en coordonnées cylindriques et le gradient en coordonnées sphériques.

  • Remarques
    1. Le gradient généralisé d'un tenseur quelconque peut être défini simplement comme sa dérivée covariante. Cette opération ajoute un indice au tenseur.

Divergence[modifier | modifier le wikicode]

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.

Divergence d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Pour un champ vectoriel , on a

Mettant a profit la formule de contraction , on a

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple la divergence en coordonnées cylindriques et la divergence en coordonnées sphériques.

Divergence d'un tenseur d'ordre 2[modifier | modifier le wikicode]

Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit

Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a

En effet, le terme est nul puisque .

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  • En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Le laplacien est la divergence du gradient, la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.

Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque . La laplacien a le même nombre d'indices que .

  • Pour un champ scalaire

  • Pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Ces formules permettent, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le laplacien dans un système de coordonnées quelconque. Voir par exemple le laplacien en coordonnées cylindriques et le laplacien en coordonnées sphériques.

Rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Tenseur rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un champ de vecteurs covariants dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme est par construction un tenseur antisymétrique.

Expression à partir de la dérivée simple[modifier | modifier le wikicode]

La symétrie du symbole de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : .

Rotationnel en dimension 3[modifier | modifier le wikicode]

En dimension 3, le tenseur dualiseur permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel : .

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes , mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique ainsi que sa symétrie, on trouve .

Tenseur de courbure[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2

Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).

En revanche pour un champ de vecteurs , les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann permet de calculer leur différence

Expression I[modifier | modifier le wikicode]

Démonstration

Expression II[modifier | modifier le wikicode]

avec


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Propriétés

Symétries[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Symétries

Relation cyclique[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Relation cyclique

Identité de Bianchi[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Identité de Bianchi


En contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire, on obtient le tenseur de Ricci, clé des équations d'Einstein.


Tenseur de Ricci[modifier | modifier le wikicode]

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :

Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.

Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :

La divergence du tenseur d'Einstein est nulle :

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.


Espace euclidien

Coordonnées cylindriques[modifier | modifier le wikicode]

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise ici la lettre à la place de la lettre . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées cylindriques , le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .

Symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

Le seul terme non constant du tenseur métrique en coordonnées cylindriques est , et l'on a . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

Gradient[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit

Soit, dans la base orthonormée,

Divergence[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .

Dans la base naturelle, on a

et donc dans la base orthonormée :

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées cylindriques,

  • pour un champ scalaire , le laplacien

s'écrit

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Rotationnel

Tenseur de courbure[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de courbure

Tenseur de Ricci[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur de Ricci

Coordonnées sphériques[modifier | modifier le wikicode]

Une fois déterminé le tenseur métrique, il est facile de calculer le gradient, la divergence, le laplacien, le rotationnel, le symbole de Christoffel.

ATTENTION, par rapport à l'article Wikipedia:Coordonnées polaires, on utilise échange ici les symboles et , et on utilise la colatitude à la place de la latitude . Voir une page sur les conflits de notations.

Tenseur métrique[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées sphériques , où est l'angle azimutal et est la colatitude, le carré d'un élément de longueur vaut et donc le tenseur métrique vaut

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut .

L'inverse du tenseur métrique vaut

  • Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle est orthogonale et la base orthonormée s'écrit .

Symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

Les seuls termes non constants du tenseur métrique en coordonnées sphériques sont , , et l'on a , , . Les éléments non nuls du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux

Gradient[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques, le gradient d'un champ scalaire s'écrit

Soit, dans la base orthonormée

Divergence[modifier | modifier le wikicode]

En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit .

Dans la base naturelle, on a

et donc dans la base orthonormée  :

Laplacien[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l'expression du tenseur métrique en coordonnées sphériques,

  • pour un champ scalaire , le laplacien

s'écrit

  • pour un champ vectoriel

...À RÉDIGER...

Rotationnel[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Rotationnel

Tenseur de courbure[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de courbure

Tenseur de Ricci[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Tenseur de Ricci


Espace courbe

Plongement dans un espace euclidien (Nash) Calcul tensoriel/Espace courbe/Plongement dans un espace euclidien


Espace-temps plan

Événements[modifier | modifier le wikicode]

Mercredi 22 février 2006, à 13 h GMT, le battant du carillon de Big-Ben est entré en contact avec sa cloche en un point bien précis. Ce point de l'espace-temps est appelé événement.

Dans un système de coordonnées, un événement de l'univers est décrit par 4 nombres. Par exemple, dans le système de coordonnées terrestre et l'heure GMT, on donnera la latitude, la longitude, l'altitude et l'instant. On dit que l'espace-temps est quadridimensionnel.

Métrique de la relativité restreinte[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Métrique de la relativité restreinte

Transformation de Lorentz[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Transformation de Lorentz

Temps propre[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Temps propre

Référentiel tournant[modifier | modifier le wikicode]

Référentiel tournant en coordonnées cartésiennes

Référentiel tournant en coordonnées circulaires


Électromagnétisme

Équations de Maxwell (écriture classique)[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture classique)

Équations de Maxwell (écriture duale)[modifier | modifier le wikicode]

équations de Maxwell, formules topologiques[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

et sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur est le tenseur dual du tenseur de composantes  :

Le tenseur contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes , les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courant[modifier | modifier le wikicode]

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire comme somme d'un terme linéaire et d'un terme non linéaire  :

.

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur  :

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a et donc

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du vide[modifier | modifier le wikicode]

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de et est simplement

avec (SI).

écriture traditionnelle des équations de Maxwell[modifier | modifier le wikicode]

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

Avec le même tenseur , le premier groupe s'écrit

expression des tenseurs électromagnétiques[modifier | modifier le wikicode]

Pour un tenseur métrique diagonal , les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

Champ électrique et champ magnétique[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Champ électrique et champ magnétique

Expression du tenseur de champ électromagnétique[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Expression du tenseur de champ électromagnétique

Premier groupe d'équations de Maxwell[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Premier groupe d'équations de Maxwell

Second groupe d'équations de Maxwell[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Second groupe d'équations de Maxwell

Tenseur d'énergie-impulsion[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Tenseur d'énergie-impulsion


Géodésiques

À RÉDIGER

Équation géodésique[modifier | modifier le wikicode]

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à . La longueur de la trajectoire est donc la somme

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

avec

Paramétrisation canonique[modifier | modifier le wikicode]

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.

Expression au moyen du symbole de Christoffel[modifier | modifier le wikicode]

La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :

est le symbole de Christoffel.

Démonstration.

Système accéléré uniformément[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Géodésiques/Système accéléré uniformément


Espace-temps courbe

Métrique quadridimensionnelle en espace-temps courbe[modifier | modifier le wikicode]

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Métrique

Équations d'Einstein[modifier | modifier le wikicode]

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion et l'expression de divergence nulle construite à partir du tenseur de Ricci :

Il existe une relation symétrique :

Démonstration.

Équations de Maxwell en espace-temps courbe[modifier | modifier le wikicode]

[Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel  :

.

Parce que la double dérivation covariante d’un champ scalaire ne dépend pas de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme , 4-divergence d’un scalaire quelconque. Ce terme est appelé jauge.

  • La jauge de Lorentz stipule
  • En limitant la divergence au domaine spatial (cas des champs statiques), on a la jauge de Coulomb

La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il suffit de trouver la fonction f dont le 4-laplacien soit égal à la 4-divergence de A. Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble. Dans un espace temps courbe, ...

Équation premier groupe[modifier | modifier le wikicode]

Si l’espace-temps est plan, l’expression entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit

Équation second groupe[modifier | modifier le wikicode]

L'équation second groupe de Maxwell s'écrit

Partant de

on obtient

Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 4-laplacien et du tenseur de Ricci :

Gravité (symétrie sphérique)[modifier | modifier le wikicode]

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

...


Appendices

Équations de Lagrange[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné un système de coordonnées quelconque , une variable permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables et leur dérivée totale par rapport à . On veut trouver une trajectoire d'extrémités données et , qui minimise l'intégrale

Considérons une trajectoire infiniment voisine avec un infiniment petit et . Supposant que les solutions sont trouvées et donné, la fonction

est minimale pour  :

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que a été supposée nulle aux bornes, on a

Comme la fonction est quelconque, on doit avoir

  • Remarques
    1. En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.
    2. Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, , aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori valeurs possibles du symbole. Le symbole vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour , alors on aura , , , etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention . En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

Formules de contraction[modifier | modifier le wikicode]


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